论非欧几何的诞生

论非欧几何的诞生
Non-Euclidean geometry又名非欧几里得几何，简称非欧几何。

通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。

非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》，其中的公式五“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。

”从古希腊时代开始到19世纪的2000对年来，数学家们始终对这条公设耿耿于怀，试图解决并证明它，但对第五公设既无法正面证明，也无法从反面推出矛盾。

从《几何原本》出现到19世纪初非欧几何问世，许多杰出的数学家提出了各种“证明”，然而结果却都是错误的。

因为所有这些“证明”中都默认了一条与第五公设相互等价的命题。

通俗地说所谓等价是指含义与本质完全一样只是表述的形式不同而已。

在长达两千年的漫长岁月中整个数学面貌已经焕然一新。

继解析几何和微积分诞生之后，新的数学分支纷纷脱颖而出。

无数困难问题得以解决。

许多数学家创立了复杂艰深的数学理论。

但是人们在看上去极其简单的第五公设问题面前却仍然一筹莫展。

大数学家们也不例外。

法国数学家达朗贝尔在1759年说。

第五公设问题是“几何原理中的家丑”。

18世纪，意大利的萨凯里提出用归谬法试图证明第五公设，萨凯里从四边形开始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D，这样第五公设便等价于角C和角D是直角这个论断。

萨凯里还提出了钝角和锐角的假设，但是因为与经验认识违背，但是放弃了最后结论，但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法。

其后瑞士数学家兰伯特所作的工作与萨凯里相似，他也考察了一类四边形，其中3个角为直角，而第四个角有三种可能性：锐角，直角，钝角。

之后兰贝特否定了钝角假设，也没有轻率地做出锐角假设导致矛盾的结论。

他没有像萨开里那样囿于第五公设真实性的顽固想法，而是大胆对第五公设的可证明性提出了怀疑。

在他的思想中甚至包含了非欧几何学可以存的想法，这是观念上的一个重要冲破。

但他未能对这种几何的现实性提出任何见解。

因而也就未能再向前迈出一步。

法国数学家勒让德对平行公设问题也很关注，他得到一个重要定理：三角形内角之和不能大于两直角。

预示了新几何的诞生。

无论是意大利的萨凯里，瑞士的兰伯特还是德国的萨外卡特，都是非欧几何
的先驱，因为都在孜孜不倦的论证第五公设中取得了突破性的进展。

但是非欧几何的创始人是著名的数学家高斯、罗巴切夫斯基，因为他们提出一种新几何并建立其系统。

高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的。

1792年，高斯认为应该建立一种逻辑几何学，其中欧几里得的第五公设不成立，1794年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远，后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何。

到了十九世纪二十年代，俄国教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他用了另一种方法。

他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题，用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。

他认为如果这个系统的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。

我们知道，这其实就是数学中的反证法。

最后，罗巴切夫斯基得出了两个重要结论：一、第五公设不能被证明。

二、在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上毫无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。

这个理论是像欧式几何一样的完善的、严密的几何学。

这种几何被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。

这是第一个被提出的非欧几何。

非欧几何中的黎曼几何则是由德国数学家黎曼创立的。

欧式几何与罗氏几何中有关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。

欧式几何讲“过直线外一点有企鹅只有一条直线与已知直线平行”。

罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。

那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能作直线和已知直线平行？”黎曼几何很好的回答了这个问题。

黎曼几何的一条基本规定：在同一平面内任何两条直线都有公共点即交点。

在黎曼几何中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的，黎曼几何的模型是一份经过适当改进的球面，如爱因斯坦的广义相对论就运用了这一点。

非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中的一个重大的革新步骤。

M.克莱因在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么的厉害，当时萨凯里曾拒绝过欧式几何的奇异定理，并且断定欧式几何是唯一正确的，但在一百年后，高斯、罗巴切夫斯基和波
约满怀信心的接受了新几何。

非欧几何体系是通过逻辑演绎法建立的，它的诞生为数学的发展提供了一种模式，使人们清楚的看清数学可以有自己的逻辑体系存在，从而独立存在。

非欧几何的出现打破了欧式几何一统天下的局面，使几何学的观念得到更新，传统欧式几何认为空间是唯一的，而非欧几何的出现打破了这种观念，促使人们对欧式几何乃至整个几何学的基础问题作深入讨论。

其实高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但3人对待新几何的态度确实不同的。

高斯最早意识到非欧几何，1792年当他15岁时已经有了第五公设不可证和非欧几何的思想萌芽。

以后相继得到许多这方面的重要结果。

但他却并没有将他的成果公布于众，原因是他不敢向传统几何界达2000多年的欧式几何发起挑战，害怕遭受到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向好友表示了自己的看法，也不敢公开站出来支持罗白垩夫斯基的新理论。

波约致力于平行公设的研究，最终发现了新几何，却因为与高斯的某些误会，最终决定让这个成果石沉大海。

罗巴切夫斯基在1826年公布了新几何的思想后，由于罗巴切夫斯基的新学说违背了两千多年来的传统思想。

动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威基础，同时也违背了人们的“常识”。

他的学说一发表，社会上的嘲弄、攻击甚至侮辱、漫骂暴雨般地袭来：科学院拒绝接受他的论文，大主教宣布他的学说是“邪说”。

大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”，是一场“笑话”。

即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“对一个错误的怪人的宽容和惋惜态度”。

连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德国诗人歌德在他的名著《浮十德》中写下了这样的诗句：有几何兮，名曰“非欧”，自己嘲笑，莫名其妙!毛泽东指出：“许多自然科学理论之所以被认为真理，不但在于自然科学家们创立这些学说的时候，而且在于为尔后的科学实践所证明的时候”。

非欧几何创立后的几十年间被人不理解、讥笑甚至反对。

1868年意大利数学家贝尔物拉米利用当时微分几何的最新研究成果，证明了伪球面上的几何学是罗巴切夫斯基的非欧几何学。

伪球面是一种形如喇叭的特殊曲面，具体而又实在。

此后非欧几何学的基本思想才开始为人们所理解和接受。

特别是到20 世纪上半叶，非欧几何学的空间概念在爱因斯坦的广义相对论中得到应用，以及在天体大范围观测和原子微观领域研究中得到证实后，我们就
不得不承认它是更深刻地反映现实世界空间形式的一种科学真理了。

并从此得到进一步的应用和发展。

在创立非欧几何体系的过程中罗巴切夫斯基凭借想象的翅膀腾飞而起，提出了许多令人惊叹具有珍贵价值的科学思想。

例如罗巴切夫斯基从他给出的平行角解析式出发，以猜想的形式断言非欧几何是“巨大尺度形式的几何”适合于人宇宙空间范围。

为检验非欧几何的真理性他曾根据当时的最新天文观测资料，对尽可能大的天体三角形作了角度计算。

算得的结果表明这个角度比观测精度还小，因而无法观测到空间几何的非欧表现。

但是罗巴切夫斯基并不认为他的断言遭到了反驳。

在他看来“空间是无限延伸的，自然界只给我们的是这样的距离，和这个距离相比甚至我们地球到恒星的距离也是微乎其微的。

”他由此设想在以天文尺度为单位的巨大宇宙空间，将出现空间几何性质与欧几里得几何的明显差异。

罗巴切夫斯基进而构想微观领域的几何也是非欧式的。

他把非欧几何称为“想象几何”并且极富创见性地向他的同代人宣告：“在观测不足的情况下应当凭理智设想，想象几何可适用于被观测到的世界之外以及分子引力范围之内”。

此外，罗巴切夫斯基对非欧几何与欧氏几何的内在联系以及非欧几何在数学上的广阔用场也作了深必的预想。

他明确指出：“普通几何作为特殊情况包含在想象几何之中，想象几何取无限小线段可变成普通几何。

”又指出想象几何“即使在实际测量上还用不上，但它将为几何学在分析学上的应用开辟了一个广阔的新天地。

”
只有突破了传统，对权威的迷信，才能充分发挥科学的创造性，只有不畏艰难困苦，勇于为科学献身，才能追求，捍卫超越时代的真理，一般认为高斯、波约、罗巴切夫斯基3人同时发现了新几何，这是人们对历史的公正，但人们更喜欢称新几何为欧式几何，这正是人们对罗巴切夫斯基为科学献身的高度赞扬，也变现了非欧几何是敢于向传统挑战，勇于为科学献身的人类精神的产物。

非欧几何的创立，解放了人类新思想，新见解，新观点不断涌现，也使一直为人们意识到但未曾清楚地认识的区别呈现出来了即数学空间与物理空间的不同，数学家创造几何理论，然后由此决定他们的空间观，这种建立在数学理论基础上的空间观，自然观，一般并不能否定客观世界的存在等内容，它仅仅强调这样一些事实：人们关于空间的判断所获得的一系列结论纯粹是自己的创造。

物质世界现实与这种现实的理论，永远是两回事。

正因为如此，人们探索知识、建立
理论的认识活动才永远没有尽头，非欧几何的创立使人们认识到数学是人精神的创造物，而不是对客观事物的直接临摹，这样就使数学获得可极大的发展，同时也使数学丧失了对现实的确定性，数学从自然界和科学中解脱出来，继续着它自己的行程。

康托曾经说过：数学的本质在于它的自由。

很好的验证了非欧几何的诞生。

法国哲学家，数学家彭加莱:非欧几何的发现，是认识论一次革命的根源，简单讲，人们可以说，这一发现已经胜利的打破了那个为传统逻辑所要求的，束缚住任何理论的两难论题即科学的原理要么是必然真理，要么是断言的真理。

我们在理论评判中，放弃了非此即彼的评判，爱因斯坦曾说过：这种非此即彼的评判是不正确的，这些评判家，数学家的评判无疑是非欧几何创立后，其对思想，理论建立，特别是对认识论有最为直接的影响；更进一步的近代的理论和技术的进步均离不开它的内在影响，像相对论的产生，特别是对时空的进一步认识，集合论，现代分析基础，数理逻辑，量子力学等学科的建立与发展均可以看成是非欧几何的直接结果，非欧几何的创立所产生的震荡至今余波未消。

非欧几何的诞生对在教学中训练学生的创新思维也有很大的启示。

如罗巴切夫斯基刚开始也是循着前人的思路，试图给出第五公设的证明，在仅存下来的他的学生听课笔记中，就记载着他在1816年—1817学年在几何教学中给出的几个证明。

，但他很快就意识到证明是错误的。

前人和自己的失败从反面启迪了他，使他大胆思索问题的相反提法：可能根本就不存在第五公设的证明。

于是，他便调转思路，着手寻求第五公设的解答。

罗巴切夫斯基正式沿着这个途径，在试证第五公设不可证的过程中发现了一个新的几何世界的。

“学起于思，思源于怀、疑”，我们在探索知识的思维过程中总是从问题开始，又在解决问题中得到发展，教师不仅要善于设问，还要激发学生质疑问难，教学中，要鼓励学生在学习过程中碰到的问题提出来并和同学讨论，让学生存在一个充分表现得机会，先对不同问题提供一种思路来解决，之后提出个别条件的变化，要求用心的了思路来解决，以打破原来的思维定势，使思维灵活而富有创造性。

在数学史乃至整个科学史中，很少有一个分支能像非欧几何一样对人类认识史发生如此直接的影响。

它的创立，不仅决定了近百年来数学许多领域的发展。

而且对现代人文学、宇宙学、物理学的进步以及人类时空观念的变革都产生深远
影响。

正如伟大的物理学家爱因斯坦所指出的：“已经有大量的根据可以说：从非欧几何发展起来的思想是极富有成效的”。