论非欧几何的诞生

论非欧几何的诞生

Non-Euclidean geometry又名非欧几里得几何，简称非欧几何。通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。

非欧几何的发展源于2000多年前的古希腊著名数学家欧几里得的《几何原本》，其中的公式五“若一条直线与两直线相交，且若同侧所交两内角之和小于两直角，则两直线无限延长后必相交于该侧的一点。”从古希腊时代开始到19世纪的2000对年来，数学家们始终对这条公设耿耿于怀，试图解决并证明它，但对第五公设既无法正面证明，也无法从反面推出矛盾。从《几何原本》出现到19世纪初非欧几何问世，许多杰出的数学家提出了各种“证明”，然而结果却都是错误的。因为所有这些“证明”中都默认了一条与第五公设相互等价的命题。通俗地说所谓等价是指含义与本质完全一样只是表述的形式不同而已。在长达两千年的漫长岁月中整个数学面貌已经焕然一新。继解析几何和微积分诞生之后，新的数学分支纷纷脱颖而出。无数困难问题得以解决。许多数学家创立了复杂艰深的数学理论。但是人们在看上去极其简单的第五公设问题面前却仍然一筹莫展。大数学家们也不例外。法国数学家达朗贝尔在1759年说。第五公设问题是“几何原理中的家丑”。

18世纪，意大利的萨凯里提出用归谬法试图证明第五公设，萨凯里从四边形开始，如果角A和角B是直角，且AC=BD，容易证明角C等于角D，这样第五公设便等价于角C和角D是直角这个论断。萨凯里还提出了钝角和锐角的假设，但是因为与经验认识违背，但是放弃了最后结论，但是从客观上为非欧几何的创立提供了极有价值的思想方法。其后瑞士数学家兰伯特所作的工作与萨凯里相似，他也考察了一类四边形，其中3个角为直角，而第四个角有三种可能性：锐角，直角，钝角。之后兰贝特否定了钝角假设，也没有轻率地做出锐角假设导致矛盾的结论。他没有像萨开里那样囿于第五公设真实性的顽固想法，而是大胆对第五公设的可证明性提出了怀疑。在他的思想中甚至包含了非欧几何学可以存的想法，这是观念上的一个重要冲破。但他未能对这种几何的现实性提出任何见解。因而也就未能再向前迈出一步。法国数学家勒让德对平行公设问题也很关注，他得到一个重要定理：三角形内角之和不能大于两直角。预示了新几何的诞生。

无论是意大利的萨凯里，瑞士的兰伯特还是德国的萨外卡特，都是非欧几何

的先驱，因为都在孜孜不倦的论证第五公设中取得了突破性的进展。但是非欧几何的创始人是著名的数学家高斯、罗巴切夫斯基，因为他们提出一种新几何并建立其系统。高斯是最早指出欧几里得第五公设独立于其他公设的。1792年，高斯认为应该建立一种逻辑几何学，其中欧几里得的第五公设不成立，1794年高斯发现在他的这种几何中，四边形的面积正比于2个平角与四边形内角和的差，并由此导出三角形的面积不超过一个常数，无论其顶点相距多远，后来他进一步发展了他的新几何，称之为非欧几何。

到了十九世纪二十年代，俄国教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他用了另一种方法。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题，用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，展开一系列的推理。他认为如果这个系统的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。我们知道，这其实就是数学中的反证法。最后，罗巴切夫斯基得出了两个重要结论：一、第五公设不能被证明。二、在新的公理体系中展开的一连串推理，得到了一系列在逻辑上毫无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论是像欧式几何一样的完善的、严密的几何学。这种几何被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何。

非欧几何中的黎曼几何则是由德国数学家黎曼创立的。欧式几何与罗氏几何中有关于结合公理、顺序公理、连续公理及合同公理都是相同的，只是平行公理不一样。欧式几何讲“过直线外一点有企鹅只有一条直线与已知直线平行”。罗氏几何讲“过直线外一点至少存在两条直线和已知直线平行”。那么是否存在这样的几何“过直线外一点，不能作直线和已知直线平行？”黎曼几何很好的回答了这个问题。黎曼几何的一条基本规定：在同一平面内任何两条直线都有公共点即交点。在黎曼几何中不承认平行线的存在，它的另一条公设讲：直线可以无限延长，但总的长度是有限的，黎曼几何的模型是一份经过适当改进的球面，如爱因斯坦的广义相对论就运用了这一点。

非欧几何的诞生，是自希腊时代以来数学中的一个重大的革新步骤。M.克莱因在评价这一段历史的时候说：“非欧几何的历史以惊人的形式说明数学家受其时代精神影响的程度是那么的厉害，当时萨凯里曾拒绝过欧式几何的奇异定理，并且断定欧式几何是唯一正确的，但在一百年后，高斯、罗巴切夫斯基和波

约满怀信心的接受了新几何。

非欧几何体系是通过逻辑演绎法建立的，它的诞生为数学的发展提供了一种模式，使人们清楚的看清数学可以有自己的逻辑体系存在，从而独立存在。非欧几何的出现打破了欧式几何一统天下的局面，使几何学的观念得到更新，传统欧式几何认为空间是唯一的，而非欧几何的出现打破了这种观念，促使人们对欧式几何乃至整个几何学的基础问题作深入讨论。

其实高斯、波约、罗巴切夫斯基几乎同时发现了非欧几何，但3人对待新几何的态度确实不同的。高斯最早意识到非欧几何，1792年当他15岁时已经有了第五公设不可证和非欧几何的思想萌芽。以后相继得到许多这方面的重要结果。但他却并没有将他的成果公布于众，原因是他不敢向传统几何界达2000多年的欧式几何发起挑战，害怕遭受到当时教会力量的打击和迫害，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向好友表示了自己的看法，也不敢公开站出来支持罗白垩夫斯基的新理论。波约致力于平行公设的研究，最终发现了新几何，却因为与高斯的某些误会，最终决定让这个成果石沉大海。罗巴切夫斯基在1826年公布了新几何的思想后，由于罗巴切夫斯基的新学说违背了两千多年来的传统思想。动摇了欧氏几何“神圣不可侵犯”的权威基础，同时也违背了人们的“常识”。他的学说一发表，社会上的嘲弄、攻击甚至侮辱、漫骂暴雨般地袭来：科学院拒绝接受他的论文，大主教宣布他的学说是“邪说”。大多数的权威们称罗巴切夫斯基的学说是“伪科学”，是一场“笑话”。即使那些心肠比较好的人最多也只能抱着“对一个错误的怪人的宽容和惋惜态度”。连不少著名的文学家也起来反对这种新的几何，如德国诗人歌德在他的名著《浮十德》中写下了这样的诗句：有几何兮，名曰“非欧”，自己嘲笑，莫名其妙!毛泽东指出：“许多自然科学理论之所以被认为真理，不但在于自然科学家们创立这些学说的时候，而且在于为尔后的科学实践所证明的时候”。非欧几何创立后的几十年间被人不理解、讥笑甚至反对。1868年意大利数学家贝尔物拉米利用当时微分几何的最新研究成果，证明了伪球面上的几何学是罗巴切夫斯基的非欧几何学。伪球面是一种形如喇叭的特殊曲面，具体而又实在。此后非欧几何学的基本思想才开始为人们所理解和接受。特别是到20 世纪上半叶，非欧几何学的空间概念在爱因斯坦的广义相对论中得到应用，以及在天体大范围观测和原子微观领域研究中得到证实后，我们就