4第四讲 二次根式的运算(二)教师版

第四讲

二次根式的运算（二）

知识精讲

知识点1 分母有理化

1、把分母中的根号化去，叫做分母有理化. 常用的有理化因式如：x 与x ，y x +与y x -，y n mx +与y n mx -, y n x m +与y n x m -.

【例题1】将下列二次根式分母有理化：

（1）242++a a ； （2）2

2+-a a . 【解析】（1）分子分母同时乘以2+a 化简得22+a ；（2）分子分母同时乘以 2-a ，化简得2

222--+a a a . 【例题2】 计算10

91321211++++++ 的值. 【解析】根据分母有理化，得出结果为110-.

【例题3】先阅读下面一段文字，然后解答问题.x a 的有理化因式是x ，1+x 的有理化因式是1+x ，b a x +的有理化因式是b a +. 观察下面的运算：①10212)2()32()232)(232(22=-=-=-+；

②13218150)23()65()2365)(2365(22=-=-=-+；

③y b x a y b x a y b x a y b x a 2222)()())((-=-=-+.

从上面的计算中，我们发现，将一个二次根式y b x a +，乘以y b x a -，其积是有理式，由此我们可以得出：（1）3323-的有理化因式是____________. by ax 43+的有理化因式是___________.

（2）把下列各式的分母有理化：①132+；②3

2232-. 【解析】（1）3323+ by ax 43- （2）①13-；②

3

63+. 知识点2 二次根式的混合运算

二次根式的混合运算方法和顺序：

1、方法：（1）应用二次根式乘法、出除法和加减法的运算法则；

（2）在实数范围内运算律仍适用；

（3）二次根式的乘法与多项式乘法类似，如需运用多项式乘法，也可运用乘法公式.

2、顺序：先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的.

【例题4】计算：（1）3721⨯÷；（2）6)3527

8(⨯-；（3）)3225)(65(-+. 【解析】（1）3；（2）2153

4-；（3）219.

【例题5】计算5448-÷2 +（3-3)(1+

31) 【解析】 34-

262

3+ 【例题6】 （2+63-）（2-63-）

【解析】 方法一：先乘出来，再合并二次根式.方法二：利用平方差公式及完全平方公式，再合并二次根式. 5 -34

【例题7】已知 X=13+,求X 2-2X-3的值.

【解析】 方法：先将X 2-2X-3进行配方，再代入计算，得值为-1.

【例题8】当3

21+=a 时，求a a a a a a a -+---+-22212121的值.

【解析】原式=)

1(|1|1----a a a a ，0311,32<-=--=a a ，∴a a -=-1|1|. ∴原式=a

a 11+-. 当32-=a 时，原式=3321132=-+

--.·

【例题9】解下列各题：

（1）已知625-=x ，2

323-+=y ，求225y xy x +-的值. （2）解方程组：⎩⎨⎧=-=-.2223,332y x y x

【解析】（1）93；（2）⎩

⎨⎧==.1,6y x

1、分母有理化：（1）x

125；（2）274；（3）)2(21>-x x ；（4）)(222q p q p q p >--.

2、计算：（1）5058327-+； （2）334593x x x x -+；

（3）

613233223÷÷； （4）)41221(623÷-⨯.

3、计算：（1）2

3232323+-+-+； （2） ++1

21++2

31200720081341++++

（3）分母有理化：

1

111--+-++a a a a （4）解不等式：)1(62)1(2-<-+x x ；

（5）解方程组：⎪⎩⎪⎨⎧-=-=+.

4322,2122322y x y x

4、化简：20)21()23(3

632918-+-++--

.

5、计算：)3(24)53()2(2-⨯+----.

参考答案：1、（1）x x 615；（2）394；（3）22--x x ；（4）q p q p -+2.

2、（1）212-；（2）x x 4-；（3）3

6；（4）3-. 3、（1）-14；（2）12008-；（3）12-+a a ；（4）62325+-->x ；（5）⎩⎨⎧==.3,2y x

4、

122

3- 5、-2