4.平方根和开平方(提高)知识讲解

（3）小题中运用了整体思想分散了难度.
举一反三：
【变式】（2015 春•乌兰察布校级期中）求 x 的值： （x﹣2）2=4．
【答案】解：∵
，
∴（x﹣2）2=36， ∴x﹣2=6 或 x﹣2=﹣6， 解得：x1=8，x2=﹣4． 类型四、平方根的综合应用
5、（2014 秋•沙坪坝区校级期末）若 x，y 为实数，且满足
(2) 20 1 1 0.36 1 900 81 1 0.6 1 30 9 0.2 6 1.7 ．
43
5
43
5
2
【总结升华】(1)混合运算的运算顺序是先算平方开方，再乘除，后加减，同一级运算按先 后顺序进行．(2)初学可以根据平方根、算术平方根的意义和表示方法来解，熟练后直接根
（2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的 另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根.
要点三、平方根的性质
a a2 | a | 0
a
a0 a0 a0
2 a a
a 0
要点四、平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动 2 位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者
的正方形纸片裁出长方形纸片.
解：①当 2 a －1＝－ a ＋2 时， a ＝1，所以 m ＝ 2a 12 2 112 1
②当 2 a －1＋（－ a ＋2）＝0 时，a ＝－1，所以 2a 12 [2 (1) 1]2 3 2 9
2、 x 为何值时，下列各式有意义？
(1)
x2 ；
的长方形纸片. 【答案与解析】
解：设长方形纸片的长为 3 x ( x ＞0) cm ，则宽为 2 x cm ，依题意得 3x 2x 300 . 6x2 300 .
x2 50 . ∵ x ＞0， ∴ x 50 .
∴ 长方形纸片的长为 3 50 cm .
∵ 50＞49,
∴ 50 7 .
【变式】若 x2 1 y 1 0 ，求 x2011 y2012 的值．
【答案】
解：由 x2 1 y 1 0 ，得 x2 1 0 ， y 1 0 ，即 x 1 ， y 1．
①当 x ＝1， y ＝－1 时， x2011 y2012 12011 (1)2012 2 ．
②当 x ＝－1， y ＝－1 时， x2011 y2012 (1)2011 (1)2012 0 ．
6、小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它长宽之比为 3 : 2 ，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求
∴ 3 50 21 , 即长方形纸片的长大于 20 cm .
由正方形纸片的面积为 400 cm2 , 可知其边长为 20 cm ,
∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长. 答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片.
【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为 20 cm
要点二、平方根和算术平方根的区别与联系
1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同： a 和 a
2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0 的平方根和算术平方根均为 0．
要点诠释：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方 根；负数没有平方根．
1

x

1 ．所以
1

x

1
时
x 1
1 x 有意
义．
(4)由题意可知：

x x

1 3
0 0
，解得
x

1且
x

3
．
所以当 x 1且 x 3 时 x 1 有意义． x3
【总结升华】方法总结：(1)当被开方数不是数字，而是一个含字母的代数式时，一定要讨 论，只有当被开方数是非负数时，式子才有意义．(2)当分母中含有字母时，只有当分母不 为 0 时，式子才有意义．
平方根和开平方（提高）
【学习目标】 1．了解平方根、算术平方根的概念，会用根号表示数的平方根． 2．了解开方与乘方互为逆运算，会用开方运算求某些非负数的平方根，会用计算器求平方
根． 【要点梳理】 要点一、平方根和算术平方根的概念 1.平方根的定义
如果 x2 a ，那么 x 叫做 a 的平方根.求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方. a 叫
．求
的值．
【答案与解析】
解：∵
+|y﹣ |=0，
∴x= ，y= ，
则原式=
4


4

1 2
+

1 2

2
=
1 + 1 + 1 = 1 =1． 424
【总结升华】本题是非负数的性质与算术平方根的综合题，先由非负性解出 x，y，然后代 入求值即可. 举一反三：
做被开方数.平方与开平方互为逆运算. 2.算术平方根的定义
正数 a 的两个平方根可以用“ a ”表示，其中 a 表示 a 的正平方根（又叫算术平
方根），读作“根号 a ”； a 表示 a 的负平方根，读作“负根号 a ”.
要点诠释：当式子 a 有意义时， a 一定表示一个非负数，即 a ≥0， a ≥0.
（2） x 12 289 ；
∴ x 1 289
∴ x ＋1＝±17
x ＝16 或 x ＝－18.
（3）∵ 93x 22 64 0
∴ 3x 22 64
9
∴3x 2 8 3
∴ x 2 或x 14
9
9
【总结升华】本题的实质是一元二次方程，开平方法是解一元二次方程的最基本方法.（2）
举一反三：
【变式】已知 b 4 3a 2 2 2 3a 2 ，求 1 1 的算术平方根． ab
【答案】
解：根据题意，得
3a 2 2 3a

0, 0.
则
a

2 3
，所以
b
＝2，∴
1 a

1 b

3 2

1 2

2
，
∴ 1 1 的算术平方根为 1 1 2 ．
据 a2 a(a 0) 来解．
类型三、利用平方根解方程
4、求下列各式中的 x . （1） x2 361 0;
（3） 93x 22 64 0
【答案与解析】
解：（1）∵ x2 361 0 ∴ x2 361 ∴ x 361 19
（2）∵ x 12 289
由 3x+y-1 的平方根为±4，得 3x+y-1=16， ∵x=5 ∴3×5+y-1=16，
解得 y＝2， ∴3x+5y=25 25 的算是平方根为 5. 【总结升华】此题主要考查了平方根的性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数，其 中正的那个叫做这个数的算术平方根．
举一反三：
【变式】已知 2 a －1 与－ a ＋2 是 m 的平方根，求 m 的值. 【答案】2 a －1 与－ a ＋2 是 m 的平方根，所以 2 a －1 与－ a ＋2 相等或互为相反数.
向左移动 1 位.例如： 62500 250 ， 625 25 ， 6.25 2.5 ， 0.0625 0.25 .
【典型例题】 类型一、平方根和算术平方根的概念
1、（2016•饶平县期末）已知 x-1 的平方根为±2，3x+y-1 的平方根为±4，求，3x+5y
的算术平方根． 【思路点拨】根据平方根的平方等于被开方数即可求解． 【答案与解析】 解：由 x-1 的平方根为±2，得 x-1=4，x=5
(2)
x4；
(3)
x 1 1 x ；
(4)
x 1
．
x3
【答案与解析】
解：(1)因为 x2 0 ，所以当 x 取任何值时， x2 都有意义．
(2)由题意可知： x 4 0 ，所以 x 4 时， x 4 有意义．
(3)由题意可知：
x 1 1 x
0 0
解得：
ab
ab
类型二、平方根的运算
3、求下列各式的值．
(1) 252 242 32 42 ；(2) 20 1 1 0.36 1 900 ．
43
5
【思路点拨】（1）首先要弄清楚每个符号表示的意义.（2）注意运算顺序. 【答案与解析】
解：(1) 252 242 32 42 49 25 7 5 35 ；