输出反馈极点配置

第五章

静态输出反馈、观测器和静态输出反馈观测器和

动态补偿器

§5-1静态输出反馈和极点配置

一、静态输出反馈的性质

若给定线性时不变系统方程为

=+=A B C x

x u y x （5-1）

若取静态输出反馈控制律u =K y +v （5-2)

可以得到闭环系统的动态方程为

(),(53)

A BKC

B

C x

x v y x =++=−

(),=++=A BKC B C x

x v y x x

C

B

v

y

x

∫

A

K

闭环系统结构图

）不改变系统的可观测性定理5-1反馈规律（5-2）不改变系统的可观测性。证明根据等式

()−+−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤

I A BCK I

BK I A s s (5-4)0

=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦

C I C (54)

由于（5-4）式右端第一个矩阵是非奇异阵，因此）式右端第个矩阵是非奇异阵，因此对任意的s 和K ，均有

⎡()(55)

s s rank rank −+−⎤⎡⎤=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦

I A BKC I A C C 证完。可见，系统（A +BKC , C ）可观测的充分必要条件）可观测这表明是系统（A , C ）可观测。这表明静态输出反馈不改变系统的可观测性。

）不可观测由（55）可知如果系统（A , C ）不可观测，由（5-5）可知，静态输出反馈不会改变系统的不可观测模态。推论：u =K y +v 的反馈律不改变系统的可控性。把中看作态馈证明：把（A +BKC ）中的KC 看作是状态反馈增益阵，而状态反馈不改变系统的可控性。证完。

二、循环矩阵

定义：称为是循环的系指其最小多项式1. 循环矩阵的定义:

n ×n 方阵A 称为是循环的，系指其最小多项式就是特征多项式。等价的提法有：

1).s I −A 的Smith 标准形只有一个非1的不变因子；2)A 的若当形中一个特征值只有一个若当块

2).A 的若当形中一个特征值只有一个若当块。特别地，有：

1A A ）若的所有特征值互异，则为循环阵。

为循环矩阵则存在向量b 2)若A 为循环矩阵，则存在向量b , 使

2

2

1

,,,,,−−"b Ab A b A

b A

b

n n A b n 可张成一个维空间，即(,)可控。

因此,单输入系统(A, b )可控的充分必要条件是：A 是循环的且b 是A 的生成元。

可控且为循环阵则几乎对

2. 循环阵与可控性:

,)))×=A B A A B A b p ρρ若（可控，且为循环阵，则几乎对所有的1实向量，都有(,(,为可控。引理1*：注：若A 非循环阵，可求K 1使得(A+BK 1, B )可控。

ρ[][]1

1121120K p n

n n n n u u u x x x −×−×=∈""R

,),

×∈A B K R

p n

若（可控，则对几乎所有的特征值各不相同因此是循环的

引理2*：A BK A BK +的特征值各不相同，因此+是循环的。

3. 用状态反馈进行极点配置的循环矩阵算法：

引理1*和引理2*提供了另一种状态反馈极点配置的算法(免去了第四章求K

1

的算法)：

1)根据引理2*，容易找到一个矩阵K1，使得A+BK1是

且根据定理

循环的，且根据定理4-2，(A+BK

1,B)与（A, B)有

相同的可控子空间；

根据引理容易找到中的个向量使得2)1*，容易找到Im B中的一个向量b，使得

（A+BK

1

，b）是可控的；

)此时可按单输入系统极点配置原理构造状态反馈阵3)此时可按单输入系统极点配置原理构造状态反馈阵。

三、用于输出反馈极点配置问题中的几个定理推论5-2若（A, B）可控，A是循环矩阵，则存

在向量b∈Im B,使（A, b）可控。

证明：这是引理1*的一个推论。

5-4设（A,B,C）可控可观测，则存在个推论54）可控可观测则存在一个p×q矩阵H，使（A+BHC,B）可控，（A+BHC, C）可观测，并且A+BHC是循环矩阵，即它的最）可观测并且是循环矩阵即它的最小多项式是n次。

例5-3给定系统为（A , B , C ）如下

1100110⎡⎤⎥⎥00⎡⎤00⎡00010⎢⎢

=⎢⎥A 0010⎢⎥⎢⎥=⎢⎥B 100001⎤=⎢⎥

⎣⎦

C 0

001⎢⎥⎣⎦

01⎢⎥⎣⎦

1100010

110⎡⎤⎢⎥⎡⎤0000110

00

1⎢

⎥=+=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

⎢⎥H A BHC ⎣⎦

可知（A +BHC ,B ）可控，（A +BHC ,C ）可观测，且A +BHC 是循环矩阵，它的最小多项式为4次。

四、用静态输出反馈配置极点

首先研究单输多输出的系统以说明用静态1.单输入系统可配置n 个极点的条件

首先研究单输入多输出的系统，以说明用静态输出反馈配置极点时所遇到的困难，而这些困难是用全部状态变量作反馈时所未遇到的

用全部状态变量作反馈时所未遇到的。 1,,,A b A R b R C C R ×××=+∈∈=∈n n n q n

x

x u y x （5-11）121,[](512)

×=+=∈−K K R "q q u y v k k k 由此可得闭环系统的动态方程为

()(513)

x x v =++−A bKC b