输出反馈极点配置

第五章
静态输出反馈、观测器和静态输出反馈观测器和
动态补偿器
§5-1静态输出反馈和极点配置
一、静态输出反馈的性质
若给定线性时不变系统方程为
=+=A B C x
x u y x （5-1）
若取静态输出反馈控制律u =K y +v （5-2)
可以得到闭环系统的动态方程为
(),(53)
A BKC
B
C x
x v y x =++=−
(),=++=A BKC B C x
x v y x x
C
B
v
y
x
∫
A
K
闭环系统结构图
）不改变系统的可观测性定理5-1反馈规律（5-2）不改变系统的可观测性。

证明根据等式
()−+−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤
I A BCK I
BK I A s s (5-4)0
=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
C I C (54)
由于（5-4）式右端第一个矩阵是非奇异阵，因此）式右端第个矩阵是非奇异阵，因此对任意的s 和K ，均有
⎡()(55)
s s rank rank −+−⎤⎡⎤=−⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
I A BKC I A C C 证完。

可见，系统（A +BKC , C ）可观测的充分必要条件）可观测这表明是系统（A , C ）可观测。

这表明静态输出反馈不改变系统的可观测性。

）不可观测由（55）可知如果系统（A , C ）不可观测，由（5-5）可知，静态输出反馈不会改变系统的不可观测模态。

推论：u =K y +v 的反馈律不改变系统的可控性。

把中看作态馈证明：把（A +BKC ）中的KC 看作是状态反馈增益阵，而状态反馈不改变系统的可控性。

证完。

二、循环矩阵
定义：称为是循环的系指其最小多项式1. 循环矩阵的定义:
n ×n 方阵A 称为是循环的，系指其最小多项式就是特征多项式。

等价的提法有：
1).s I −A 的Smith 标准形只有一个非1的不变因子；2)A 的若当形中一个特征值只有一个若当块
2).A 的若当形中一个特征值只有一个若当块。

特别地，有：
1A A ）若的所有特征值互异，则为循环阵。

为循环矩阵则存在向量b 2)若A 为循环矩阵，则存在向量b , 使
2
2
1
,,,,,−−"b Ab A b A
b A
b
n n A b n 可张成一个维空间，即(,)可控。

因此,单输入系统(A, b )可控的充分必要条件是：A 是循环的且b 是A 的生成元。

可控且为循环阵则几乎对
2. 循环阵与可控性:
,)))×=A B A A B A b p ρρ若（可控，且为循环阵，则几乎对所有的1实向量，都有(,(,为可控。

引理1*：注：若A 非循环阵，可求K 1使得(A+BK 1, B )可控。

ρ[][]1
1121120K p n
n n n n u u u x x x −×−×=∈""R
,),
×∈A B K R
p n
若（可控，则对几乎所有的特征值各不相同因此是循环的
引理2*：A BK A BK +的特征值各不相同，因此+是循环的。

3. 用状态反馈进行极点配置的循环矩阵算法：
引理1*和引理2*提供了另一种状态反馈极点配置的算法(免去了第四章求K
1
的算法)：
1)根据引理2*，容易找到一个矩阵K1，使得A+BK1是
且根据定理
循环的，且根据定理4-2，(A+BK
1,B)与（A, B)有
相同的可控子空间；
根据引理容易找到中的个向量使得2)1*，容易找到Im B中的一个向量b，使得
（A+BK
1
，b）是可控的；
)此时可按单输入系统极点配置原理构造状态反馈阵3)此时可按单输入系统极点配置原理构造状态反馈阵。

三、用于输出反馈极点配置问题中的几个定理推论5-2若（A, B）可控，A是循环矩阵，则存
在向量b∈Im B,使（A, b）可控。

证明：这是引理1*的一个推论。

5-4设（A,B,C）可控可观测，则存在个推论54）可控可观测则存在一个p×q矩阵H，使（A+BHC,B）可控，（A+BHC, C）可观测，并且A+BHC是循环矩阵，即它的最）可观测并且是循环矩阵即它的最小多项式是n次。

例5-3给定系统为（A , B , C ）如下
1100110⎡⎤⎥⎥00⎡⎤00⎡00010⎢⎢
=⎢⎥A 0010⎢⎥⎢⎥=⎢⎥B 100001⎤=⎢⎥
⎣⎦
C 0
001⎢⎥⎣⎦
01⎢⎥⎣⎦
1100010
110⎡⎤⎢⎥⎡⎤0000110
00
1⎢
⎥=+=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎢⎥H A BHC ⎣⎦
可知（A +BHC ,B ）可控，（A +BHC ,C ）可观测，且A +BHC 是循环矩阵，它的最小多项式为4次。

四、用静态输出反馈配置极点
首先研究单输多输出的系统以说明用静态1.单输入系统可配置n 个极点的条件
首先研究单输入多输出的系统，以说明用静态输出反馈配置极点时所遇到的困难，而这些困难是用全部状态变量作反馈时所未遇到的
用全部状态变量作反馈时所未遇到的。

1,,,A b A R b R C C R ×××=+∈∈=∈n n n q n
x
x u y x （5-11）121,[](512)
×=+=∈−K K R "q q u y v k k k 由此可得闭环系统的动态方程为
()(513)
x x v =++−A bKC b
2.单输入系统q 个极点的配置问题
进一步的问题是：若rank C =q ，是否可以任意配置q 个极点或任意接近它们呢？我们有
定理5—55-11rank C =设单输入系统（5）可控，q ,则总存在常值向量K ，使得q 个特征值任意接近于预先给定的q 个值，这些值中如有复数，应共轭成对出现。

证明设预先给定个值为
12,,,q
λλλ""并设它们彼此不同。

根据前面的推导：
问题：
1).为保证S 非奇异，为什么需要C 行满秩？考虑
⎡102000C ⎤=⎢⎥⎦
⎣2). 从数学和物理意义上解释为什么可对λi 稍稍)什i 进行摄动？
3). 剩下的n −q 个特征值的位置在什么地方？
3.多输入系统的极点配置问题
定理5-6(A ，B ，C ）可控可观测，
rank B =p ,rank C =q
则存在矩阵K ，使A +BKC 有max{p ,q }个特征值任意接近于预先给定的max{p ,q }个复数值。

证明不是循环阵则根据54总有使：若A 不是循环阵，则根据推论5-4，总有K 1，使得A +BK 1C 是循环阵。

又根据推论5-2，
1Im ,(,)b B b BL A BK C b ∃∈⇔=+使得可控-55,K ⇒2根据定理，存在使得
12A BK C bK C=
C A B(K LK )C ++1212K A BK C BLK C=A ++++
可任意接近个特征值。

q
T T T ,,)A C B 另一方面(可控可观测，用上面的证明意味存T K 在，使得T T T T
A C K
B +的个特征值可任意接近于指定的个值。

p p T T T T T T T ,,)
+A BKC A C B 注意到与其对偶系统(证完。

A C K B max{p, q}之+有相同的特征值。

故采用此种方法可以配置个特征值。

完剩下的?这是一个严重n −max{p ,q }个特征值的去向? 这是个严重的问题，因为若有根位于右半平面，将导致系统失去稳定性而无法工作此时极点配置便没有意义去稳定性而无法工作，此时极点配置便没有意义。

定理5-7若（A,B,C）可控可观测，
rank B=p,rank C=q，
且A有n个不同的特征值，则对几乎所有的（B，C）对，存在个p×q的输出反馈增益矩阵K，使得闭环对，存在一个
系统A+BKC的特征值有
max{p,q}−1
个是任意指定的A的特征值（复数成对指定），以及
（复数成对指定）以及
{,p+q}({p,q})
s=min{n−1}−(max{−1)
个是任意接近于任意指定的值（复数成对）。

注：指定的根+任意接近的根= max{p ,q }−1+ min{n , {}1i {1}
58）可控可观测
p +q −1}−max{p ,q }+1= min{n , p +q −1} 定理5-8若（A ，B ，C ）可控可观测，rank B =rank C =p ,q ,
则对几乎所有的矩阵对（B ，C ），存在一个输出反使得馈增益阵K ，使得A +BKC 有
−min{n ,p +q 1}
个特征值设置得任意接近于min{n ,p +q −1}个任意指定的值（复数成对）。

特别，在p +q ≥n +1的情况下,几乎所有的线性时不变系统都可通过输出反馈来使之镇定。

证明：仅就四种情况之一(min{n , p +q −1}是奇数，a {)证明如下
5-6max{p , q }是偶数) 证明如下：1)由定理56 ，可找到K 1，使得A +BK 1C 配置
max{p , q } （1）
个指定的极点，并使其中至少有一个是实的；
若有必要稍稍摄动使2)若有必要，稍稍摄动K 1，使A +BK 1C 之特征值互不相同(循环阵，满足定理5-7）。

利用定理5-7，可找到K 2，使得在保留
C {A +B K 1C 的max{p , q }−1
个指定的极点max{, 中至少有一个是实的）(因为a {p ,q }中至少有个是实的）的同时，再由
A+B K
1C+B K
2
C= A+B(K
1
+K2)C
设置
i{{1)
min{n,p+q−1}−(max{p,q}−1)
个指定的特征值。

这样K=
K K
1+K2就给出了所要
的反馈增益阵。

3)总共配置的极点个数是
,−
min{n, p+q1}
定理5-8的证明过程事实上给出了一种多变量
实种多变系统输出反馈配置极点的两步算法：
56使得
1)定理5-6可找到K1，使得A+BK1C配置
max{,
{p,q}
个指定的极点且使A+BK
1C之特征值互不相同（故57）至少有一个是
A+BK
1C是循环阵满足定理5-7 ）、至少有一个是
实的；
2）按定理5-7找到K2；则
K=K
1
+K2就给出了所要的反馈增益阵。

就给了所要的反馈增阵
例5-6考虑系统010000⎡⎤⎡⎤0000101000,,0001000010A B C=⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢容易验证定理5—8的条件满足。

现用输出反馈u =K y 来000001⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
配置极点。

取12k k ⎡⎤特征方程式为
34K=k k ⎢⎥⎣⎦42
141423()()0k k k k k k λλ+−+−=取何值仅能置个极点但
不论K 取何值，仅能配置2个极点。

但=m in {,1}3
n p q +−
这说明定理的结论并不是对所有的（B ,C ）都成立，而仅仅是对几乎所有的（B ,C ）对成立。

57例5-7系统A 、B 、C 阵如下
010100⎡⎡⎡1000110010⎤⎤⎤⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
A B C 00011⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦要找出个输出反馈增益阵使得闭环极点任意接近要找出一个输出反馈增益阵使得闭环极点任意接近指定的三个极点{–1, –2, –5}。

解一：直接解非线性方程。

12k k ⎡⎤令以求出闭的特征多项式为
34K=k k ⎢⎥⎣⎦可以求出闭环的特征多项式为k k k k k k k k k 32
12124132124()()()(1)()s k k s s −+−++−++++期望的极点多项式
32
(1)(2)(5)81710+++=+++s s s s s s 比较系数，得
121248(1)
17(2)
k k k k k +=−++=−13231410(3)
k k k k k k ++−=−
如果K 阵的规模很大，必须借助计算机求解非线性方程。

解二：用定理5-8证明中所采用的方法构造K 阵。

004444−−−−⎡⎢⎥⎥12671616109⎤⎡⎤⎡⎤=+=+=⎢⎥⎢−−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦
K K K 闭环系统阵A +BKC 的特征值精确地取−1, −2, −5。

将两种做法相比说明采取定理两种做法相比，说明采取定理
5-8的作法使K 的自由参数受到损失，引起的原因是在计算中两次使用了秩等的反馈阵
于1的反馈阵。

五、关于用输出反馈配置极点小结
定理5-8是巳知较为满意的结果，但依然不理想。

然而，在n≤p+q−1 时却提供了关于“几乎所有的线性时不变系统都可通过输出反馈使之镇定”的结论。

定的结论
1.若任意配置不行，那么，对指定的某一区域是否
可以配置极点？此外，除了区域配置问题外，还有鲁棒配置问题、特征值——特征向量(特征结构) 配置问题、最优极点配置问题以及主导极点)
配置问题等等。

2.相容性条件：
考虑一个多变量系统（A , B , C )，若其状态反馈C (K 有解，从A +BK x (K x 是p ×n 的矩阵)和A +BK y C (K y 是p ×q 的矩阵)，比较状态反馈增益阵K x 和输出反馈增益K y C = K x （5-24）
阵K y C ，有
C K K y x
=矩阵方程：T T T 线性方程T T ⎡相容性条件T T T
C yi xi
k k =线性方程：T C K C x rank rank ⎤=⎢⎥⎣⎦相容性条件：25)
⎡⎤K k k (5-=⎢⎥⎣⎦C C 或x rank rank
(5-24)K ()式是否有解依赖于x 的选择，在极点给定后，K x 有自由参数。

但如何取一个符合要求的K x ，尚不清楚。

清楚3.3.
若相容条件不满足，可以求各种误差意义下的解。

六、状态反馈与输出反馈比较(在极点配置方面)
1.状态反馈：K是p×n的矩阵。

闭环特征方程
det [s I−(A+BK)]
与期望多项式比较得到的是非线性方程1)
(p>1)或线性方程(p=1)；p>1时可通过定理4-4化为p=1
的情形，这时方程仍有解。

若只是极点配置，
的情形这时方程仍有解若只是极点配置
则无讨论非线性方程的必要。

多变量系统K的非唯一性为极点配置之外的品质要求提供了选择空间，但这是非线性方程
问题。

K的自由参数的利用仍是一个研究方向，
但有相当的难度。

这个问题的讨论在工程实践
上十分有意义。

2的矩阵闭环特征方程
2.输出反馈：K是p×q的矩阵。

闭环特征方程
det [s I−(A+BKC)]
与期望多项式比较得到的一般是非线性方程。

而直接讨论非线性方程难度极大。

直接讨论非线性方程难度极大
也可以通过推论5-2及推论5-4，将问题化为单入多出问题，从而讨论线性方程组，这种每次取秩入多出问题从而讨论线性方程组这种每次取秩为1的反馈阵逐步讨论的方法，优点是讨论线性方程，缺点是损失自由参数。

这种方法得到的最好结果是定理5-8，仍然是不理想的。

参考文献：
郭雷主编：控制理论导论——从基本概念到研究前沿，科学出版社，2005。

究前沿科学出版社
静态输出反馈小结
要点：多变量系统的静态输出反馈律设计问题
基本思路：
1.首先讨论单输入、多输出系统的输出反馈问题：1首先讨论单输入多输出系统的输出反馈问题：55设单输入系统（5-11）可控，rank C=q 定理5—5
则总存在常值向量K，使得q个特征值任意接近于预先给定的q个值，这些值中如有复数，应共轭成对出现。

2. 在定理5-5的基础上讨论首先讨论单输入、多输出
系统的输出反馈问题。

这是由两个推论和三个定理组成的：
推论5-2若（A, B）可控，A是循环矩阵，则存在向量b∈Im B,使（A, b）可控。

5-4设（A,B,C）可控可观测，则存在一个推论54）可控可观测则存在个p×q矩阵H，使（A+BHC,B）可控，（A+BHC,）可观测并且是循环矩阵即它的最C）可观测，并且A+BHC是循环矩阵，即它的最小多项式是n次。