多输入多输出系统的状态空间表达式
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1 C
则其变为
将以上方程组写矩阵形式
A
0 x 1 x k x2 m
y ( t ) 1 0 x2
B
1 0 x 1 f 1 u x2 m m
状态方程
C x1
输入矩阵 控制矩阵 n×r维
b11 b1r B b b nr n1
u1 u U 2 ur
r维输入 向量
y1 y 2 Y ym
m维输出向量
输出矩阵 m×r维
记为
Ax Bu x 输出方程 y Cx
A——系统矩阵 B——输入矩阵 C——输出矩阵
进一步令
0 x1 X , A 1 x2 L
0 , b 1 R L L
1 C
则可写为：
AX bu X
1、状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组 变量称为状态变量。如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t>=to时输入的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间 的行为就完全确定了。 2、状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态向量。 如x1(t)、x2(t)……xn(t)是系统一组状态变量。则状态向 量为： x1 (t ) x (t ) T X (t ) 2 或 X x ( t ) , x ( t )... x ( t ) 2 n 1 ... xn (t )
du1 (t ) ur (t ) u1 (t ) u1 (t ) uc (t ) C1 dt R1 R2 duc (t ) u1 (t ) uc (t ) C2 dt R2 y uc
du1 (t ) C1 dt i (t ) i2 (t ) C duc (t ) i (t ) 2 2 dt u1 (t ) uc (t ) i2 (t ) R2 u (t ) u1 (t ) i (t ) r R1 y uc
AX bu X
5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系。例如， 前例中，若取 u c 为输出，则有 y uc x1 写出矩阵形式：
x1 y [1 0] x2
若指定 i 为输出，则 若指定
y i x2
x1 y [0 1] x2
U c (s) 1 U ( s) LCS 2 RCS 1
另一种模型表示方法：状态变量描述 一阶微分方程表示形式：
d uc C i dt L di Ri u u c dt
duc 1 u i c dt c i di 1 uc R i 1 u L L L dt
uc ur 1 1 u u 1 1 C R C R C1 R2 C1R1 1 1 1 2 1 1 c u u1 uc C2 R2 C2 R2
uc ur 1 1 1 对于： u u 1 C R C R C1 R2 C1 R1 1 1 1 2 1 1 uc u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc
到不同的状态变量描述方程。但是不论选择哪一组状态变量，
面、完善。
4、系统状态变化是一个运动过程，用微分方程进行描述；而输 出方程为代数方程。
例：写出双T网络 的状态方程：
i
ur
R1
i1
u1
R2
i2
i2
uc
ur ( s ) u1 ( s ) I (s) R1 1 u1 ( s ) [ I ( s ) I 2 ( s )] sC 1 I ( s ) u1 ( s ) uC ( s ) 2 R2 I (s), u1 (s), I 2 (s) 消除中间变量 : 1 u ( s ) I ( s ) C 2 sC2 uc ( s ) 1 G( s) ur ( s) R1 R2C1C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) s 1
多输入多输出系统 的状态空间表达式
状态变量描述
一、基本定义 RLC电路u-输入变量 列写微分方程：
d uc C i dt L di Ri u u c dt
R
u
iHale Waihona Puke Baidu
L
C
uc
图1-1
消去中间变量后，得： 传函表示形式：
d 2uc du LC RC c uc u dt dt
uc 0 1u R L i L
1 C
c 0 u 1 向量矩阵表示形式： i L
令
x1 uc x2 i
1 0 x 1 x 2 L x1 0 1u R L x2 L
D U
+
B
+
X
x
+
A
C
Y
+
四、状态空间表达式的模拟结构图
模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。
五、状态空间表达式的特点：
1、状态变量的选择不是唯一的，选择不同的状态变量，就得 一个 n 阶系统只能有 n 个状态。这 n 个状态： x1(t), x2(t), … , xn(t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变 量组。 2、状态空间描述是系统“输入－状态－输出”诸变量间的时域 描述，揭示了系统的全部信息。因面比传递函数描述更为全
c11 c1n C c c mn m1
d11 d1r D d d mr m1
直接传递矩阵 m×r维
三、状态空间描述的状态图
单线表示一维信号，双线表示多维信号。既反映了输入 对系统内部状态的因果关系，由反映了内部状态对外 部输出的影响。
AX bu X Y CX
多输入多输出系统的状态空间表达式为：
AX BU X Y CX DU
x1 其中： x2 N维向量 X xn
a11 a1n 系统矩阵 A a a n×n方阵 nn n1
3、状态空间：以状态变量x1,x2,…xn为坐标轴,组成的n维空 间称为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变量 的唯一的、特定的一组值。状态随时间的变化过程，则构 成了状态空间中的一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹。 4、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称 为状态方程。状态方程反映了输入与状态变量间的关系。
uc ur 1 1 u u 1 1 C R C R C1 R2 C1 R1 1 1 1 2 1 1 c u u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc
1 1 uc 1 1 1 x1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1 R1 C1 R2 x x C1 R1 ur 2 1 1 x 0 C R C R 2 2 2 2 y x2 0 1 x
定义不同的状态变量 可以得到不同的状态 方程。但传递函数具 有唯一性。
uc ur 1 1 1 1 1 u c u (u1 uc ) uc C1 R1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1 R1 C1 R2 1 1 uc u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc 定义： x1 u1 uc , x2 uc
ur ( s ) u1 ( s ) I (s) R1 1 u ( s ) [ I ( s ) I ( s )] 2 1 sC1 I ( s ) u1 ( s ) uC ( s ) 2 R2 u ( s ) I ( s ) 1 C 2 sC2
定义： x1 u1 , x2 uc
1 1 1 1 1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 x x x C1 R1 ur 2 1 1 x 0 C2 R2 C2 R2 y x2 0 1 x
uc , i均为输出，则
y1 1 0 x1 y 0 1 x 2 2
y1 uc x1 y2 i x2
Y CX
二、状态空间表达式： 系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间 表达式，或称状态空间描述。 对于前例，其状态空间描述为：
则其变为
将以上方程组写矩阵形式
A
0 x 1 x k x2 m
y ( t ) 1 0 x2
B
1 0 x 1 f 1 u x2 m m
状态方程
C x1
输入矩阵 控制矩阵 n×r维
b11 b1r B b b nr n1
u1 u U 2 ur
r维输入 向量
y1 y 2 Y ym
m维输出向量
输出矩阵 m×r维
记为
Ax Bu x 输出方程 y Cx
A——系统矩阵 B——输入矩阵 C——输出矩阵
进一步令
0 x1 X , A 1 x2 L
0 , b 1 R L L
1 C
则可写为：
AX bu X
1、状态变量：足以完全表征系统运动状态的最小个数的一组 变量称为状态变量。如果给定了t=to时刻这组变量值，和 t>=to时输入的时间函数，那么，系统在t>=to的任何瞬间 的行为就完全确定了。 2、状态向量：以状态变量为元所组成的向量,称为状态向量。 如x1(t)、x2(t)……xn(t)是系统一组状态变量。则状态向 量为： x1 (t ) x (t ) T X (t ) 2 或 X x ( t ) , x ( t )... x ( t ) 2 n 1 ... xn (t )
du1 (t ) ur (t ) u1 (t ) u1 (t ) uc (t ) C1 dt R1 R2 duc (t ) u1 (t ) uc (t ) C2 dt R2 y uc
du1 (t ) C1 dt i (t ) i2 (t ) C duc (t ) i (t ) 2 2 dt u1 (t ) uc (t ) i2 (t ) R2 u (t ) u1 (t ) i (t ) r R1 y uc
AX bu X
5、输出方程：系统输出与状态变量间的函数关系。例如， 前例中，若取 u c 为输出，则有 y uc x1 写出矩阵形式：
x1 y [1 0] x2
若指定 i 为输出，则 若指定
y i x2
x1 y [0 1] x2
U c (s) 1 U ( s) LCS 2 RCS 1
另一种模型表示方法：状态变量描述 一阶微分方程表示形式：
d uc C i dt L di Ri u u c dt
duc 1 u i c dt c i di 1 uc R i 1 u L L L dt
uc ur 1 1 u u 1 1 C R C R C1 R2 C1R1 1 1 1 2 1 1 c u u1 uc C2 R2 C2 R2
uc ur 1 1 1 对于： u u 1 C R C R C1 R2 C1 R1 1 1 1 2 1 1 uc u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc
到不同的状态变量描述方程。但是不论选择哪一组状态变量，
面、完善。
4、系统状态变化是一个运动过程，用微分方程进行描述；而输 出方程为代数方程。
例：写出双T网络 的状态方程：
i
ur
R1
i1
u1
R2
i2
i2
uc
ur ( s ) u1 ( s ) I (s) R1 1 u1 ( s ) [ I ( s ) I 2 ( s )] sC 1 I ( s ) u1 ( s ) uC ( s ) 2 R2 I (s), u1 (s), I 2 (s) 消除中间变量 : 1 u ( s ) I ( s ) C 2 sC2 uc ( s ) 1 G( s) ur ( s) R1 R2C1C2 s 2 ( R1C1 R2C2 R1C2 ) s 1
多输入多输出系统 的状态空间表达式
状态变量描述
一、基本定义 RLC电路u-输入变量 列写微分方程：
d uc C i dt L di Ri u u c dt
R
u
iHale Waihona Puke Baidu
L
C
uc
图1-1
消去中间变量后，得： 传函表示形式：
d 2uc du LC RC c uc u dt dt
uc 0 1u R L i L
1 C
c 0 u 1 向量矩阵表示形式： i L
令
x1 uc x2 i
1 0 x 1 x 2 L x1 0 1u R L x2 L
D U
+
B
+
X
x
+
A
C
Y
+
四、状态空间表达式的模拟结构图
模拟结构图用来反映系统各状态之间的信息传递关系。
五、状态空间表达式的特点：
1、状态变量的选择不是唯一的，选择不同的状态变量，就得 一个 n 阶系统只能有 n 个状态。这 n 个状态： x1(t), x2(t), … , xn(t)构成了系统变量中线性无关的一个极大变 量组。 2、状态空间描述是系统“输入－状态－输出”诸变量间的时域 描述，揭示了系统的全部信息。因面比传递函数描述更为全
c11 c1n C c c mn m1
d11 d1r D d d mr m1
直接传递矩阵 m×r维
三、状态空间描述的状态图
单线表示一维信号，双线表示多维信号。既反映了输入 对系统内部状态的因果关系，由反映了内部状态对外 部输出的影响。
AX bu X Y CX
多输入多输出系统的状态空间表达式为：
AX BU X Y CX DU
x1 其中： x2 N维向量 X xn
a11 a1n 系统矩阵 A a a n×n方阵 nn n1
3、状态空间：以状态变量x1,x2,…xn为坐标轴,组成的n维空 间称为状态空间。状态空间中的每一点都代表了状态变量 的唯一的、特定的一组值。状态随时间的变化过程，则构 成了状态空间中的一条轨迹，这条轨迹称为状态轨迹。 4、状态方程：由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称 为状态方程。状态方程反映了输入与状态变量间的关系。
uc ur 1 1 u u 1 1 C R C R C1 R2 C1 R1 1 1 1 2 1 1 c u u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc
1 1 uc 1 1 1 x1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1 R1 C1 R2 x x C1 R1 ur 2 1 1 x 0 C R C R 2 2 2 2 y x2 0 1 x
定义不同的状态变量 可以得到不同的状态 方程。但传递函数具 有唯一性。
uc ur 1 1 1 1 1 u c u (u1 uc ) uc C1 R1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 C1 R1 C1 R2 1 1 uc u1 uc C2 R2 C2 R2 y uc 定义： x1 u1 uc , x2 uc
ur ( s ) u1 ( s ) I (s) R1 1 u ( s ) [ I ( s ) I ( s )] 2 1 sC1 I ( s ) u1 ( s ) uC ( s ) 2 R2 u ( s ) I ( s ) 1 C 2 sC2
定义： x1 u1 , x2 uc
1 1 1 1 1 C1 R1 C1 R2 C1 R2 x x x C1 R1 ur 2 1 1 x 0 C2 R2 C2 R2 y x2 0 1 x
uc , i均为输出，则
y1 1 0 x1 y 0 1 x 2 2
y1 uc x1 y2 i x2
Y CX
二、状态空间表达式： 系统的状态方程和输出方程合起来称为系统的状态空间 表达式，或称状态空间描述。 对于前例，其状态空间描述为：