根轨迹法基本条件和方程规则

(s
i1
Z
i
)
(
j1
s
p j)
n
m
(s
i1
Pi )
K
(s
j1
z j)
结论
(1) 闭环零点由开环前向路通传递函数的零点和馈反通路 传函的极点所组成
(2) 对于单位反馈系,统 闭环零点就是开环零点 (3) 闭环极点与开环零点开、环极点以及根轨迹益增均有关
根轨迹法的基本任务 : 如何由已知的开环零点极的分布及根轨迹增, 通 益过图解的
一般开环传函可以写成
H(s)
f
l
G(s)
KG
(s
i1 q
Zi)
,
H(s)
KH
百度文库s
j1
z
j)
h
(2)
(s
i1
Pi )
(s
j1
p j)
f
l
则
G(s)H(s)
K
(s
i1 q
Z
i
)
(
j1
s
h
z j)
(3)
(s
i1
Pi
)
(s
j1
p j)
n qh
m fl
k kGkH
f
h
(s) K G
K*
j 1
m
n
G(s)H(s) (s z i ) - (s p j )
i1
j 1
m
n
i - j
i1 j1
180 (1 2 ) ( 0,1,2, )
幅值条件 相角条件
i 开环有限零点到根轨迹 j 开环极点到根轨迹上点
幅角按逆时针方向为正
上点 s 的矢量幅角； s 的矢量幅角。 。
方法找出闭环极点 .
4.1.4 根轨迹方程
根轨迹是所有闭环极点 的集合 .
R(s)
GG((ss))
C(s)
1 G(s)H(s) 0
1 G K (s) 0
H(s)
m
K ( i s 1)
K
*
m
(s
zi
)
m
zi
一般形式 G K (s)
i 1 n
＝ i1
n
， 其中 K K * i1
n
(T j s 1) (s p j )
根轨迹上的任何一点都有与之对应的开环增益值，而开环 增益与稳态误差成反比，因而通过根轨迹也可以确定出系统 的稳态精度。
根轨迹与系统性能之间有比较密切的关系。
4.1.3 闭环零极点与开环零极点的关系
如图所示系统的闭环传
函为
R(s)
GG((ss))
C(s)
(s)
G(s) 1 G(s)H(s)
(1)
s 2 2s 2k 0
两闭环极点为 : s1 -1 1 - 2k
s 2 -1 - 1 - 2k
KK Ss(0(.05.5S s1)1)
C(s)
下面分析参数 k从0到无穷变化对系统闭极环点分布的影响 :
k 0时 s1 0 0 k 0.5时 k 0.5时
s2 2 闭环极点与开环极点同相 s1, s2均为负实数 s1 s2 -1
根轨迹法基本条件 和方程规则
内容提要
闭环控制系统的动态性能，主要由系统的闭环极点在s平
面上的分布所决定。利用系统的开环零、极点分布图，采用
图解法来确定系统的闭环特征根随参数变化的运动轨迹----
根轨迹。 本章介绍根轨迹的基本条件、常规根轨迹绘制的基本规则、
广义根轨迹的绘制，以及用根轨迹确定闭环极点及系统性能
➢对于高阶系统，为了避免解析法求解所有特征根的繁琐性， 1948年伊万斯（W.R.Evans）创立了一种通过改变系统的一个 参数来分析系统特征方程根的位置变化的方法，并给出了绘 制系统特征根变化轨迹的方法，简称为根轨迹法。
➢根轨迹法是一种分析线性控制系统的图解方法，具有直观和 简便的优点，并且是一种通用方法，可以绘制任意线性多项 式关于任何参数的根轨迹，这样不需要用解析法求特征方程 的根也能够在根轨迹图上分析改变系统的参数对其动态性能 的影响。
（1）实轴上两个相邻的开环极点之间为根轨迹段，则一定有分离点； （2）实轴上两个相邻的开环零点之间为根轨迹段，则一定有会合点； （3）实轴上一个开环零点和一个开环极点之间为根轨迹段，则一定既有 分离点又有会合点，或既没有分离点又没有会合点； （4）分离点（会合点）可以是实数，也可以是复数，两个相邻的开环复 极点（或零点）之间可能有分离点或会合点
pj
j 1
j 1
j 1
则有
m
(s zi )
K*
i 1 n
-1
(s p j )
j 1
特征方程的这种形式称为根轨迹方程。满足根轨迹方程 的s就是闭环特征根。当根轨迹增益K*从0→∞时，特征根s 在复平面上变化的轨迹就是根轨迹。
| G(s)H(s)
m
|
(s zi)
i1
1
n
(s p j)
指标。
知识要点
根轨迹的基本条件、幅值方程、相角方程，常规根轨迹绘
制的基本规则，广义根轨迹的绘制、根轨迹图分析系统的动
态、静态特性。
引言
➢系统特征方程的根在复平面上的分布位置与系统的动态性能 是密切相关的。闭环控制系统是否稳定取决于其特征方程的 根是否位于复平面的左半平面内，而闭环控制系统的动态性 能取决于系统特征方程的根在复平面左半平面上的分布。
§4.2 绘制根轨迹的基本规则
4.2.1 180°根轨迹的绘制原则
1. 根轨迹的起点与终点 根 轨 迹 起 始 于 开，环终极止点于 开 环 零穷点远或点无。
2.根 轨 迹 的 连 续 性性与 对 称 根 轨 迹 是 连 续 的于且实对轴称的 曲 线 。
3. 根轨迹分支数与对称性 根 轨 迹 的 分 支 数环等极于点开数 或 等 于程特的征阶方数 n）， （
它 们 是 连 续 的 并于且实对轴称。 4. 实 轴 上 的 根 轨 迹
实 轴 上 的,某 若一 其区 右域 边 开极 环点 实个 数数 零之 、和 则该区域必是根轨迹。
5.根轨迹与实轴(的 分交 离点与会) 合点
两条或两条以上的根轨迹在复平面上相遇后又分 开的点，称为根轨迹的会合点或分离点。
N(s)D -N(s(s)()s D )0
§4.1 根轨迹的基本概念
4.1.1 根轨迹的基本概念
系统开环传递函数的某一参数从零变化到无穷时，闭环
特征方程式的根在s平面上变化的轨迹称为根轨迹。
例. 设有一单位反馈系统如 该系统的闭环传函为
图所示
Gk (s)
2k s(s 2)
(s)
C (s) R(s)
s2
2k 2s
2k
R(s)
系统的特征方程为
k 0.5时
s1,2 -1 j 2k-1,实部相同
位于垂直于实轴的直上线
k 时 沿上述直线趋于无穷. 远
j
K
s1 -1 1- 2k s2 -1- 1- 2k
-2
-1
K
0
4.1.2 根轨迹与系统性能
系统特征根的分布与系统的稳定性、暂态性能密切相关， 而根轨迹正是直观反应了特征根在复平面的位置以及变化情 况，所以利用根轨迹很容易了解系统的稳定性和暂态性能。