二次根式的运算知识易错点剖析

二次根式运算中的易错点示例

一、二次根式化简不彻底

例 1计算

错解:原式=

.

错解分析:二次根式结果中,被开方数不含有分母,0.2应看成分数1

5

正解:原式 =

==

点拨：二次根式的结果中若被开方数是分式或分数(包括小数)一定要化简 , 然后再进行同类二次根式的合并.

二、二次根式化简不正确

例 2 计算:

错解:原式=

-+=-+

0.40.4

错解分析

≠.

0.4

正解:原式 =

=

.

例 3

错解:原式

=

4

错解分析

≠

4

正解:原式

=

点拨：化简过程中,还容易出现以下错误11

,

=+=-

23

等 .

三、合并同类二次根式错误

例 4计算

错解:原式 =

错解分析,其被开方数不相同,故不能合并. 正解:原式=

点拨：有时在计算过程中会出现这样的错误

1=.

四、运算定律误用

例 5 计算:3

. 错解:原式=3÷1=3.

错解分析:3

(33≠÷.该错解把乘法的结合律误用到乘除混合运算中. 正解:原式=31

=. 五、忽略根式中或已知中隐含条件，导致错误 例6 如果b ＜0，那么二次根式a

b

化简为（ ） （A ）

a a

b （B ）-a ab （C ）a ab - （D ）a

ab

--

错解：选A.原式=

a ab

a

ab =2

. 错解分析:本题二次根式

a

b

中隐含了ɑ＜0的条件，上述解答忽略了这个隐含条件，误认为ɑ＞0，因而出现错误． 正解：选B ．因为a

b

有意义，所以a b ≥0．又b ＜0，所以ɑ＜0．原式

=

a ab

a a

b a

ab -==2

， 所以结果选B ．

例7 已知3

21

+=a ,求式子a a a a a a a -+---+-2

221

2112的值． 错解：原式=

()()()111

122

---

--a a a a a =()

11

1----a a a a =a

a 1

1--=

()

3213

21+--+=321--．

错解分析:已知条件中3

21+=

a 隐含了3

21+=

a =32-＜1，

因而()a a a a a -=-=-=+-1111222,上述解答认为ɑ-1＞0，因而出现错误．

正解：原式=

()()111

122

---

--a a a a a =()

111----a a a a =ɑa 11+-=

()

3213

21

++-+=3．

例8 把()

a a --111中的ɑ-1移到根号内，则()a

a --11

1= ． 错解：原式=()a a

a -=--111

12． 错解分析:二次根式

a

-11

中隐含了1-ɑ＞0的条件，因而ɑ-1＜0．逆用公式a a =2时，应特别注意，是将根号外的非负因式（数）移入根号内．

正解：原式=()a

a ---11

1=()a

a ---11

12

=a --1． 答案：a --1

六、忽略对字母的讨论，导致错误 例9 当m ，n 为何值时，n m 2有意义？

错解：因为n m 2=n m ，所以要使原式有意义，只要n 有意义．

错解分析:尽管化简n m 2=n m ，但是原式中m ，n 取值范围与变形后的式子中m ，

n 取值范围是有区别的．上述解答中忽略了对字母m 的取值的讨论，而去求化简

后式子中m ，n 的取值范围，因而导致错误．

正解：要使n m 2有意义，必须n m 2≥0，当m ≠0时，则2m ＞0，所以n ≥0.

当m =0时，则n m 2=0，所以n 可以为任意实数． 例10 化简21

22-+

a

a （ɑ＜1且ɑ≠0）. 错解：原式=2

1⎪⎭⎫ ⎝

⎛-a a =a a 1

-．

错解分析:本题中虽然给出了字母ɑ＜1且ɑ≠0的条件，但ɑ与a

1

的大小关系不确定．上述解答忽略了对字母ɑ的讨论，认为a

a 1-＞0，因而导致错误．所以解答本题的关键是对字母ɑ进行分类讨论．

正解：原式=a a a a 1

12

-=⎪⎭⎫ ⎝

⎛-．

（1）当0＜ɑ＜1时，a a 1-＜0，原式==-

a a 1a a -1

； （2）当-1＜ɑ＜0时，a

a 1-＞0，原式==-a

a 1

a a 1-；

（3）当ɑ≤-1时，a

a 1

-≤0，原式==-

a a 1a a

-1

． 综合（1）（2）（3）可知当0＜ɑ＜1或ɑ≤-1时，原式==-a a 1a a

-1

；当-1＜ɑ＜0时，原式==-

a

a 1

a a 1-．

七、运用公式2a =|ɑ|不当，导致错误

例11 计算或化简：(1)2)7(-； (2)a

a 1

-（ɑ＜0）. 错解：

；

（2）原式==-⋅=-

22a

a

a a a a a a a a -=-⋅. 分析：公式a a =2中，2a 表示ɑ2的算术平方根，因而是一个非负数，运用此公式将根号内的ɑ移到根号外时，一定要加绝对值符号，保证其为非负数，应特别注意．