2014江苏省南通市高三二模数学试卷含答案

南通市2014届高三第二次调研测试 数学学科参考答案及评分建议

一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1． 已知集合{}

{}31A x x x x =<-≥，则

A =R

▲ ．

【答案】{}13x x -<≤．

2． 某学校有8个社团，甲、乙两位同学各自参加其中一个社团，且他俩参加各个社团的可能性相

同，则这两位同学参加同一个社团的概率为 ▲ ． 【答案】18．

3． 复数i 1i

z =

-（其中i 为虚数单位）的模为 ▲ ．

．

4．从编号为0，1，2，…，79的80件产品中，采用系统抽样的 方法抽取容量是5的样本，若编号为28的产品在样本中，则 该样本中产品的最大编号为 ▲ ． 【答案】76．

5． 根据如图所示的伪代码，最后输出的a 的值为 ▲ ．

【答案】48．

6． 若12log 11

a a <-，则a 的取值范围是 ▲ ．

【答案】()4+∞，．

7． 若函数32()f x x ax bx =++

为奇函数，其图象的一条切线方程为3y x =-则b 的值为 ▲ ． 【答案】3-．

8. 设l ，m 表示直线，m 是平面α内的任意一条直线．则“l m ⊥”是“l α⊥”成立的 ▲ 条件．

（在“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”中选填一个） 【答案】充要．

9． 在平面直角坐标系xOy 中，设A 是半圆O ：222x y +=（0x ≥）上一点，直线OA 的倾斜角为

45°，过点A 作x 轴的垂线，垂足为H ，过H 作OA 的平行线交半圆于点B ，则直线AB 的方程是 ▲

．

（第5题）

10y +=．

10．在△ABC 中，D 是BC 的中点，AD ＝8，BC ＝20，则AB AC ⋅的值为 ▲ ． 【答案】－36．

11．设x ，y ，z 是实数，9x ，12y ，15z 成等比数列，且1x ，1y ，1z 成等差数列，则x z z x +的值是 ▲ ．

【答案】34

15

．

12．设π6

是函数()()sin 2f x x ϕ=+的一个零点，则函数()f x 在区间()02π，内所有极值点之和为

▲ ． 【答案】14π3

13． 若不等式(mx －1)［3m 2－( x + 1)m －1］≥0对任意(0)m ∈+∞，恒成立，

则实数x 的值为 ▲ ． 【答案】1

14．设实数a ，b ，c 满足a 2＋b 2 ≤c ≤1，则a ＋b ＋c 的最小值为 ▲ ． 【答案】12-．

二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．

内作答. 解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）

在△ABC 中，已知916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，．求： （1）AB 的值； （2）

sin()

sin A B C

-的值．

【解】（1）（方法1）因为916AB AC AB BC ⋅=⋅=-，， …………………………… 4分 所以91625AB AC AB BC ⋅-⋅=+=，即()

25AB AC CB +=，

亦即2

25AB =，故5AB =． …………………………… 7分 （方法2）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，

则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分 两式相加得(cos cos )91625c b A a B +=+=，即225c =，故5AB c ==． ……………… 7分 （方法3）设A ，B ，C 的对边依次为a ，b ，c ，

P

A

B

C

D

E

（第16题）

P

A

B

C

D

E

（第16题）

F

M 则由条件得cos 9cos 16bc A ac B ==，． …………………………… 3分 由余弦定理得()()2222221191622

b c a c a b +-=+-=，，

两式相加得225c =，故5AB c ==． …………………………… 7分 （2）

sin()sin cos cos sin sin sin A B A B A B

C C

--=

………………………… 10分 由正弦定理得sin()cos cos sin A B a B b A C c

--=

22cos cos 1697

25ac B bc A c c --===． ………… 14分

16．（本小题满分14分）

在四棱锥P －ABCD 中，AB ∥DC ，AB ⊥平面P AD ， PD ＝AD ，AB ＝2DC ，E 是PB 的中点． 求证：（1）CE ∥平面P AD ；

（2）平面PBC ⊥平面P AB ．

【证】（1）（方法1）取P A 的中点F ，连EF ，DF ．…… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EF // AB ，且12EF AB =．

因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以EF ∥CD ，……………… 4分

EF CD =，于是四边形DCEF 是平行四边形，

从而CE ∥DF ，而CE ⊄平面P AD ，DF ⊂平面P AD ， 故CE ∥平面P AD ． …………………… 7分 （方法2）取AB 的中点M ，连EM ，CM ． ……………… 2分 因为E 是PB 的中点，所以EM // P A ．

因为AB ∥CD ，AB ＝2DC ，所以CM // AD ．……………… 4分 因为EM ⊄平面P AD ，PA ⊂平面P AD ， 所以EM ∥平面P AD ．同理，CM ∥平面P AD ． 因为EM

CM M =，EM CM ⊂，平面CEM ，

所以平面CEM ∥平面P AD ．而CE ⊂平面P AD ，故CE ∥平面P AD ．……………………… 7分 （2）（接（1）中方法1）因为PD ＝AD ，且F 是P A 的中点，所以DF PA ⊥．

因为AB ⊥平面P AD ，DF ⊂平面P AD ，所以DF AB ⊥． ……………………… 10分 因为CE ∥DF ，所以CE PA ⊥，CE AB ⊥． 因为PA AB ⊂，平面P AB ，PA

AB A =，所以CE ⊥平面P AB ．

因为CE ⊂平面PBC ，所以平面PBC ⊥平面P AB ． ………………………… 14分