第5章 轴心受力构件的设计

yz
3.7
b1 t
1
l02y t 2 52.7b14
y
（D）
(5 20a)
(5 20b)
④、单轴对称的轴心受压构件在绕非对称轴以外的 任意轴失稳时，应按弯扭屈曲计算其稳定性。
当计算等边角钢构件绕平行轴
（u轴)稳定时，可按下式计算换算
长细比，并按b类截面确定 值： u
u
当b t 0.69 l0u b时：
第 5 章
大纲要求
1、了解“轴心受力构件”的应用和截面形式； 2、掌握轴心受拉构件设计计算； 3、了解“轴心受压构件”稳定理论的基本概念和分 析方法； 4、掌握现行规范关于“轴心受压构件”设计计算 方法，重点及难点是构件的整体稳定和局部稳定； 5、掌握格构式轴心受压构件设计方法。
§5.1 轴心受力构件的应用和截面形式
实际压杆并非无限弹性体，当 N
N达到某值时，在N和N∙v的共
NE 1.0
v0=0
同作用下，截面边缘开始屈服(A
B B’ v0=3mm
或A’点)，进入弹塑性阶段，其
A 0.5
A’
压力--挠度曲线如虚线所示。
0
v
最后在N未达到NE时失去承载能力，B或B’点为其极限 承载力。
初偏心压力—挠度曲线如图： N
当b2
t 0.48 l0 y
b 时： 2
yz
5.1 b2 t
1
l02y t 2 17.4b24
y
（C）
(5 19a)
(5 19b)
D、短肢相并的不等边角钢截面， 图（D）
y
b1
b1
b2
当b1 t 0.56 l0 y b1 时，近似取：
yz y
当b1
t 0.56 l0 y
b 时： 1
cr
fy
3、实际轴心受压构件的整体稳定计算
轴心受压构件不发生整体失稳的条件为，截面 应力不大于临界应力，并考虑抗力分项系数γR后， 即为：
N cr cr f y f A R fy R
即： N f
A
(5 2)
稳定系数，可按截面分类和构件长细比查
表得到。
公式使用说明： （1）截面分类：见教材表5-1，第135页；
a’
b
c’
σrc
σrt
crx
2E 2x
Iex Ix
2E 2t(kb)h2 4 2x 2tbh2 4
2 E b’ 2x k
对y y轴屈曲时：
cry
2E 2y
I ey Iy
2E 2y
2t(kb)3 12 2tb3 12
2E 2y
k3
可将其画成无量纲曲线(柱子曲线)，如下；
纵坐标是临界应力与屈服强度的比值,横坐标是相对 长细比(正则化长细比)。
（2）构件长细比的确定
①、截面为双轴对称或极对称构件：
x lox ix
y loy i y
对于双轴对称十字形截面，为了防
止扭转屈曲，尚应满足：
x或 y 5.07 b t
b t 悬伸板件宽厚比。
②、截面为单轴对称构件：
绕非对称轴x轴： x lox i x
绕对称轴y轴屈曲时，一般为弯 扭屈曲，其临界力低于弯曲屈曲， 所以计算时，以换算长细比λyz 代替λy ，计算公式如下：
yz
y
1
0.475b4 l02y t 2
当b t 0.58 l0 y b时：
yz
3.9
b t
1
l02y t 2 18.6b4
y
b
b
y
（b）
(5 18a)
(5 18b)
C、长肢相并的不等边角钢截面， 图（C）
y
b2
b2
b1
当b2 t 0.48 l0 y b2 时：
yz
y
1
1.09b24 l02y t 2
N cr
2EIe
l2
2EI
l2
Ie I
cr
2E 2
Ie I
（4 - 51）
t
h
仍以忽略腹板的热扎H型钢柱为例，
y
推求临界应力：
当σ>fp=fy-σrc时，截面出现塑性 x
x
区，应力分布如图。
柱屈曲可能的弯曲形式有两种： 沿强轴（x轴）和沿弱轴（y轴）
kb
b
a
c
t
σ1
fy
因此，临界应力为： 对x x轴屈曲时：
y
A、等边单角钢截面，图（a）
当b t 0.54 l0 y b时：
yz
y
1
0.85b4 l02y t 2
当b t 0.54 l0 y b时：
yz
4.78
b t
1Leabharlann Baidu
l02y t 2 13.5b4
y
（a）
(5 17a)
(5 17b)
B、等边双角钢截面，图（b）
当b t 0.58 l0 y b时：
(4 41)
dσ1
(2)双模量理论
σ σcr
fp
Ncr,r
dσ dε
Et
d d
l
形心轴 中和轴
dσ2
x
E
令：
01
ε
y
Ncr,r
I1为弯曲受拉一侧截面（退降区）对中和轴的惯性矩；
σcr
I2为弯曲受压一侧截面对中和轴的惯性矩；
Ncr,r
2
EI1 Et I2 l2
2 Er l2
I
(4 43)
（二）初始缺陷对压杆稳定的影响
如前所述，如果将钢材视为理想的弹塑性材料， 则压杆的临界力与长细比的关系曲线（柱子曲线）应为：
σ
fy
fy=fp
cr fy
1.0
欧拉临界曲线
0
ε
0
λ
y E fy
但试验结果却常位于蓝色虚线位置，即试验值小于
理论值。这主要由于压杆初始缺陷的存在。
初 始
力学缺陷：残余应力、材料不均匀等。
缺 陷
几何缺陷：初弯曲、初偏心等；
N cr
2 EI
l 2
2 EI
l
2 0
式中：l0 杆件计算长度，l0 l；
计算长度系数，取值如下表。
对于框架柱和厂房阶梯柱的计算长度取值，详 见有关章节。
（四） 实际轴心受压构件的整体稳定计算
1、实际轴心受压构件的临界应力 确定受压构件临界应力的方法，一般有：
（1）屈服准则：以理想压杆为模型，弹性段以欧拉临 界力为基础，弹塑性段以切线模量为基础，用安全系 数考虑初始缺陷的不利影响； （2）边缘屈服准则：以有初弯曲和初偏心的压杆为模 型，以截面边缘应力达到屈服点为其承载力极限； （3）最大强度准则：以有初始缺陷的压杆为模型，考 虑截面的塑性发展，以最终破坏的最大荷载为其极限 承载力； （4）经验公式：以试验数据为依据。
B 随 遇 平F 衡 状 态
l
N
N
Ncr Ncr C 临 界 状F 态
Ncr
临界力Pcr
2EI Pcr (l )2
cr
Pcr A
2E 2
(4 39) (4 40)
Ncr
y y1 y2
Ncr
M=Ncr·y
x
l
Ncr
Ncr
4.轴心受压杆件的弹塑性弯曲屈曲 中和轴
Ncr,r
当σcr大于fp后σ-ε
z 扭转屈曲的换算长细比；I t 毛截面抗扭惯性矩；
I 毛截面扇性惯性矩；对T形截面(轧制、双板焊接、
双角钢组合)、十字形截面和角形截面近似取I 0；
l 扭转屈曲的计算长度，对两端铰接端部可自由翘曲
或两端嵌固完全约束的构件，取l
l
0
。
y
③、单角钢截面和双角钢组合T形截面可采取以下简 化计算公式：
（A） （B）
σf=y 0.7fy 0f.y7fy<σ<fy
σ=N/A
fy C
fp
B
A
fy-σrc σrc
σrc=0.3fy
（C）
fσy =fy
0.3fy
0
ε
显然,由于残余应力的存在导致比例极限fp降为: fp fy r
r 截面中绝对值最大的残余应力。
(3)、仅考虑残余应力影响的轴压柱的临界应力
1、实腹式截面
2、格构式截面 截面由两个或多个型钢肢件通过缀材连接而成。
§4-2 轴心受力构件的强度和刚度
轴 心
强度 （承载能力极限状态） 轴心受拉构件 刚度 （正常使用极限状态）
受 力 构
强度 （承载能力极限状态） 轴心受压构件 稳定
件
刚度 （正常使用极限状态）
一、强度计算（承载能力极限状态）
b
uz
u
1
0.25b4 l02ut 2
(5 21a)
当b t 0.69 l0u b时：
uz
5.4 b t
(5 21b)
式中：u l0u i0u ，构件对u轴的长细比。
（3）其他注意事项：
曲线的特点与初弯曲压
NE
1.0
杆相同，只不过曲线过圆
点，可以认为初偏心与初
弯曲的影响类似，但其影
e0=0
B A
B’ A’
e0=3mm
响程度不同，初偏心的影
响随杆长的增大而减小， 初弯曲对中等长细比杆件 影响较大。
0
v
仅考虑初偏心轴心压杆的 压力—挠度曲线
（三）、杆端约束对压杆整体稳定的影响
实际压杆并非全部铰支，对于任意支承情况的 压杆，其临界力为：
根据前述压杆屈曲理论，当 N A 时f p， 可f y 采 r 用欧拉公式计算临界应力；
当 N A 时f p ， f截y 面 r 出现塑性区，由切线模量 理论知，柱屈曲时,截面不出现卸载区，塑性区应力 不变而变形增加,微弯时截面的弹性区抵抗弯矩，因 此,用截面弹性区的惯性矩Ie代替全截面惯性矩I，即 得柱的临界应力：
轴旋转，杆纵轴由直线变为曲线，是双轴对称截面常见 的失稳形式；
（2）扭转失稳--失稳时除杆件的支撑端外，各截面
均绕纵轴扭转，是某些双轴对称截面可能发生的失稳形 式；
（3）弯扭失稳—单轴对称截面绕对称轴屈曲时，杆
件发生弯曲变形的同时必然伴随着扭转。
2.轴心受压杆件的弹性弯曲屈曲
N
N
A 稳 定 平F 衡 状 态
cr
fy
1.0
σcry
σcrx
欧拉临界曲线
σE
0
1.0
λn
仅考虑残余应力 的柱子曲线
2、初弯曲（初偏心）的影响
a.有初弯曲（初偏心）时，一开始就产生挠度。荷载 v 当N Ne时，v
b.初弯曲（初偏心）越大，同样压力下变形越大。 c.初弯曲（初偏心）即使很小，也有 Ncr Ne
理想无限弹性体的压力—挠度曲线，具有以下特点： ①v随N非线形增加,当N趋于NE时，v趋于无穷;②相同 N作用下,v随v0的增大而增加;③初弯曲的存在使压杆 承载力低于欧拉临界力NE。
[] 构件的容许长细比，其取值详见规范或教材。
§5.3 轴心受压构件整体稳定计算
一、轴心受压构件的整体稳定
（一）轴压构件整体稳定的基本理论 1、轴心受压构件的失稳形式 理想的轴心受压构件(杆件挺直、荷载无偏心、无 初始应力、无初弯曲、无初偏心、截面均匀等）的 失稳形式分为：
（1）弯曲失稳--只发生弯曲变形，截面只绕一个主
曲线为非线性,σcr难 σ
dσ
以确定。
dε σcr
历史上有两种 fp 理论来解决该问题，
Et
d d
x
即：
E
σcr,t
l
(1)切线模量理论 0 1
ε
Ncr,r
假定:A、达到临界力Ncr,t时杆件挺直; B、杆微弯时,轴心力增加△N，其产生的平均压应力
与弯曲拉应力相等。
Nt
2Et I l02
t
2Et 2
N f
(5 1)
An
N—轴心拉力或压力设计值；
An—构件的净截面面积； f—钢材的抗拉强度设计值。
轴心受压 构件，当 截面无削 弱时，强 度不必计 算。
二、刚度计算（正常使用极限状态）
保证构件在运输、安装、使用时不会产生过 大变形。
l0 [ ]
i
l0 构件的计算长度；
i I 截面的回转半径； A
一、轴心受力构件的应用
1.桁架
2.网架
3.塔架
4.实腹式轴压柱与格构式轴压柱
柱头
柱头
01l 1l 01l =l1
柱身 柱脚
缀 板
缀 条
柱身 柱脚
y
(a)
x y
x
实腹式柱
x（虚轴）
x （虚轴）
y
y
y
y
（实轴）
（实轴）
x
x
(b) 格构式柱 （缀板式）
(c) 格构式柱 （缀条式）
二、轴心受压构件的截面形式 截面形式可分为：实腹式和格构式两大类。
1、残余应力的影响
（1）残余应力产生的原因及其分布 A、产生的原因
①焊接时的不均匀加热和冷却，如前所述；
②型钢热扎后的不均匀冷却；
③板边缘经火焰切割后的热塑性收缩；
④构件冷校正后产生的塑性变形。
实测的残余应力分布较复杂而离散，分析时常采用
其简化分布图（计算简图）：
0.361fy
+
- 0.805fy
2、实际轴心受压构件的柱子曲线 我国规范给定的临界应力σcr，是按最大强度准则，
并通过数值分析确定的。
由于各种缺陷对不同截面、不同对称轴的影响不同， 所以σcr-λ曲线（柱子曲线），呈相当宽的带状分布， 为减小误差以及简化计算，规范在试验的基础上，给 出了四条曲线（四类截面），并引入了稳定系数 。
y
x
x
y
y
xt
b
x
y
y
x
x
y
1
yz
1 2
2y
2z
2y 2z 2 4 1 e02
i02
2y 2z
2
(5 14)
2z i02 A It 25.7 I l2
(5 15)
i02
e02
i
2 x
i
2 y
式中：
e0 截面形心至剪切中心的距离；A 毛截面面积；
i0 截面对剪心的极回转半径；
+
(a)热扎工字钢
fy 0.75fy
0.2fy
0.3fy 0.3fy
0.3fy
(b)热扎H型钢
fy
0.53fy
(d)焰切边焊接
(e)焊接
fy β1fy
0.3fy
(c)扎制边焊接
β2fy β2fy
( f )热扎等边角钢
(2)、残余应力影响下短柱的σ-ε曲线
以热扎H型钢短柱为例：
0.3fy
0.3fy 0.3fy