2 拉氏变换
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21
12 V
比 较
实际 位置
负载
n k ud
120° 转角
u2
电位器
角度传感器
反 馈
教材：p320
22
直流电机位置控制系统
功率放大器
23
24
4
质量－弹簧－阻尼系统 质量－弹簧－阻尼系统
m d2 d x o ( t ) B x o t Kx o t f i t dt 2 dt
u (t )
Model
u (t )
AND
y (t )
物理系统
假 设
数学模型 计算机
输入量
系统
输出量
数学 分析
仿真
模型 改进 系统结构 预测
给定元件
响应
比较元件
控制元件
扰动量 控制量
执行元件 被控对象
输出量 （被控量）
物理系统的 期望响应 修改系统参数
反馈量
反馈元件
3
典型控制系统的组成
4
数控机床—工作台
ms X o (s) BsX o s KX o s Fi s
2
数学中，为了把较复杂的运算转化为较简 单的运算，常采取的一种变换手段。例如：
（1）对数变换 数量的乘积
正
对数的和差
lg y lg x1 lg x2
X Y
（2）坐标变换
Y AX
y x1 x2 逆
28
27
积分变换
拉氏变换是一种积分变换，它可以把
积分变换
什么是积分变换？ 通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。
以时间为变量的函数（时域），转换 成以复数s为变量的函数（复数域， 或s域）。 拉氏变换的使用与对数变换 (Logarithmic transformation)相类似。
st
p
(1)
L f (t ) 0 f (t )e dt
= f (t )e
st 0
39 40
解代数方程 原函数 （微分方程的解）
反变换
f ( t ) L1{ f ( t )} 1 2 πj
象函数
σ j
时域
σ j
F ( s ) e st ds
s域
典型函数的拉氏变换
时域函数f(t)
0 t 0 u (t ) 1 t 0
或
s 域函数F(s)
• 进行傅里叶变换的函数必须在整个数轴上有定义 • 对于任意一个函数 (t ) 克服
(t ) 1(t )
F ( )
令
f (t )e jt dt (t ) 1(t )e t e jt dt
克服
(t ) 1(t )e t
( 0)
机械控制工程基础 —拉普拉斯变换
Laplace Transforms
天津大学机械工程学院 陈永亮
1
引言
输入量 控制系统 输出量 快速性 稳定性 准确性
u (t )
Model Mathematical express
y (t )
u (t )
Model
AND
AND
Model
y (t )
y (t )
系统分析 系统设计 系统辨识 2
K
t
（1—10）
当R 1， 0说 ， 为 单 位 脉 冲 函 数 （ 1— 9）
11
12
2
移动倒立摆
系统数学模型
13
14
系统数学模型
系统时域响应
脉冲 响应
斜坡 响应
15 16
系统频域响应
如何建立数学模型？
汽车悬挂系统
汽车 汽车悬挂系统简化模型
17
汽车行走系统简化模型
18
3
恒温箱自动控制系统的构成简图
F ( ) K (t , )
(a b)
F ( )
e jt
( )
31
（2） f (t ) 在无限区间 (,) 上绝对可积， 即 f (t ) dt 收敛。
32
• 傅里叶变换必须满足： • （1）狄氏条件；（2）在 (
设
) 绝对可积。
f (t ) (t ) 1(t )e t
f (t ) e t
f (t ) sin t
F s
1 s
F s
f (t ) cos t
1 s2 2 1 F s加定理 （1）齐次性 设
1、叠加定理
L[ f ( t )] F ( s )
（1）、叠加定理证明
1、叠加定理
则 式中，a为常数 （2）叠加性 设 则
（2）、举例：由单位阶跃函数获得阶跃函数拉氏变换
L [ af ( t )] aF ( s )
L[ f 1 ( t )] F1 ( s ), L[ f 2 ( t )] F2 ( s )
L[ f1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s ) F2 ( s )
5
6
1
典型输入信号
系统采用数学 系统采用 数学模型描述 模型描述 数学模型：微分方程，传递函数，频率特性 输入量 输出量 系统响应？？？ 典型输入函数 系统数学模型： 微分方程， 传递函数， 频率特性 状态方程 …
1.阶跃函数
0 t 0 f (t ) R t 0
where R=const
拉氏变换与对数变换的使用过程类比
时域
微分方程
正变换
s域
象函数的代数方程
F ( s ) L{ f ( t )}＝ f ( t ) e st dt
0
对数变换的过程： 1）用对数表来转换数字 2）执行算术运算把化简表达式，得到单一数字 3）查对数表，得到反对数，获得期望的结果 拉氏变换的过程 1）利用拉氏变换表变换微分方程 2) 化简变换后的方程，求出期望的变量 3）应用反变换获得所期望的以时间为变量的方程。
恒温箱自动控制系统功能框图
20
19
例：直流电动机调速系统 给定值＋ 偏差 控制器 r ( t) － e ( t) 控制量 u(t) 减速电 机 被控量 y ( t)
电压
直流电机位置控制系统
给定信号
期望 位置
u1 电位计 ＋ －
执行电 动机
电压放 大器 功率放 大器
减速器
测速电机
u
~ ug ub
控制量：ud = K (ug-ub)
控制器 期望位移 输入量
给定元件
丝杠/工作台 伺服电机 扰动量 控制量
控制元件 执行元件 被控对象
比较元件
位移 输出量
1
7
xi
2
3
4
5
6
xo
反馈量
反馈元件
位移传感器 图 数控机床工作台控制方块图
1——控制装置，2——测速电机，3——电流电机。4——滚珠丝杠螺母副，5——工作台 6——（角）位移测量仪 a.假如没有速度反馈，只有位置反馈，其方块作用图 b.如果有速度反馈，而且也有位置反馈，其方块作用图
F ( ) f (t ) K (t , )dt
f (t ) f (t )
F ( ) f (t )e jt dt
傅氏变换存在条件 若 f (t ) 在 (,) 上满足下列条件： (1) f (t ) 在任一有限区间上满足狄氏条件
类间断点 连续或只有有限个第一 只有有限个极值点
叠加定理表明，时间函数的拉氏变换等于每个时间 函数拉氏变换之和，若有常数乘以时间函数，则经过 拉氏变换后，常数可以提到拉氏变换符号之外。
43 44
2、微分定理 设 则 证明：
2、微分定理
2、微分定理推论 引入微分算子：
2、微分定理
L[ f (t )] F ( s )
L[ df ( t ) ] sF ( s ) f ( 0 ) dt
时为单位抛线函数 斜坡函数与抛线函数关系： （1—7）
h(t) Rt g(t)
9
10
冲 函 数 4.脉
0 t 0 R f (t) 0 t 0 t
0 t 0 (t) t 0
5.正弦函数
（ 1— 8）
R
0
t0 0 f (t ) A sin( t ) t0 0
F(s)称为f(t)的象函数， f(t)称为F(s)的原函数。指数函数e-t 叫做收敛因子（衰减因子）。 36
s j
35
6
拉氏逆变换
拉氏逆变换
定义：
拉氏变换在控制工程中的作用
拉氏变换在控制系统分析中的作用（Page 5 example)： 1）控制系统时间响应的求解：首先应用拉氏正变换 ，然后再进行拉氏反变换，就可以得到控制系统的 时间响应； 2）控制系统频域响应可以由拉氏正变换后的表达式 （频率特性）直接得到。 3）控制系统的传递函数是在s域中定义的。传递函数 对分析闭环控制系统的的稳定性和性能非常有用。
f (t ) (t ) 1(t )
s j
F ( ) f (t )e st dt
0
拉氏变换
34
33
拉氏变换的定义
拉普拉斯变换 Laplace Transforms
设： (1)实变函数f(t)为时间t的函数，并且当t<0时，f(t)=0; (2) s=复变量 (3) L为运算符号，放在某个量之前，表示该量用拉 普拉斯积分 0 f ( t ) e st dt 进行变换
37 38
f (t ) L1{ f (t )}
1 σ j F ( s ) e st ds 2 πj σ j
一一对应 f (t ) F ( s )
F ( s ) 如何 f (t )
性质 F ( s ) 查表 f (t )
用拉普拉斯变换解微分方程
X Y
1 X o (s) Fi s ms 2 Bs K
整理
X o (s) 1 G (s) Fi s ms 2 Bs K
（3）积分变换就是通过积分运算，把一个函数变 成另一个函数的变换
微分方程
代数方程
在计算器和计算机普及以前，我们常用对 数变换来进行乘法、除法和指数计算。
7
8
2.斜坡函数
3.抛线函数
f （1—4）
f
0 t 0 g(t) Rt t 0
R 1时为单位斜坡函数
阶跃函数与斜坡函数关系
0 t0 h(t ) 1 2 Rt t 0 2
R tg
t
（1—6）
0
t
g(t) R f
0 （1—5）
R 1
1(t )
F( s ) 1 s 1 F s 2 s
1 F s 3 s
拉氏变换的性质 拉氏 变换的性质
1、叠加定理 2、微分定理 3、复微分定理 4、积分定理 5、延迟定理 6、位移定理 7、初值定理 8、终值定理 9、卷积定理 10、时间比例尺变换定理
f (t ) t 1 f (t ) t 2 2
f i t
系统输入（作用力）为单 位阶跃函数，系统的质量 ，弹簧刚度，阻尼比 求： 系统的输出？
和输出
x o t
为二阶常系数线性微分方程，它描述输入 之间的动态关系。
xo (t ) 1
e nt 1 2
(sin d t )
25
26
数学变换
针对同一物理对 象，同样的初始条 件和输入函数，系 统的输出应相同。 应用拉氏变换的微分定理，并取初始条件 为零，得到
f （ 1— 1） 0 t
系统
当 R 1 时，为单位阶跃函数，记作 1(t ) （1—1）式可写为 f (t ) R 1(t ) （ 1— 2） f （ 1— 3） R 0 t
0 t t0 f (t t0 ) R t t0
t0
式（1—3）为在 t t 0 时刻的阶跃函数。如电源的开合，负载的突加、突卸等。
29
F ( ) f (t ) K (t , )dt
a
b
f (t ) F ( )
象原函数 象函数
• 一一对应 • 变换可逆
K (t , ) 积分变换的核 • 选择不同的积分域和变换核， • 傅里叶变换 得到不同名称的积分变换 • 拉普拉斯变换
30
5
傅里叶变换
什么是傅里叶变换？
b a
(4) F(s)为f(t)的拉氏变换
拉普拉斯积分
于是，f(t)的拉氏变换为： def
F ( s ) L { f ( t )}＝
0
f ( t ) e st dt
（2.10）
0
f ( t )e st dt
式(2.10)表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定 条件下，它能把一实数域中的实变函数f(t)变换为 一个在复数域内与之等价的复变函数F(s)。
f i t
为二阶常系数线性微分方程，它描述输入 之间的动态关系。
和输出
x o t
已知：
力平衡方程 即
f i t f K t f B t f m t 0
d2 d m 2 x o ( t ) B x o t Kx o t f i t dt dt
12 V
比 较
实际 位置
负载
n k ud
120° 转角
u2
电位器
角度传感器
反 馈
教材：p320
22
直流电机位置控制系统
功率放大器
23
24
4
质量－弹簧－阻尼系统 质量－弹簧－阻尼系统
m d2 d x o ( t ) B x o t Kx o t f i t dt 2 dt
u (t )
Model
u (t )
AND
y (t )
物理系统
假 设
数学模型 计算机
输入量
系统
输出量
数学 分析
仿真
模型 改进 系统结构 预测
给定元件
响应
比较元件
控制元件
扰动量 控制量
执行元件 被控对象
输出量 （被控量）
物理系统的 期望响应 修改系统参数
反馈量
反馈元件
3
典型控制系统的组成
4
数控机床—工作台
ms X o (s) BsX o s KX o s Fi s
2
数学中，为了把较复杂的运算转化为较简 单的运算，常采取的一种变换手段。例如：
（1）对数变换 数量的乘积
正
对数的和差
lg y lg x1 lg x2
X Y
（2）坐标变换
Y AX
y x1 x2 逆
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27
积分变换
拉氏变换是一种积分变换，它可以把
积分变换
什么是积分变换？ 通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换。
以时间为变量的函数（时域），转换 成以复数s为变量的函数（复数域， 或s域）。 拉氏变换的使用与对数变换 (Logarithmic transformation)相类似。
st
p
(1)
L f (t ) 0 f (t )e dt
= f (t )e
st 0
39 40
解代数方程 原函数 （微分方程的解）
反变换
f ( t ) L1{ f ( t )} 1 2 πj
象函数
σ j
时域
σ j
F ( s ) e st ds
s域
典型函数的拉氏变换
时域函数f(t)
0 t 0 u (t ) 1 t 0
或
s 域函数F(s)
• 进行傅里叶变换的函数必须在整个数轴上有定义 • 对于任意一个函数 (t ) 克服
(t ) 1(t )
F ( )
令
f (t )e jt dt (t ) 1(t )e t e jt dt
克服
(t ) 1(t )e t
( 0)
机械控制工程基础 —拉普拉斯变换
Laplace Transforms
天津大学机械工程学院 陈永亮
1
引言
输入量 控制系统 输出量 快速性 稳定性 准确性
u (t )
Model Mathematical express
y (t )
u (t )
Model
AND
AND
Model
y (t )
y (t )
系统分析 系统设计 系统辨识 2
K
t
（1—10）
当R 1， 0说 ， 为 单 位 脉 冲 函 数 （ 1— 9）
11
12
2
移动倒立摆
系统数学模型
13
14
系统数学模型
系统时域响应
脉冲 响应
斜坡 响应
15 16
系统频域响应
如何建立数学模型？
汽车悬挂系统
汽车 汽车悬挂系统简化模型
17
汽车行走系统简化模型
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3
恒温箱自动控制系统的构成简图
F ( ) K (t , )
(a b)
F ( )
e jt
( )
31
（2） f (t ) 在无限区间 (,) 上绝对可积， 即 f (t ) dt 收敛。
32
• 傅里叶变换必须满足： • （1）狄氏条件；（2）在 (
设
) 绝对可积。
f (t ) (t ) 1(t )e t
f (t ) e t
f (t ) sin t
F s
1 s
F s
f (t ) cos t
1 s2 2 1 F s加定理 （1）齐次性 设
1、叠加定理
L[ f ( t )] F ( s )
（1）、叠加定理证明
1、叠加定理
则 式中，a为常数 （2）叠加性 设 则
（2）、举例：由单位阶跃函数获得阶跃函数拉氏变换
L [ af ( t )] aF ( s )
L[ f 1 ( t )] F1 ( s ), L[ f 2 ( t )] F2 ( s )
L[ f1 (t ) f 2 (t )] F1 ( s ) F2 ( s )
5
6
1
典型输入信号
系统采用数学 系统采用 数学模型描述 模型描述 数学模型：微分方程，传递函数，频率特性 输入量 输出量 系统响应？？？ 典型输入函数 系统数学模型： 微分方程， 传递函数， 频率特性 状态方程 …
1.阶跃函数
0 t 0 f (t ) R t 0
where R=const
拉氏变换与对数变换的使用过程类比
时域
微分方程
正变换
s域
象函数的代数方程
F ( s ) L{ f ( t )}＝ f ( t ) e st dt
0
对数变换的过程： 1）用对数表来转换数字 2）执行算术运算把化简表达式，得到单一数字 3）查对数表，得到反对数，获得期望的结果 拉氏变换的过程 1）利用拉氏变换表变换微分方程 2) 化简变换后的方程，求出期望的变量 3）应用反变换获得所期望的以时间为变量的方程。
恒温箱自动控制系统功能框图
20
19
例：直流电动机调速系统 给定值＋ 偏差 控制器 r ( t) － e ( t) 控制量 u(t) 减速电 机 被控量 y ( t)
电压
直流电机位置控制系统
给定信号
期望 位置
u1 电位计 ＋ －
执行电 动机
电压放 大器 功率放 大器
减速器
测速电机
u
~ ug ub
控制量：ud = K (ug-ub)
控制器 期望位移 输入量
给定元件
丝杠/工作台 伺服电机 扰动量 控制量
控制元件 执行元件 被控对象
比较元件
位移 输出量
1
7
xi
2
3
4
5
6
xo
反馈量
反馈元件
位移传感器 图 数控机床工作台控制方块图
1——控制装置，2——测速电机，3——电流电机。4——滚珠丝杠螺母副，5——工作台 6——（角）位移测量仪 a.假如没有速度反馈，只有位置反馈，其方块作用图 b.如果有速度反馈，而且也有位置反馈，其方块作用图
F ( ) f (t ) K (t , )dt
f (t ) f (t )
F ( ) f (t )e jt dt
傅氏变换存在条件 若 f (t ) 在 (,) 上满足下列条件： (1) f (t ) 在任一有限区间上满足狄氏条件
类间断点 连续或只有有限个第一 只有有限个极值点
叠加定理表明，时间函数的拉氏变换等于每个时间 函数拉氏变换之和，若有常数乘以时间函数，则经过 拉氏变换后，常数可以提到拉氏变换符号之外。
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2、微分定理 设 则 证明：
2、微分定理
2、微分定理推论 引入微分算子：
2、微分定理
L[ f (t )] F ( s )
L[ df ( t ) ] sF ( s ) f ( 0 ) dt
时为单位抛线函数 斜坡函数与抛线函数关系： （1—7）
h(t) Rt g(t)
9
10
冲 函 数 4.脉
0 t 0 R f (t) 0 t 0 t
0 t 0 (t) t 0
5.正弦函数
（ 1— 8）
R
0
t0 0 f (t ) A sin( t ) t0 0
F(s)称为f(t)的象函数， f(t)称为F(s)的原函数。指数函数e-t 叫做收敛因子（衰减因子）。 36
s j
35
6
拉氏逆变换
拉氏逆变换
定义：
拉氏变换在控制工程中的作用
拉氏变换在控制系统分析中的作用（Page 5 example)： 1）控制系统时间响应的求解：首先应用拉氏正变换 ，然后再进行拉氏反变换，就可以得到控制系统的 时间响应； 2）控制系统频域响应可以由拉氏正变换后的表达式 （频率特性）直接得到。 3）控制系统的传递函数是在s域中定义的。传递函数 对分析闭环控制系统的的稳定性和性能非常有用。
f (t ) (t ) 1(t )
s j
F ( ) f (t )e st dt
0
拉氏变换
34
33
拉氏变换的定义
拉普拉斯变换 Laplace Transforms
设： (1)实变函数f(t)为时间t的函数，并且当t<0时，f(t)=0; (2) s=复变量 (3) L为运算符号，放在某个量之前，表示该量用拉 普拉斯积分 0 f ( t ) e st dt 进行变换
37 38
f (t ) L1{ f (t )}
1 σ j F ( s ) e st ds 2 πj σ j
一一对应 f (t ) F ( s )
F ( s ) 如何 f (t )
性质 F ( s ) 查表 f (t )
用拉普拉斯变换解微分方程
X Y
1 X o (s) Fi s ms 2 Bs K
整理
X o (s) 1 G (s) Fi s ms 2 Bs K
（3）积分变换就是通过积分运算，把一个函数变 成另一个函数的变换
微分方程
代数方程
在计算器和计算机普及以前，我们常用对 数变换来进行乘法、除法和指数计算。
7
8
2.斜坡函数
3.抛线函数
f （1—4）
f
0 t 0 g(t) Rt t 0
R 1时为单位斜坡函数
阶跃函数与斜坡函数关系
0 t0 h(t ) 1 2 Rt t 0 2
R tg
t
（1—6）
0
t
g(t) R f
0 （1—5）
R 1
1(t )
F( s ) 1 s 1 F s 2 s
1 F s 3 s
拉氏变换的性质 拉氏 变换的性质
1、叠加定理 2、微分定理 3、复微分定理 4、积分定理 5、延迟定理 6、位移定理 7、初值定理 8、终值定理 9、卷积定理 10、时间比例尺变换定理
f (t ) t 1 f (t ) t 2 2
f i t
系统输入（作用力）为单 位阶跃函数，系统的质量 ，弹簧刚度，阻尼比 求： 系统的输出？
和输出
x o t
为二阶常系数线性微分方程，它描述输入 之间的动态关系。
xo (t ) 1
e nt 1 2
(sin d t )
25
26
数学变换
针对同一物理对 象，同样的初始条 件和输入函数，系 统的输出应相同。 应用拉氏变换的微分定理，并取初始条件 为零，得到
f （ 1— 1） 0 t
系统
当 R 1 时，为单位阶跃函数，记作 1(t ) （1—1）式可写为 f (t ) R 1(t ) （ 1— 2） f （ 1— 3） R 0 t
0 t t0 f (t t0 ) R t t0
t0
式（1—3）为在 t t 0 时刻的阶跃函数。如电源的开合，负载的突加、突卸等。
29
F ( ) f (t ) K (t , )dt
a
b
f (t ) F ( )
象原函数 象函数
• 一一对应 • 变换可逆
K (t , ) 积分变换的核 • 选择不同的积分域和变换核， • 傅里叶变换 得到不同名称的积分变换 • 拉普拉斯变换
30
5
傅里叶变换
什么是傅里叶变换？
b a
(4) F(s)为f(t)的拉氏变换
拉普拉斯积分
于是，f(t)的拉氏变换为： def
F ( s ) L { f ( t )}＝
0
f ( t ) e st dt
（2.10）
0
f ( t )e st dt
式(2.10)表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定 条件下，它能把一实数域中的实变函数f(t)变换为 一个在复数域内与之等价的复变函数F(s)。
f i t
为二阶常系数线性微分方程，它描述输入 之间的动态关系。
和输出
x o t
已知：
力平衡方程 即
f i t f K t f B t f m t 0
d2 d m 2 x o ( t ) B x o t Kx o t f i t dt dt