反比例函数在其他学科和实际生活中的运用

反比例函数在实际生活中的运用
反比例函数和其它函数一样，在我们的日常生活中有着广泛的应用.那么如何才能正确在利用反比例函数的关系来解决实际问题呢？具体地说应从以下两个方面入手：
一、正确地探求两个变量之间的关系
和利用其它函数解决实际问题一样，要利用反比例函数的关系解决实际问题，只要求能够正确地探求两个变量之间的关系.探索反比例函数中的两个变量之间的关系同样和列方程解应用题一样，即弄清题意和题目中的数量关系，找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系，根据这个相等的数量关系式，列出所需的代数式，从而列出两个变量之间的关系式.常见的表示数量之间的关系有以下几种情形：
（1）和、差、倍、分问题，即两数和=较大的数+较小的数，较大的数=较小的数×倍数±增（或减）数.
（2）行程类问题，即路程=速度×时间.
（3）工程类问题，即工作量=工作效率×工作时间.
（4）浓度类问题，即溶质质量＝溶液质量×浓度.
（5）分配类问题，即调配前后总量不变，调配后双方有新的倍比关系.
（6）等积类问题，即变形前后的质量（或体积）不变.
（7）数字类问题，即有若个位上数字为a ，十位上的数字为b ，百位上的数字为c ，则这三位数可表示为100c +10b +a ，等等.
（8）经济类问题，即利息＝本金×利率×期数；本息和＝本金+利息＝本金+本金×利率×期数；税后利息＝本金×利率×期数×（1－利息税率）；商品的利润＝商品的售价－商品的进价；商品的利润率＝商品进价
商品的利润×100％. （9）增长（或降低）率问题，即实际生产数＝计划数×［1+增长率（或－减少率）］，增长率＝计划数
增长数×100％. （10）图形类问题，即根据图形的特征，结合规范图形的周长公式、面积公式、体积公式等等.
二、注意典型习题的训练和巩固
为了能帮助同学们正确地利用反比例函数来解决实际问题，现归类说明如下：
（一）在行程类问题中的应用
例1 小华的爸爸早晨骑自行车带小华到15千米的镇外去赶集，回来时让小华乘公共汽车，用的时间少了．假设两人经过的路程一样，而且自行车和汽车的速度在行驶过程中都不变，爸爸要小华找出从家里到镇上的时间和乘坐不同交通工具的速度之间的关系．
简析 设小华乘坐交通工具的速度是v 千米/时，从家里到镇上的时间是t 小时．因为在匀速运动中，时间＝路程÷速度，所以v
t 15=，从这个关系式中发现:路程一定时，时间t 就是速度v 的反比例函数．即速度增大了，时间变小；速度减小了，时间增大．自变量v 的取值是v ＞0．
（二）在平面图形中的应用
例2在□ABCD 中,AB =4cm,BC =1cm,E 是CD 边上一动点,AE 、BC 的延长线交于点F ,设DE =x (cm),BF =y (cm).求y 与x 之间的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围.
简析 四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥CF ,即
AD DE CF CG
=，所以114x y x =--，则4y x =，此时自变量x 的取值范围是0< x <4. （三）在立体图形中的应用
例3一个长方体的体积是100立方厘米，它的长是y 厘米，宽是5厘米，高是x 厘米．
（1）写出用高表示长的函数关系式；
（2）写出自变量x 的取值范围；
简析 （1）因为100＝5xy ,所以x y 20=
．（2）由于长方体的棱长是正值，所以x ＞0．
（四）在物理学上的应用
例4一定质量的氧气,它的密度ρ(kg/m 3)是它的体积V ( m 3) 的反比例函数,
当V =10m 3时, ρ=1.43kg/m 3. （1）求ρ与V 的函数关系式；（2）求当V =2m 3时求氧气的密度ρ.
简析 （1）设ρ=k v ,当V =10m 3时, ρ=1.43kg/m 3,所以1.43=
10k ,即k =14.3,所以ρ与V 的函数关系式是ρ=14.3V ；（2）当V =2m 3时, ρ=14.32
=7.15(kg/m 3),所以当V =2m 3时,氧气的密度为7.15(kg/m 3).
（五）日常生活中的问题
例5 你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y (m)是面条的粗细(横截面积)s (mm 2)的反比例函数，其图像如图所示.
（1）写出y 与s 的函数关系式；
（2）求当面条粗1.6mm 2时，面条的总长度是多少米？
简析（1）依题意，结合图像，不妨设反比例函数的解析式为y ＝
k s （k ≠0，s ≥0），由于图像经过点（4，32），则有32＝
4k ，所以k ＝128，即y 与s 的函数关系式为y ＝
128s （s ≥0），（2）当面条粗s ＝1.6mm 2时，面条的总长度是y ＝80(mm)＝0.8(m).
反比例函数在其他学科和实际生活中的运用
一、在电学中的运用
在物理学中，有很多量之间的变化是反比例函数的关系，因此，我们可以借助于反比例函数的图象和性质解决一些物理学中的问题，这也称为跨学科应用。

例1 在某一电路中，保持电压不变，电流I(安培)和电阻R(欧姆)成反比例，当电阻R ＝5欧姆时，电流I ＝2安培．
(1)求I 与R 之间的函数关系式；
(2)当电流I ＝0.5时，求电阻R 的值．
(1)解：设I ＝
R U ∵R＝5，I ＝2，于是 IR U =2×5＝10，所以U ＝10，∴I＝R
10． (2)当I ＝0.5时，R ＝
I U =5.010＝20(欧姆)． 点评：反比例函数与现实生活联系非常紧密，特别是为讨论物理中的一些量之间的关系打下了良好的基础。

用数学模型的解释物理量之间的关系浅显易懂，同时不仅要注意跨学科间的综合，而本学科知识间的整合也尤为重要，例如方程、不等式、函数之间的不可分割的关系．
二、在光学中运用
例2 近视眼镜的度数y （度）与焦距x （m ）成反比例，已知400•度近视眼镜镜片的焦距为0.25m ．
（1）试求眼镜度数y 与镜片焦距x 之间的函数关系式；
（2）求1 000度近视眼镜镜片的焦距．
分析：把实际问题转化为求反比例函数的解析式的问题．
解：（1）设y=
k x
，把x=0.25，y=400代入，得400=0.25k ， 所以，k=400×0.25=100，即所求的函数关系式为y=100x
． （2）当y=1000时，1000=100x ，解得=0.1m ． 点评：生活中处处有数学。

用反比例函数去研究两个物理量之间的关系是在物理学中最常见的，因此同学们要学好物理，首先要打好数学基础，才能促进你对物理知识的理解和探索。

三、在排水方面的运用
例3 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量V （m 3/h ）
与排完水池中的水所用的时间t （h ）之间的函数关系图象．
（1）请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水
量；
（2）写出此函数的解析式；
（3）若要6h 排完水池中的水，那么每小时的排水量应该是多少？
（4）如果每小时排水量是5 000m 3，那么水池中的水将要多少小时排完？ 分析：当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例． 解：（1）因为当蓄水总量一定时，每小时的排水量与排水所用时间成反比例3 •所以根据图象提供的信息可知此蓄水池的蓄水量为：4 000×12=48 000（m 3）．
（2）因为此函数为反比例函数，所以解析式为：V=
48000t ； （3）若要6h 排完水池中的水，那么每
小时的排水量为：V=480006
=8000（m 3）； （4）如果每小时排水量是5 000m 3，那
么要排完水池中的水所需时间为：
t=480006
=8000（m 3） 点评：学会把实际问题转化为数学问
题，充分体现数学知识来源于实际生活又服
务于实际生活这一原理。

四、在解决经济预算问题中的应用．
例4 某地上年度电价为0.8元，年用电量为1亿度，本年度计划将电价调至0.55～0.75元之间，经测算，若电价调至x 元，则本年度新增用电量y(亿度)与(x －0.4)元成反比例.又当x ＝0.65元时，y ＝0.8
(1)求y 与x 之间的函数关系式；
(2)若每度电的成本价0.3元，电价调至0.6元，请你预算一下本年度电力部门的纯收人多少?
解：(1)∵y 与x －0.4成反比例，∴设y ＝4
.0 x k (k≠0)．
把x ＝0.65，y ＝0.8代入
y ＝
4.0-x k ，得0.8＝4.06
5.0-k ， 解得k ＝0.2，∴y＝4
.02.0-x ∴y 与x 之间的函数关系为y ＝4.02.0-x (2)根据题意，本年度电力部门的纯收入为：
(0.6－0.3)(1＋y)＝0.3×2＝0.6(亿元)
答：本年度的纯收人为0.6亿元。

点评：在生活中各部门，经常遇到经济预算等问题，有时关系到因素之间是反比例函数关系，对于此类问题我们往往由题目提供的信息得到变量之间的函数关系式，进而用函数关系式解决一个具体问题．。