最新9常微分方程数值解59382

中点欧拉公式 /* midpoint formula */
中心差商近似导数
y(x1)y(x2)2hy(x0)
y (x 2 ) y (x 0 ) 2 h f(x 1 ,y (x 1 ))
x0
x1
x2
y i 1 y i 1 2 h f ( x i,y i)i 1 ,.,. n . 1
假设 yi 1y(x i 1),yiy(x i)，则可以导出 R iy(xi 1)yi 1O (h 3) 即中点公式具有 2 阶精度。
例2：dy y2x, y(0)1
dx
y
解：梯形公式为：yk1ykh 2 yk2y x kk yk12y x kk 11
解yk+1出来比较困难，遇到的是一个二次方程，
y 2 k 1 (1 h 2 )y k 1 ((1 h 2 )y k h y x k k) h x k 1 0
xk
yk
y(xk)
ek
0.1
1.0959691
1.0954451
0.000464
0.2
1.1840966
1.1832160
0.000881
0.3
1.2662014
1.2649111
0.001290
0.4
1.3433602
1.3416408
0.001719
0.5
1.4164019
1.4142136
0.0Βιβλιοθήκη Baidu2188
0.6
1.4759556
1.4832397
0.002716
0.7
1.5525141
1.5491933
0.003321
0.8
1.6164748
1.6124515
0.004023
0.9
1.6781664
1.6733201
0.004746
1.0
1.7378674
1.7320508
0.005817
§3 龙格 - 库塔法 /* Runge-Kutta Method */
可即以：预测y 校p 正y k方 法h ( y来k 求2：yxky kk )1 y k h 2f(x k,y k) fx k 1 ,y k hf(x k,y k)
y
c
yk
h( y p
2 xk1 ) yp
yk1
1 2
(
y
p
yc)
y k 1 y k h 2 f(x k,y k) fx k 1 ,y k h f(x k,y k)
§1 Euler’s Method
梯形公式 /* trapezoid formula */ — 显/隐式两种算法的平均
y i 1 y i h 2 [f( x i,y i) f( x i 1 ,y i 1 )] ( i 0 ,.,.n .1 )
注：的确有局部截断误差 R iy(x i 1)yi 1 O (h 3)， 即梯形公式需具要有22个阶初精值度y，0和比y欧1来拉启方动法递有推了进步。 但注意过到程该，公这式样是的隐算式法公称式为，双计步算法时/* 不do得ub不le-用ste到p 迭代法m。ethod */，而前面的三种算法都是单步法 /* single-step method */。
建立高精度的单步递推格式。
单步递推法的基本思想是从 ( xi , yi ) 点出发，以某一斜 率沿直线达到 ( xi+1 , yi+1 ) 点。欧拉法及其各种变形所 能达到的最高精度为2阶。
y5= y4+hf(x4, y4)=-0.3333 y6= y5+hf(x5, y5)=0
xk
y(xk)
yk
ek
1.2
- 0.96
-1
0.04
1.4
-0.84 -0.9333 0.0933
1.6
-0.64
-0.8
0.16
1.8
-0.36
-0.6
0.24
2.0
0
-0.3333 0.3333
2.2
0.44
由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，不能直接得到，故 称为隐式 /* implicit */ 欧拉公式，而前者称为显式 /* explicit */ 欧拉公式。 一般先用显式计算一个初值，再迭代求解。
隐式欧拉法的局部截断误差：
R i y(xi1)yi1 h 22 y(xi)O (h3)
即隐式欧拉公式具有 1 阶精度。
改进欧拉法 /* modified Euler’s method */
§1 Euler’s Method
Step 1: 先用显式欧拉公式作预测，算出 yi1 yi h f ( xi , yi )
Step 2: 再将 yi1 代入隐式梯形公式的右边作校正，得到
yi 1
yi
h 2
[
f
(
x
i
,
yi
方法 显式欧拉 隐式欧拉 梯形公式
中点公式
简单 稳定性最好 精度提高
精度提高, 显式
§1 Euler’s Method
精度低 精度低, 计算量大 计算量大
多一个初值, 可能影响精度
withCaaollnft’ththeyiDetoaodpudmioOyvWsgsoaaaKsiudvkenib,levetltlal,ahmeeigcntt?iena’etssalkalgymefeoste?rwmgirtuehleaoduyt…any possible.
)
f ( xi1,
yi1 )]
y i 1 y i h 2 f( x i,y i) fx i 1 ,y i h f( x i,y i) ( i 0 ,.,n . 1 .)
注：此法亦称为预测-校正法 /* predictor-corrector method */。 可以证明该算法具有 2 阶精度，同时可以看到它是个单 步递推格式，比隐式公式的迭代求解过程简单。后面将 看到，它的稳定性高于显式欧拉法。
9常微分方程数值解59382
例1：
d d
y x
2y x
2
y 1 1
步长h=0.2
解：h=0.2 , xi=1+ih， 精确解为：y=x2-2x
y1= y0+hf(x0, y0)=-1
y2= y1+hf(x1, y1)=-0.9333
y3= y2+hf(x2, y2)=-0.8 y4= y3+hf(x3, y3)=-0.6
0
0.44
可以看出误差随着计算在积累。
➢ 欧拉公式的改进：
隐式欧拉法 /* implicit Euler method */
向后差商近似导数
y(x1)y(x1) hy(x0) x0
y( x1 ) y0 h f ( x1, y( x1 ))
§1 Euler’s Method x1
yi1 yi h f ( xi1 , yi1 ) (i 0, ... , n 1)