乘法公式几道难题

乘法公式几道难题

1．计算：(1)(1)x x -+＝_______；

2(1)(1)x x x -++＝_______；

32(1)(1)x x x x -+++＝_______；

432(1)(1)x x x x x -++++＝_______；

5432(1)(1)x x x x x x -+++++＝_______；

……

猜想：122(1)(...1)n n n x x x x x x ---++++++＝_______.

2．请看杨辉三角（1），并观察下列等式（2）：

根据前面各式的规律，则（a+b ）6= ．

3．（每小题3分，共6分）计算：

（1）()12

3014132)13(---⎪⎭⎫ ⎝⎛--+--

（2） 2104324)3(a a

a a a a ÷-⋅⋅--

4．观察下列式子的因式分解做法： ①

②x 3﹣1

=x 3﹣x+x ﹣1

=x （x 2﹣1）+x ﹣1

=x （x ﹣1）（x+1）+（x ﹣1）

=（x ﹣1）[x （x+1）+1]

=（x ﹣1）（x 2+x+1）

③x 4﹣1

=x 4﹣x+x ﹣1

=x （x 3﹣1）+x ﹣1

=x （x ﹣1）（x 2+x+1）+（x ﹣1）

=（x ﹣1）[x （x 2+x+1）+1]

=（x ﹣1）（x 3+x 2+x+1）

…

（1）模仿以上做法，尝试对x 5﹣1进行因式分解；

（2）观察以上结果，猜想x n ﹣1= ；（n 为正整数，直接写结果，不用验证）

（3）根据以上结论，试求45+44+43+42+4+1的值．

5．（本题10分）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“和谐数”。如222222420,1242,2064=-=-=-，因此4，12，20这三个数都是和谐数。

（1）36和2016这两个数是和谐数吗？为什么？

（2）设两个连续偶数为2k+2和2k （其中k 取非负整数），由这两个连续偶数构造的和谐数是4的倍数吗？为什么？

（3）介于1到200之间的所有“和谐数”之和为 ．

6．已知：x 2+3x+1=0．

求（1）x+； （2）x 2+

．

7．乘法公式的探究及应用．

（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是（写成两数平方差的形式）；

（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个矩形，它的宽是，长是，面积是（写成多项式乘法的形式）；

（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到公式；

（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：

①10.2×9.8，②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）．

8．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．

（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．

（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？

9．对于任何实数，我们规定符号c a d b

=bc ad -，例如：31 42

=3241⨯-⨯=2- 按照这个规律请你计算32- 54

的值；

按照这个规定请你计算，当0132=+-a a 时，

21-+a a 13-a a 的值.

10．（2015秋•夏津县期末）先仔细阅读材料，再尝试解决问题：

完全平方公式x 2±2xy+y 2=（x±y）2及（x±y）2的值恒为非负数的特点在数学学习中有

着广泛的应用，比如探求多项式2x 2+12x ﹣4的最大（小）值时，我们可以这样处理：

解：原式=2（x 2+6x ﹣2）

=2（x 2+6x+9﹣9﹣2）

=2[（x+3）2﹣11]

=2（x+3）2﹣22

因为无论x 取什么数，都有（x+3）2的值为非负数，所以（x+3）2的最小值为0，此时

x=﹣3，进而2（x+3）2﹣22的最小值是2×0﹣22=﹣22，所以当x=﹣3时，原多项式的

最小值是﹣22

解决问题：

请根据上面的解题思路，探求

（1）多项式3x 2﹣6x+12的最小值是多少，并写出对应的x 的取值．

（2）多项式﹣x 2﹣2x+8的最大值是多少，并写出对应的x 的取值．

11．（2007秋•招远市期末）若+x=3，则= ．

12．若a 2b ＋ab 2＝30，ab ＝6，求下列代数式的值：

（1）a 2＋b 2； （2）a －b ．

13．已知A=a+2，B=2a 2-3a+10，C=a 2+5a-3，

（1）求证：无论a 为何值，A-B ＜0成立，并指出A ，B 的大小关系；

（2）请分析A 与C 的大小关系．

14．先化简，再求值：2[(2)(2)2()3(3)(2)](2)x y x y x y x y x y y +-++-+-÷，其中x ，y

满足2210x x -+=．

15．老师在黑板上写出三个算式： 283522⨯=-， 487922⨯=-， 5891122⨯=-；王华接着又写了两个具有同样规律的算式： 78131522⨯=-， 108192122⨯=-；

（1）请你再写出两个（不同于上面算式）具有上述规律的算式；

（2）用含n 的代数式写出反映上述算式的规律；

（3）证明这个规律的正确性．

16．已知2a 2

＋3a －6＝0，求代数式3a （2a ＋1）－（2a ＋1）（2a －1）的值.