北京一零一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学试题(含答案)

北京101中学2018－2019学年下学期高二年级期中考试
数学试卷
本试卷满分120分，考试时间100分钟
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 若z =3+4i ，则|z|=（ ） A.
5
B. 5
C. 7
D. 25
2. 下列四个函数：①3
x y =；②12
+=x y ；③y =|x |；④y=2x 。

其中在x=0处取得极值的是（ ） A. ①②
B. ②③
C. ③④
D. ①③
3. 在极坐标系中，直线ρsin θ－ρcos θ=1被曲线ρ=2截得的线段长为（ ）
A.
3
B.
2
6
C.
6
D. 2
4. 已知函数)(x f =x （2018+ln x ），)('0x f =2019，则0x =（ ）
A. 2
e
B. 1
C. ln2018
D. e
5. 已知函数)(x f y =的导函数)('x f 的图象如图所示，则)(x f 的极大值点共有（ ）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
6. 已知曲线1
)(2++=x a x x f 在点（1，f （1））处切线的斜率为1，则实数a 的值为（ ）
A. 2
B.
23 C. －4
3 D. －1 7. 已知函数x x x x f 1ln )(+-=，若a =)3
1
(f ，b =)(πf ，c=f （5），则（ ）
A. c<b<a
B. c<a<b
C. c<a<b
D. a<c<b
8. 已知实数a ，b 满足0ln 32
=--b a a ，c ∈R ，则（a －c ）2+（b +c ）2的最小值为（ ）
A. 1
B.
2
C. 2
D.
5
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

9. 函数x x x f ln 2)(2
-=的单调递减区间是_________。

10. 复数z =
i
i
-+12（i 为虚数单位）的共轭复数是_________。

11. 曲线y =ln （x +2）－3x 在点（－1，3）处的切线方程为_________。

12. 若复数（a +i ）（3+4i ）的对应点在复平面的一、三象限角平分线上，则实数a =_________。

13. 已知圆C 的参数方程为⎩⎨
⎧=+=θ
θsin ,
cos 2y x （θ为参数），则圆C 的面积为_________；圆心C 到
直线l ：3x －4y=0的距离为_________。

14. 若函数12)(2
3
++-=ex ax x x f （a ∈R ）是实数集上的单调函数，则函数)(x f 在区间[－1，1]上的最大值与最小值的和的最小值为_________。

三、解答题共4小题，共50分。

解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

15. （本小题12分） 已知)(x f =
2
1
（x －5）2+6ln x 。

（1）求曲线）)(x f y =在点（1，f （1））处的切线方程； （2）求函数)(x f 的单调区间。

16. （本小题12分）
已知函数)(x f =x x axe x 22
--。

（1）当a =l 时，求函数)(x f 的极值；
（2）当x ∈（－2，0）时，)(x f ≤l 恒成立，求a 的取值范围。

17. （本小题14分） 已知函数)(x f =x x x --3。

（1）判断
x
x f )
(的单调性；
（2）求函数y =)(x f 的零点的个数；
（3）令g （x ）=x
x f ax
ax ++)(2+ln x ，若函数y =g （x ）在（0，e 1）内有极值，求实数a 的取值范
围。

18. （本小题12分）
已知常数a >0，函数)(x f =ln （1+ax ）－
2
2+x x。

（1）讨论)(x f 在区间[0，+∞）上的单调性；
（2）若)(x f 存在两个极值点x 1，x 2，且)(1x f +)(2x f >0，求a 的取值范围。

参考答案
1. B
2. B
3. C
4. B
5. B
6. D
7. A
8. C
9. （0，1）。

10.
2
3
21-i 。

11. 012=-+y x 。

12. －7。

13. （2018西城二模理9）π，5
6。

14. 2－2e 6。

15. （1）x
x x f 6
5)('+
-=，得'f （1）=2，f （1）=8。

则曲线y =)(x f 在点（1，f （1））处的切线为y =2x +6。

（2）由题可知：x >0， 由（1）知，)('x f =x －
5+
x
x x x )
3)(2(6--=
， 令)('x f =0，得x =2或x =3。

列表如下：
故)(x f 的单调递增区间为（0，2），（3，+∞）；单调递减区间为（2，3）。

16. （1）当a =1时，)(x f =xe x －x 2－2x ，)('x f =xe x +e x －2x －2=（x +1）（e x －2）。

令)('x f =0，得x 1=－1，x 2=ln2。

（－∞，－1）
－
所以，)(x f 极大值=f （－1）=1－
e
；f （x ）极小值=f （ln2）=－（ln2）2 （2）当x ∈（－2，0）时，)(x f ≤1恒成立。

等价于当x ∈（－2，0）时，122
≤--x x axe x
， 即122
++≤x x axe x
，因为x ∈（－2，0），
所以a ≥x
xe
x x 122++， 令)(x h =x xe x x 1
22++，x ∈（－2，0），
)('x h =－
x e x x x 22)
1)(1(++
则)(x h max =h （－1）=0， 因此a ≥0，即a ∈[0，+∞）。

17. （1）设φ（x ）=
x
x x x f 1
1)(2--=（x>0） 则0212)('3
>+
=x
x x φ，所以φ（x ）在（0，+∞）上单调递增.
（2）因为φ（1）=－1<0，φ（2）=3－
2
1
>0. 且φ（x ）在（0，+∞）上单调递增，所以φ（x ）在（1，2）内有零点，
又⋅=-
-=x x x x x f 3
)(φ（x ），显然x =0为)(x f 的一个零点，
所以)(x f 在[0，+∞）上有且只有两个零点.
（3）x x ax ax x g -+=3
2)(+ln x =ln x +1-x a
， 则2
22)1(1
)2()1(1)('-++-=--=x x x a x x a x x g ，
设1)2()(2
++-=x a x x h
则0)(=x h 有两个不同的根1x ，2x ，且有一根在（0，e
1
）内， 不妨设0<x 1<
e
1
，由于x 1x 2=1，即x 2>e ， 由于h （0）=l ，故只需h （e 1）<0即可，即21e －（2+a ）·e
1
+1<0，
解得a >e +e 1－2，所以实数a 的取值范围是（e+e
1
－2，+∞）。

18. （2014高考湖南理22）
（1）2
22
)2)(1()
1(4)2(2)2(21)('++-+=+-+-+=x ax a ax x x x ax a x f 。

（*） 当a ≥1时，)('x f >0，此时，)(x f 在区间（0，+∞）上单调递增。

当0<a <1时，由)('x f =0得x 1=2
舍去）a
a
x a a --=-12(12。

当x ∈（0，x 1）时，)('x f ）<0；当x ∈（x 1，∞）时，)('x f >0。

故)(x f 在区间（0，x 1）上单调递减，在区间（x 1，∞）上单调递增。

综上所述，当a ≥l 时，)(x f 在区间（0，+∞）上单调递增；
当0<a <l 时，)(x f 在区间（0，2
a
a
-1）上单调递减， 在区间（2
a
a
-1，+∞）上单调递增。

（2）由（*）式知，当a ≥1时，)('x f ≥0，此时)(x f 不存在极值点，因而要使得)(x f 有两
个极值点，必有0<a <1。

又)(x f 的极值点只可能是x 1=2
a a -1和x 2=－2a
a
-1，且由)(x f 的定
义可知，x >－
a 1且x ≠－2，所以－2a a -1>－a 1，－2a a -1≠－2，解得a ≠2
1。

此时，由（*）
式易知，x 1，x 2分别是)(x f 的极小值点和极大值点。

而
2
2)1ln(22)1ln()()(22211121+-+++-
+=+x x ax x x ax x f x f =ln[1+a （x 1+x 2）+a 2x 1x 2]－
4
)(2)
(4421212121+++++x x x x x x x x
=ln （2a －1）2－
21
22
)12ln(12)142--+-=--a a a a （。

令2a －l=x ，由0<a <l 且a ≠
2
1
知 当0<a <21时，－1<x <0；当2
1
<a <1时，0<x <1。

记g （x ）=ln x 2+22
-x
①当－1<x <0时，g （x ）=2ln （－x ）+22
-x。

所以02
222)('2
2<-=-=x x x x x g ，
因此，)(x g 在区间（－1，0）上单调递减，从而)(x g <4)1(-=-g <0.
故当2
1
0<
<a 时，0)()(21<+x f x f . ②当0<x <1时，g （x ）=2ln x +x
2
－2，
所以)('x g =x 2－02
222<-=2
x x x ，
因此，g （x ）在区间（0，1）上单调递减，从而g （x ）>g （1）=0。

故当
2
1
<a <1时，)()(21x f x f +>0。

综上所述，满足条件的a 的取值范围为（2
1
，1）。