2020高考应用题专题(含答案版)

2020届高三数学应用题专题
1. 经销商用一辆J 型卡车将某种水果从果园运送(满载)到相距400 km 的水果批发市场．据测算，J 型卡车满载行驶时，每100 km 所消耗的燃油量u(L)与速度v(km/h)的关系近似地满
足u ＝⎩
⎨⎧100
v
＋23，0<v ≤50，v 2
500
＋20，v>50.除燃油费外，人工工资、车损等其他费用平均每小时为300
元．已知燃油价格为每升(L)7.5元．
(1) 设运送这车水果的费用为y(元)(不计返程费用)，将y 表示成速度v 的函数关系式； (2) 卡车应该以怎样的速度行驶，才能使运送这车水果的费用最少？
2. 某城市受雾霾影响严重，现欲在该城市中心P 的两侧建造A ，B 两个空气净化站（A ，P ，B 三点共线），A ，B 两站对该城市的净化度分别为1a a -，，其中(01)a ∈，．已知对该城市总净化效果为A ，B 两站对该城市的净化效果之和，且每站净化效果与净化度成正比，与中心
P 到净化站距离成反比．若1AB =，且当34AP =时，A 站对该城市的净化效果为3
a
，B 站对
该城市的净化效果为1a -． （1）设AP x =，(01)x ∈，，求A ，B 两站对该城市的总净化效果()f x ；
（2）无论A ，B 两站建在何处，若要求A ，B 两站对该城市的总净化效果至少达到2
5
，求
a 的取值集合．
3. 如图,直线1l 是某海岸线，2l 是位于近海的虚拟线，12l l ⊥于点P,点A,C 在2l 上，AC 的中点为O ，且km AC PA 2==.
（1）原计划开发一片以AC 为一条对角线,周长为8 km 的平行四边形水域ABCD,建深水养殖场.求深水养殖场的最大面积;
（2）现因资金充裕,计划扩大开发规模,开发如图五边形水域QABCD,建养殖场,其中ABCD 是周长为8 km 的平行四边形,点Q 在1l 上,且在点P 的上方,AD OQ ⊥, ︒≤∠90OCD . 养殖场分两个区域,四边形QAOD 区域内养殖浅水产品,其他区域内养殖深水产品,要求养殖浅水产品区域的面积最大.求点Q 与点P 的距离.
4. 如图(1)是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下:如图(2)，自直立于水面的空中平台CP 的上端点P 处分别向水池内的三个不同方向建水滑道PA,PM,PB ，水滑道的下端点B,M,A 在同一条直线上，CM = 10m,∠
BCA=120°，CM 平分∠BCA ，假设水滑梯的滑道可以看成线段，B,M,A 均在过C 且与PC 垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求ACB PCA PCB S S S ∆∆∆≤+2.
(1)求滑梯的高PC 的最大值;
(2)现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计∠PBC=30°，求该滑梯装置(即图(2)中的几何体)的体积最小值.
.
5.如图，已知A ，B 两镇分别位于东西湖岸MN 的A 处和湖中小岛的B 处，点C 在A 的正
西方向1km 处，经测量3tan 4BAN ∠=，π4
BCN ∠=．现计划铺设一条电缆联通A ，B 两镇．有两种方案供选择：①沿线段AB 在水下铺设；②在湖岸MN 上设立一中转站P ，先沿线段AP 在地下铺设，再沿线段PB 在水下铺设．预算地下、水下的电缆修建费用分别为2万/km 、4万/km ．
（1）求A ，B 两镇间的距离；
（2）应该选择哪种方案，使总修建费用较低？
C A P
B M
N
(第17题)
江苏省如皋中学2019届高三数学应用题专题
1. 解：(1) 由题意，当0＜v ≤50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v ＝30·⎝⎛⎭⎫100v ＋23＋300·400v
＝123 000
v
＋690， 当v ＞50时，y ＝7.5·400100u ＋300·400v
＝30·⎝⎛⎭⎫v 2500＋20＋300·400v ＝3v 250＋120 000v ＋600， 所以y ＝⎩⎪⎨⎪⎧
123 000
v ＋690，0＜v ≤50，
3v 2
50＋120 000
v ＋600，v ＞50.
(2) 当0＜v ≤50时，y ＝
123 000
v
＋690是单调减函数， 故v ＝50时，y 取得最小值y min ＝
123 000
50
＋690＝3 150； 当v ＞50时，y ＝3v 250＋120 000
v ＋600(v ＞50)．
由y′＝3v 25－120 000v 2＝3v 3－3×106
25v 2
＝0，得v ＝100.
当50＜v ＜100时，y ′＜0，函数y ＝3v 250＋120 000v ＋600单调递减；当v>100时，y ′>0，
函数y ＝3v 250＋120 000
v
＋600单调递增．
所以当v ＝100时，y 取得最小值y min ＝3×100250＋120 000100＋600＝2 400.由于3 150＞2
400，所以当v ＝100时，y 取得最小值．
答：当卡车以100 km/h 的速度行驶时，运送这车水果的费用最少．
2. 何处，若要求A ，B 两站对该城市的总净化效果至少达到
2
5
，求a 的取值集合． 解：（1）设A 站对城市的净化效果为1y ，比例系数为1k ，则11k a
y x
=，
由题意34x =，13a y =，即1334
k a a =，所以11
4k =，…
设B 站对P 城市的净化效果为2y ，比例系数为2k ，则2211a
y k x
-=-，
由34x =，21y a =-得21
4
k =
所以A 、B 两站对该城市的总净化效果121()44(1)
a a f x y y x x -=+=+-，(01)x ∈，；…6分 （2）由题意得1
()2
f x ≥对任意的(01)x ∈，恒成立，
只要(01)x ∈，时min 1
()2f x ≥即可； 又
111()((1))44(1)41a a a a x x x x x x
--+=++--- 1(1)(1)(1)41a x a x x x --=++-1(1)(1)(12
)41a x a x x x --+⋅-≥ 1
(12(1))4
a a =+- 当且仅当(1)(1)1a x a x x x --=
-即1111x a =+-时等号成立，则min 1
()(12(1))4
f x a a =+-， 又若12(12(1))45a a +-≥，则290100a a -+≤，即19
1010
a ≤≤，
综上，无论A 、B 两站建在何处，若要求A 、B 两站对P 城市的总净化效果至少达到2
5
，
a 的取值集合为19,1010⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
． ………………………………14分
3
4. 如图(1)是某水上乐园拟开发水滑梯项目的效果图，考虑到空间和安全方面的原因，初步设计方案如下:如图(2)，自直立于水面的空中平台CP 的上端点P 处分别向水池内的三个不同方向建水滑道PA,PM,PB ，水滑道的下端点B,M,A 在同一条直线上，CM = 10m,∠
BCA=120°，CM 平分∠BCA ，假设水滑梯的滑道可以看成线段，B,M,A 均在过C 且与PC 垂直的平面内，为了滑梯的安全性，设计要求ACB PCA PCB S S S ∆∆∆≤+2.
(1)求滑梯的高PC 的最大值;
(2)现在开发商考虑把该水滑梯项目设计成室内游玩项目，且为保证该项目的趣味性，设计∠PBC=30°，求该滑梯装置(即图(2)中的几何体)的体积最小值.
5. ．（1）过B 作MN 的垂线，垂足为D ．
在Rt ABD △中，
3
tan tan 4
BD BAD BAN AD ∠=∠==， 所以4
3
AD BD =
， 在Rt BCD △中，tan tan 1BD
BCD BCN CD
∠=∠==， 所以CD BD =．
则41
133
AC AD CD BD BD BD =-=-==，即3BD =，
所以3CD =，4AD =，
由勾股定理得，5AB =(km)．
所以A ，B 两镇间的距离为5km ．……………………………………………4分 （2）方案①：沿线段AB 在水下铺设时，总修建费用为5420⨯=(万元)．………6分
方案②：设BPD θ∠=，则0π(,)2
θθ∈，其中0BAN θ=∠，
在Rt BDP △中，3tan tan BD DP θθ==，3
sin sin BD BP θθ==
， 所以3
44tan AP DP θ
=-=-．
则总修建费用为6122cos 24886tan sin sin AP BP θ
θθθ-+=-+=+⋅
．………8分 令2cos ()sin f θ
θθ
-=，则2
22sin (2cos )cos 12cos '()sin sin f θθθθθθθ---==
， 令'()0f θ=，得π
θ=，列表如下：
所以()f θ的最小值为()3
f =
所以方案②的总修建费用最小为8+(万元)，此时4AP =．……12分
而820+，
所以应选择方案②，中转站P 设在A 的正西方向(4-km 处， 总修建费用较低．…
总修建费用较低．…
C A P
B
M
N (第17题)
D。