中考复习资料-数学思想方法专题

第二章 数学思想方法专题
第4讲． 化归思想
✌ 【专题精讲】
数学思想是数学内容的进一步提炼和概括，是对数学内容的种本质认识，数学方法是实施有关数学思想的一种方式、途径、手段，数学思想方法是数学发现、发明的关键和动力．抓住数学思想方法，善于迅速调用数学思想方法，更是提高解题能力根本之所在．因此，在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法，培养用数学思想方法解决问题的意识．
初中数学的主要数学思想是化归思想、分类讨论思想、数形结合思想等． 本专题专门复习化归思想．化归思想就是化未知为已知、化繁为简、化难为易．
如将分式方程化为整式方程，将代数问题化为几何问题，将四边形问题转化为三角形问题等．
实现这种转化的方法有：待定系数法、配方法、整体代人法以及化动为静、由抽象到具体等
✌ 【典例精析】
例1、（嘉峪关）如图3－1－1，反比例函数y=－8
x 与一次函数y=－x+2的图象交于A 、B 两点．
（1）求 A 、B 两点的坐标； （2）求△AOB 的面积．
分析：两个函数的图象相交，说明交点处的横坐标和纵坐标，既适合于第一个函数，又适合于第二个函数，所以根据题意可以将函数问题转化为方程组的问题，从而求出交点坐标．
例2、（自贡）解方程：22(1)5(1)20x x ---+=
分析：很显然，此为解关于x －1的一元二次方程．如果把方程展开化简后再求解会非常麻烦，所以可
有些人说工作忙，没时间学习，我认为问题不在时间忙，而在于你愿不愿意学习，会不会挤时间学习。

一块好的木板，上面一个洞也没有，但为什么钉子能够钻进去，这就是靠压力硬挤
根据方程的特点，含未知项的都是含有（x —1）所以可将设为y ，这样原方程就可以利用换元法转化为含有y 的一元二次方程，问题就简单化了．
例3、（达川）如图3－1－2，梯形 ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD ，对角线AC 、BD 相交于O 点，且AC ⊥BD ，AD=3,BC=5，求AC 的长． 分析：此题是根据梯形对角线互相垂直的特点通过平移对角线将等腰梯形 转化为直角三角形和平行四边形，使问题得以解决．
例4、（新泰模拟）已知△ABC 的三边为a ，b ，c ，且222a b c ab ac bc ++=++，试判断△ABC 的形状． 分析：此题将几何问题转化为代数问题，利用凑完全平方式解决问题．
例5、（临沂）△ABC 中，BC ＝a ，AC ＝b ，AB ＝c ．若90C ∠=︒，如图l ，根据勾股定理，则222a b c +=。

若
△ABC 不是直角三角形，如图2和图3，请你类比勾股定理，试猜想22a b +与c 2
的关系，并证明你的结论．
分析：勾股定理是我们非常熟悉的几何知识，对于直角三角形三边具有：222a b c +=的关系，那么锐角三角形、钝角三角形的三边又是怎样的关系呢？我们可以通过作高这条辅助线，将一般三角形转化为直角三角形来确定三边的关系.
【巩固演练】--------转化思想
1、 如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，DC ⊥BC ，AB=8，BC=5． 若以AB 为直径的⊙O 与DC 相切于E ，则DC= 。

2、二元二次方程组⎩⎨⎧=+=+3
26
422y x y x 的解是 。

3、已知：如图，扇形AOB 中，∠AOB=45°，AD=4cm ，弧CD=3πcm ，则图中阴影部分的面积是 。

4、在半径为R 的圆中有一条长度为R 的弦，则该弦所对的圆周角的度数是 。

5、解方程组⎩⎨⎧==+12
1
112
71
1xy y x 时，若设a x =1，b y =1，则方程组变为 ；
若把
x
1、y 1
看作某关于z 的一元二次方程的两根，则方程组变为 。

7．若244(1)0y y x y ++++-=，则xy 值等于_________
8. 若点(,5)B(1,3)P a b a b +--与点关于原点对称，则关于x 的二次三项式222
b x ax --可以分解为=_______. 9.已知点(3,0)(0,3)(1,)A B C m -，，在同一条直线上，则m=____________. 10. 如图3－1－10，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为1
2 的矩形，接着把
面积为12 的矩形等分成两个面积为14 的正方形，再把面积为14 的正方形等分成两
个面积为1
8
的矩形，如此进行下去……试利用图形揭示的规律计算：
11111111+++++++=_____248163264128256
. 11．已知：如图3－1－11所示，现有一六边形铁板ABCDEF ，其中 ∠A ＝∠D ＝∠C ＝∠D ＝∠E ＝∠F=120°，AB=10cm ， BC=70cm ，CD=20cm ，DE=40cm ，求AF 和EF 的长．
12. △ABC 的三边长为连续的自然数，且最大角为最小角的二倍，求三边长．
13.如图,公路MN 和公路PQ 在点P 处交汇，且∠QPN=30o ，在点A 处有一所中学，AP=160米，假设拖拉机
行驶时，周围100米以内会受到噪声的影响，那么拖拉机在公路NN 上沿PN 方向行驶时，学校是否会受到影响? 请说明理由；如果受影响，已知拖拉机的速度为18千米／时，那么学校受影响的时间为多少秒?
14. 已知二次函数2
12
y x bx c =
++的图象经过点A （－3，6）并且与x 轴相交于点B （－1，0）和点C ，顶点为P （如图3－1－14） （1）求二次函数的解析式；
（2）设D 为线段OC 上一点，满足∠DPC ＝∠BAC ，求点D 的坐标.
P
A Q
M
N
谈中考数学复习（一）
识天时———了解中考目标(二)
2．“怎样考”
（1）基础题（近100分），题型包括选择（共10题）填空（共6～8题）简答题（共8题左右）加强客观题解题速度和正确率的强化训练，中考采取了客观题起点低，减少运算量，让学生有更多的时间完成解答题，充分发挥选拔功能的作用，这就需要在速度、准确率上下功夫，定时定量强化训练。

（2）中等难度题（近30分）有些试题的解答结构基本稳定，具有一类试题解答结构的代表性，如果掌握了这些试题的解答要点，加强训练，形成基本稳定的模式，再来解答此类试题就轻车熟路，迅速准确，简明扼要。

突出学生阅读分析能力训练。

当试题的叙述较长时，不少学生往往摸不着头脑，知识的积累，不应是一种“死积累”，这种积累多了，常常是为积累所累，让人感到“盛名之下，其实难副”。

知识的积累，应当是“活”的，融汇贯通、活学活用。

这本身
第5讲．分类讨论思想
【专题精讲】
在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查．这种分类思考的方法是一种重要的数学思想方法，同时也是一种解题策略．
分类是按照数学对象的相同点和差异点，将数学对象区分为不同种类的思想方法，掌握分类的方法，领会其实质，对于加深基础知识的理解．提高分析问题、解决问题的能力是十分重要的．正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．
1、分类的原则：
（1）分类中的每一部分是相互独立的；
（2）一次分类按一个标准；
（3）分类讨论应逐级进行． 2、常见的题型：
①等腰三角形中边角问题，以及取点构成等腰三角形问题
②化简带绝对值，根号的式子，求值问题 ③绝对值方程，含有字母的方程 ④动点问题 ⑤分段函数
【典例精析】
例1、①等腰三角形的两边为7、6，则三角形的周长为 ；
②三角形有一个角是80°，而且有两个角相等，则另外两个角是 。

分析：等腰三角形给定的边角不明确，会产生问题的分类讨论。

例2、化简：①︱x-1 ︳-︱x+3︱ ②︱x-1 ︳+2(9)x -
分析：化简带绝对值，根号的式子时不知道正负故要进行分类讨论
例3、解方程：①︱2x-5 ︳=7 ②（a-2）x=b-1
分析：对于方程ax=b ，一般要对字母a,b 进行分类讨论
当a ≠0时方程有惟一解x=b/a;当a=0,b=0时，方程有无数个解； 当a=0,b ≠0时，方程无解 例4、（重庆）如图，在平面直角坐标系内，已知点A （0，6）、点B （8，0），动点P 从点A 开始在线
段AO 上以每秒1个单位长度的速度向点O 移动，同时动点Q 从点B 开始在线段BA 上以每秒2个单位长度的速度向点A 移动,设点P 、Q 移动的时间为t 秒． (1) 求直线AB 的解析式；
(2) 当t 为何值时，△APQ 与△AOB 相似？
(3) 当t 为何值时，△APQ 的面积为
5
24
个平方单位？ 例5、（黄冈）在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节将来临时，价格呈上升趋势，设这种时装开始时定价为20元，并且每周（7天）涨
价2元，从第6周开始保持30元的价格平稳销售；从第12周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2元，直到第16周周末，该服装不再销售。

⑴试建立销售价y 与周次x 之间的函数关系式； ⑵若这种时装每件进价Z 与周次x 次之间的关系为Z ＝()128125.02
+--x 。

1≤x ≤16，且x 为整数，
试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润为多少？
y x O P
Q
A B
【巩固演练】
1、已知等腰三角形的两边长分别为5和6，则这个三角形的周长是（ ） A ．16 B ．16或 17 D ．17或 18
2、已知11||1,||a a a a
-=+则的值为（ ） . 5 . 5 . 3 .51A B C D ±±或
3、若2222122,a b a b ab ab a b +++-=+则值为（）
A ．2
B ．－2
C ．2或－2
D ．2或－2或0
4、若直线4y x b =-+与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b 的值为（ ） .2 5 .210 .210 .210A B C D ±±-
5、在同一坐标系中，正比例函数-3y x =与反比例函数k
y x
=
的图象的交点的个数是（ ） A ．0个或2个 B ．l 个 C ．2个 D ．3个
6、 已知等腰三角形一腰上的中线将它的周长分为9和12两部分，则腰长为，底边长为_______．
7、 矩形ABCD ，AD=3，AB=2，则以矩形的一边所在直线为轴旋转一周所得到的圆柱的表面积为_____.
8、已知：x =3，y =2，且xy<0，则x ＋y 的值等于 。

9、设为实数，下列四个命题中有 等正确（添代号）：
①若a ＋b=0，则a =b ②若a ＋b =0，则a=b=0 ③若a 2
＋b 2
=0，则a=b=0 ④若b a +=0，则a=b=0
10、当式子
5
452
---x x x 的值为零时，x 的值是 。

11、如图,四边形ABCD 是正方形,E 是CD 中点,F 是BC 上一点, 则能使△ABF∽△ECF 的条件是 。

12、已知圆的弦把圆周分为1：5两部分，则弦所对的圆周角的度数是 。

13、已知两圆的半径分别是5㎝和6㎝，且两圆相切，则圆心距是 。

14、已知两圆相交，且公共弦为8㎝，圆心距是6㎝，若一圆半径为5㎝，则另一圆的半径是 。

15、公民的月收入超过1000元时，超过部分须依法缴纳个人所得税，当超过部分在500元以内(含500元)时税率为5%，那么公民每月所纳税款y(元)与月收入x(元)之间的函数关系式是 ，自变量取值范围是 ．某人月收人为1360元，则该人每月应纳税 元． 16、若不等式组⎩
⎨
⎧->+<121
m x m x 无解，则m 的取值范围是 。

17、已知：如图，在直角坐标系中，⊙C 与y 轴相切于点O ，且C 点的坐标为
(1，0)，直线l 过点A(－1，0)与⊙C 切于D 点。

(1)求直线l 的解析式；
(2)在直线l 上存在点P ，使△APC 为等腰三角形，求P 点的坐标。

18．化简2|1|(9)x x -+-.
19．抛物线 2y ax c =+与y 轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．
A
B
F D E
C
20．已知关于 x 的方程22(23)10x k k --++=.
⑴ 当k 为何值时，此方程有实数根；
⑵ 若此方程的两实数根x 1，x 2满足12||||3x x +=，求k 的值．
第6讲．数形结合思想
【专题精讲】
数学家华罗庚说得好：“数形结合百般好，隔离分家万事休，几何代数统一体，永远联系莫分
谈中考数学复习（二）
择地利———了解教材
现在中考命题仍然以基础题为主，有些基础题是课本上的原题或改造，后面的大题虽是“高于教材”，但原型一般还是教材中的例题或习题，是教材中题目的引伸、变形或组合。

因此一定要将教材吃透，悟透，对重要定理的证明方法理解掌握，活学活用。

求人和———了解老师，了解自己 了解自己成绩居中上游的学生，应以“扬长”为主，居下游的学生，应以“补弱”为主，处理好“扬长”与“补弱”的分层推进关系,要加强解题训练，但不能无目的地解题陷入题海，要学会一题多用、多题一用，举一反三。

因此养成良好的学习习惯就成功了一半。

一般来讲做到以下“三要”和“三不要” “三要”：
一要认真听讲；
老师每天的课程都是精心安排的，即使看上去已经会的也要认真体会老师的意图； 二要认真完成当天的作业； 三要认真思考，作好小结。

“三不要”：
一不要让当天的错误过夜； 二不要似懂非懂，不懂装懂；
习惯是一种重复，亦即重复的思想和行为便形成了习惯。

习惯一旦形成，其“惯性”的力量往往难以抗拒。

它常成了人生的主宰。

习惯有好恶美丑之分，全在于选择和把握。

人应当成为习惯的主人，而不是它的奴隶。

塞内加尔作家菩德吉说：“播种一个行为，
离”．数形结合思想方法是初中数学中一种重要的思想方法.数是形的抽象概括,形是数的直观表现。

1．用数形结合的思想解题可分两类:
(1)利用几何图形的直观表示数的问题,它常借用数轴、函数图象等；
(2)运用数量关系来研究几何图形问题,常需要建立方程(组)或建立函数关系式等。

2. 热点内容：
(1).利用数轴解不等式(组)
(2).研究函数图象隐含的信息,判断函数解析式的系数之间的关系,确定函数解析式和解决与函数性质有
关的问题.
(3).研究与几何图形有关的数据,判断几何图形的形状、位置等问题.
(4).运用几何图形的性质、图形的面积等关系,进行有关计算或构件方程(组),求得有关结论等问题. 【典例精析】
例1、将如图1-4-6所示的圆心角为90°的扇形纸片AOB围成圆锥形纸帽,使扇形的两条半径OA与OB 重合(接缝粘贴部分忽略不计),则围成的圆锥形纸帽是( )
解析:借助实际操作可知应选B,故排除A、C、D选项.
例2、观察市统计局公布的“十五”时期重庆市农村居民年人均收入每年比上年增长率的统计图，下列说法中正确的是( )
年农村居民年人均收入低于2002年
B.农村居民年人均收入每年比上年增长率低于9%的有2年
C.农村居民年人均收入最多的是2004年
D.农村居民年人均收入每年比上年的增长率有大有小,但农村居民年人均收入在持续增加
解析:由统计图可知2003年比2002年的增长率高%,故排除A,农村居民人均收入比上年增长率低于9%的有3年,故排除B,因2005年的增长率为,故排除C,选D.
例3、如图,在大房间一面墙壁上,边长为15 cm的正六边形A(如图(2))横排20片和以其一部分所形成的梯形B,三角形C、D、E,菱形F等六种瓷砖毫无空隙地排列在一起,已知墙壁高3.3 m,请你仔细观察各层瓷砖的排列特点需使用( )
片 片 片 片 例4、 抛物线y=ax 2+bx+c 与x 轴交于A 、B 两点,Q(2,k)是该抛物线上一点,且AQ ⊥BQ,则ak 的值等于( )
B.-2
C.2 解析:如图,因为AQ ⊥BQ,CQ ⊥AB, 所以△ACQ ∽△AQB. 所以CQ 2
=AC ·BC.
又因为AC ·BC=(2-x 1)(x 2-2)=-x 1x 2+2(x 1+x 2)-4=a
b
a c 2---4,CQ=|k|, 所以k 2
=a
b
a c 2--
-4.所以-ak 2=4a+2b+c. 因为点Q 是抛物线上一点,所以4a+2b+c=k. 所以-ak 2
=k.所以ak=-1.
例5、如图用黑白两种颜色正方形的纸片按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一列图案:
(1)第4个图案中有白色纸片____________张;(2)第n 个图案中有白色纸片____________张. 解析:由图案中有白色纸片张数4,7,10不难发现每加一个黑色纸片就增加3个白色纸片. 例6、(辽宁大连中考)在数学活动中,小明为了求n 2
1
21212121432+++++Λ的值(结果用n 表示),设计如图1-4-18所示的几何图形. (1)请你利用这个几何图形求
n 2
1
21212121432+++++Λ的值为________________.
图1-4-18
(2)请你利用图1-4-18,再设计一个能求
n 2
1
21212121432+++++Λ的值的几何图形. 解析: (1)n 2121212121432+++++Λ的值是正方形的面积中去掉了多少,即1-n 2
1
.
(2)的关键是把图形的面积分成一半,只要把握住这个实质性的问题,那么就好做了.
例7、已知关于x 的方程x 2-(3m+1)x+(m+4)=0的两个实数根,一个根大于1,另一个根小于1,则m 的取值范围是_________________.
解析: 画出函数y=x 2-(3m+1)x+m+4的大致图象,可知当x=1时,y<0,即12-(3m+1)·1+m+4<0.所以m>2.
【巩固演练】
1．实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图3－3－14 所示，化简
||||a b c b ++-的结果是（ ）
A ．a ＋c
B ．－a －2b+c
C ．a+2b －c
D ．－a －c
2．若直线y=mx+4，x=l ，x=4和x 轴围成的直角梯形的面积是7，则m 的值是（ ） A ．－12 B ．－ 23 C ．－3
2
D ．－2
3．如图，每个正方形网格都是由四个边长为1的小正方形组成，其中阴影部分面积为5
2 的是（ ）
4．如图3－3－16所示，在平面直角坐标系中，直线AB 与x 轴的夹角为60°，且点A 坐标为（－2，0），点B 在x 轴上方，设A B=a ，那么点B 的横坐标为（ ） A ．2－a 2 B ．2＋a 2 C ．－2－a 2 D ．－2+ a
2
图3－3－18
5．在边长为a 。

的正方形中，挖掉一个边长为b 的小正方形(a ＞b)（如图3－3－18（l ）），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图3－3－18⑵），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式是（ ） A ．22()()a b a b a b -=+-； B ．222()2a b a ab b +=++； C ．222()2a b a ab b -=-+； D ．22(2)()a b a b a ab b +-=+-
6．已知关于x 的不等式2x －a ＞－3的解集如图3－3－19所示，则a 的值等于（ ） A ．0 B ．1 C ．－1 D ．2
7．如图3－3－20所示，在反比例函数y= k
x (k ＞0）的图象上有三点A 、B 、C ，
过这三点分别向x 轴、y 轴作垂线，过每一点所作的两条垂线与x 轴，y 轴围成的面积分别为S 1，S 2，S 3，则（ ）
A ．S 1＞S 2＞S 3
B ．S 1＜S 2 ＜S 3
C ．S 1＜S 3＜S 2
D ．S 1=S 2 =S 3 8. 如图3－3－22所示，在平面直角坐标系中，∠AOB =150○
，OA ＝OB=2，则点A 、B 的坐标分别是______________和_________．
9.实数p 在数轴上的位置如图3－3－23所示，化简22(1)(2)_______p p -+-=。

10.已知直线y 1=2x －1和y 2=－x －1的图象如图3－3－24所示，根据图象填空．
⑴ 当x______时，y 1＞y 2；当x______时，y 1=y 2；当x______时，y 1＜y 2.
⑵ 方程组211y x y x =-⎧⎨=--⎩的解是_____________。

11． 已知二次函数21(0)y ax bx c a =++≠与一次函数 y 2=kx+ m （k ≠0）的图象相交于点 A （－2，4），
B （8，2）（如图 3－3－25所示），则能使y 1＞y 2成立的x 的取值范围是________
、b 、c 在数轴上的位置如图所示：且︱a ︱=︱b ︱，
︱c －a ︱＋︱c －b ︱＋︱a ＋b ︱= 。

13.实数a 、b 在数轴上的位置如图所示：化简2a ＋∣a －b ∣= 。

14.已知在坐标平面中，点P 到x 轴的距离是2，到y 轴的距离是3，则P 点的坐标是 。

15.等腰梯形两底之差等于一腰的长，则它的腰与下底的夹角是 。

16.等腰梯形中位线长为a ，对角线互相垂直则此梯形的面积是 。

17.已知⊙O 的半径为25cm ，⊙O 的两条平行弦AB=40cm ，CD=48cm ，这两条平行弦间的距离是 。

18.若三角形的三边都为整数，周长为11，且有一边为4，则这个三角形的另两边的长可能是 。

19、如图，在直角坐标系中，⊙A 的半径为4，A 的坐标为(2，0)，⊙A 与x 轴交于E 、F 两点，与y 轴交
于C 、D 两点，过C 点作⊙A 的切线BC 交x 轴于点B 。

(1)求直线BC 的解析式；(2)若抛物线y=ax 2+bx+c
的顶点在直线BC 上，与x 轴的交点恰为⊙A 与x 轴的交点，求抛物线的解析式；(3)试判断点C 是否在抛物线上，并说明理由。

20.如图3－3－28所示，在梯形 ABCD 中，BC ∥AD ，∠A= 90°，AB=2，BC=3，AD=4，E 为AD 的中点，F
为CD 的中点，P 为BC 上的动点(不与 B 、C 重合〕设 BP=x ，四边形PEFC 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围． A B C
D
O E F
x y
一个小女孩趴在窗台上，看窗外的人正埋葬她心爱的小狗，不禁泪流满面，悲恸不已。

她的外祖父见状，连忙引她到另一个窗口，让她欣赏他的玫瑰花园。

果然小女孩的愁云为之一扫，心空顿明朗。

老人托起外孙女的下巴说：“孩子，你开错了窗户。

”
第7讲．换元法与配方法
✌【专题精讲】
换元法：数学中的“元”指的是未知数。

用新的未知数去替换原条件中的旧未知数，数字，代数式，从而是较复杂的式子结构简化，其实质是一种化繁为简、化难为易的数学转化的具体体现。

配方法：在数学上特指将代数式通过凑配等手段得到完全平方公式等，从而再利用诸如完全平方项非负等性质，达到解决数学问题的目的。

配方法主要用在多元代数式求值，无理式的证明或解方程等方面。

配方法与换元法是初中数学中的重要方法，近几年的中考题中常常涉及。

有时题中指定用配方法或
换元法求解，而更多的则是在分析题意的基础上，由考生自己确定选用配方法或换元法去求解，达到快速解题的目的。

✌【典例精析】
例1、若a,b,c都是实数,且(a－1):(b+1):(c+2)=1:2:3 求a2+b2+c2的最小值.
（解析:设a－1=k,则b+1=2k,c+2=3k, ）
例2、解关于x的方程：（x－1）（x－2）（x－3）（x－4）=24
例3、已知x ，y ，z 都是正数且满足x+y+z=6，xy+yz+zx=2
11，求：222z y x ++的值。

例4、当a ，b 为何值时关于x 的方程x 2+2（1+a ）x+（3a 2+4ab+4b 2+2）=0有实数根？
例5、已知x,y 同时满足:x 2+y 2=20和x －y=4试求xy 的值.
例6、.已知x+y+z=3,x 2+y 2+ z 2=3，求x 3+y 3+ z 3的值
解析: ∵(2)－2×(1)得(x －1)2+(y －1)2+(z －1)2=0 ∴x=1, y=1 ,z=1
【巩固演练】
1．将二次三项式x 2+2x －2进行配方，其结果为 。

2．方程x 2+y 2+4x －2y+5=0的解是 。

3．已知M=x 2－8x+22，N=－x 2+6x －3，则M 、N 的大小关系为 。

4．用配方法把二次函数y=2x 2+3x+1写成y=a(x+m)2+k 的形式 。

5．设方程x 2+2x －1=0的两实根为x 1，x 2，则（x 1－x 2）2= 。

6．已知方程x 2－kx+k=0的两根平方和为3，则k 的值为 。

7．若x 、y 为实数，且11),32(332+-+-=-+x y x y x 则
的值等于 。

8.已知△ABC 的三边分别为a 、b 、c ，且a 2+b 2+c 2=ab+bc+ac ，则△ABC 的形状为 。

9.若2x 2－kx+9是一个完全平方式，k 的值为 .
10.已知：a 、b 为实数，且a 2+4b 2－2a+4b+2=0，求4a 2－
b 1的值。

11.解方程：①014)x 1x (9)x 1x (222=++-+
②04x 1x x 1x 22=-+-+
12.已知：菱形的两条对角线长之和为2+22，菱形的面积为22，求菱形的周长。

13.关于x 的方程x 2－(2a －1)x+(a －3)=0。

⑴求证：无论a 为任何实数该方程总有两个不等实数根；
⑵以该方程的两根为一直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为
2
35，求实数a 的值。

14.已知二次函数y = ( k－1)x 2－2kx +k +2，
（1）当k为何值时，图象的顶点在坐标轴上？
（2）当k为何值时，图象与x轴的两交点间的距离为22？
许多人都相信，自古忠孝难以两全，而在家中不尽孝的人，到外面怎么尽忠？
人在得势的时候，朋友多，但真的少；人有失势的时候，朋友少，但真的很多。

酒后吐真言，只是对一般人而言，有的人，连说梦话都是自己编造的。

第8讲．反证法与待定系数法
【专题精讲】
1、反证法的含义：指证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题
的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立。

这种证明的方法叫做反证法。

2、反证法证题的步骤
用反证法证题一般分为三个步骤：
①、假设命题的结论不成立；
②、从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；
③、由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．
即：提出假设——推出矛盾——肯定结论；简称为“反设、归谬、结论”三步骤。

3、反证法中常见的矛盾（归谬）形式：
（1）与已知条件即题设矛盾；
（2）与假设即反设矛盾；
（3）与已知的定义、公理和定理矛盾，即得出一个恒假命题；`
（4）自相矛盾。

4、反证法的适用范围：
（1）已知条件很少或由已知条件能推得的结论很少；
（3）命题的结论以“至多”、“至少”的形式出现时；
（4）命题的结论以“唯一”的形式出现；
（5）命题的结论以“无限”的形式出现时；
（6）关于存在性命题；
（7）某些定理的逆定理。

总之，正难则反，直接的东西较少、较抽象、较困难时，其反面常会较多、较具体、较容易。

反证法有时也用于整个命题论证过程的某个局部环节上．
5、待定系数法
①含义：待定系数法是确定代数式中某些项的系数的重要数学方法，它是以代数式形式上的恒等变换的性质为依据，通过特定的已知条件，辩证地转化已知和未知的关系，从而求得代数式中某些系数的值。

②适用范围：
⑴函数题中求函数解析式 ⑵解方程中换元法引入字母 ⑶代数求值中 【典例精析】
例1、如果)(22121q q p p +=，求证：二次函数112q x p x y ++=和222q x p x y ++=的图象至少有一个与x 轴相交。

（反证法的适用范围）
解析：该题很难断定哪一个函数的图像与x 轴相交，因此可以从结论的反面考虑：假设两条抛物线都不
与x 轴相交，便得到两个判别式均小于零的结论，以便与条件发生联系。

证明：假设二次函数112q x p x
y ++=和222q x p x y ++=的图像都不与x 轴相交， 则有04,04222121<-<-q p q p ∴ 0)(4212221<+-+q q p p ，但由条件有2p 1p 2=4(q 1+q 2)，
∴ 02212221<-+q q p p ,即(p 1－p 2)2<0，这是不可能的，因此，二次函数112
q x p x y ++=和222q x p x y ++=的图像至少有一个与x 轴相交
例2、已知 、 、 、
，且1,1>+=+=+bd ac d c b a 。

求证： 、 、 、
中至少有一个是负数.
例3、设a ,b ,c 为实数,p =a 2-2b +
2π,q =b 2-2c +3π,r =c 2-2a +6π,求证：p ,q ,r 中至少有一个的值大于零。

例4、若
5
23)52)(3(11-++=-+-X B X A X X ，求A,B 的值. 例5、已知：4x －3y －6z=0，x+2y －7z=0，且xyz ≠0。

求：2
222
2275632z y x z y x ++++的值。

方程x 2－x －1=0的两个根，求二次函数的解析式。

【巩固演练】
1. 已知一次函数的图象经过点（－2，5），并且与y 轴相交于点P ，直线y=－
x 21+3与y 轴相交于点Q ，点Q 恰与点P 关于x 轴对称，求这个一次函数的解析式。

2. 已知：反比例函数和一次函数图象的一个交点为（－3，4），且一次函数的图象与x 轴的交点到原点的距离为5，分别确定这两个函数的解析式。

3. 已知抛物线y = －x 2+2 (m+1)x +m+3与x 轴有两个交点A 、B ，A 在x 轴的正半轴，B 在x 轴的负半轴，设OA 长为a ，OB 长为b ，且a:b=3:1，求抛物线的解析式。

4. 已知二次函数y=x 2－2mx+m 2－m －2的图象顶点为C ，图象与x 轴有两个不同的交点A 、B ，且△ABC 的面积为8。

⑴求二次函数的解析式；
⑵在此二次函数的图象上求出到两坐标轴距离相等的点的坐标，并求出以这些点为顶点的多边形的外接圆的半径。

5. 若三个方程x 2+4ax -4a +3=0,x 2+(a -1)x +a 2=0,x 2+2ax -2a =0中,至少有一个方程有实数解,求实数a 的取
值范围.
谈中考数学复习（三） 学习方法：。