第四章 n维向量

§4.2
向量组的线性相关性
可写成
( a1 a 2
x1 x2 an ) =b xn
即
x1a1 + x2a 2 + + xna n = b ,
T
其中a j = (a1 j , a2 j ,, amj ) ( j = 1,2,, n)
b = (b1, b2 ,, bm )T
§4.2
向量组的线性相关性
给定向量组T：a1,a2, …,am和向量b, 如果存在一组 实数 k1 , k2 , … , km , 使 b = k1a1+k2a2+…+kmam 则称向量 b 是向量组T的线性组合或称向量 b 可由向 量组 T 线性表示 例4.5 若记 e1=(1,0, …,0),e2=(0,1, …,0)，…，en=(0,0, …,1)
分量全是实数的向量叫做实向量，
分量是复数的向量叫做复向量。
§4.1 n 维向量及其线性运算
注： 1.a = ( x1 ,x2 , … ,xn) ——n维行向量；
x1
a=
x2
——n维列向量;
xn
2.若向量的所有分量都等于0，则称该向量为零向 量，在不引起混淆的情况下，简记为0.
§4.1 n 维向量及其线性运算
的n+s维 向量组b1,b2, …,bm仍线性无关。
§4.3 向量组的秩
§4.3
向量组的秩
一、向量组的极大线性无关组
定义4.5 设向量组T的一个部分组 {a1 , a 2 , , a r } T， 若满足 (1) a1 , a 2 , , a r 线性无关；
(2)向量组T 中每一个向量均可由 {a1 , a 2 , , a r } 线性表示 则称 {a1 , a 2 , , a r } 是向量组T的一个极大
线性表出.
§4.2
向量组的线性相关性
向量组的线性相关性
定义4.4 给定向量组 a1, a2, …, am(m≥2), 如果向量组 中至少存在一个向量可以表示为其余向量的线性组合， 则称该向量组线性相关。否则称该向量组线性无关。
规定：由一个向量组成的向量组线性相关当且仅当它 是零向量．
§4.2
向量组的线性相关性
例4.1
三维空间 R3 ={a= (x, y, z) | x, y, z∈R} 是由3维向量构成的集合 n维空间 Rn ={a = (x1, x2, …, xn) | xi∈R,i=1,2, …,n} 是由n维向量构成的集合
例4.2
§4.1 n 维向量及其线性运算
向量与矩阵关系： a11 a12 … a1n A= a21 a22 … a2n
§4.1 n 维向量及其线性运算
向量的线性运算满足下列性质： 设 a、b 、g为 n 维向量, k, l 为实数， (1) 交换律：a +b = b +a (2) 结合律： (a +b ) +g = a + (b +g ) (3) 存在零向量: a +0 = 0 +a =a (4) 存在负向量: a +(-a )= 0 (5) 1a = a (6) k( la ) = ( kl )a (7) ( k+l )a = ka + la (8) k(a +b ) = ka + kb
r3 - 2r2
可见 R (a1 , a 2 , a3 ) = 3, 故向量组a1 , a 2 , a3 线性无关。
§4.2
向量组的线性相关性

解法二： 设有一组数 x1, x2, x3 使 x1a1 + x2a 2 + x3a3
=0
x1 + 3 x2 + x3 = 0, 即 2 x + 2 x + 3 x = 0, 1 2 3 3 x + x + x = 0. 2 3 1
……
am1 am2 … amn
=(a1,a2, …,an)
a1
a2
an
称a1,a2, …,an为矩阵 A 的列向量组。
§4.1 n 维向量及其线性运算
同样，若对矩阵A 按行分块得：
a11 a12 … a1n
A= a21 a22 … a2n
b1
=
b2 bm
……
am1 am2 … amn
称b1, b2, …, bn为矩阵 A 的行向量组。
注：
1.含有零向量的向量组一定线性相关． 2.两个n维向量a = (a1, a2, … , an) 与b=(b1, b2, …, bn) 线性相关的充要条件是：对应分量成比例.
3.对向量组T : a1, a2, …, an , 若存在T的部分组线性相 关，则向量组T一定线性相关； 若向量组 T 线性无关，则 T 的任一部分组必线性无关。
请看下 面
§4.2
向量组的线性相关性
1 3 1 r2 - 2r1 (a1 , a 2 , a 3 ) = 2 2 3 r - 3r 1 3 1 1 3
1 3 1 0 4 1 0 -8 -2
1 3 1 0 4 1 0 0 -4
§4.1 n 维向量及其线性运算
例4.3设 a = (1, 2,3)， b = (3,-1,2)，求 3a - 2b
解：3a - 2b = 3(1, 2,3) - 2(3, -1, 2)
= (3,6,9) - (6, -2, 4) = (-3,8,5)
例4.4 求x,y,z使得 (2, -3,4)=x(1,1,1)+y(1,1,0)+z(1,0,0) 解：即 (2, -3,．4)=(x, x, x)+(y, y, 0)+(z, 0, 0) 解得：x=4, y= -7, z=5
§4.2
向量组的线性相关性
定理4.9
m维向量b 能由n个m维向量 a1,a2, …,an， 线性表示的充要条件是非齐次线性方程组
x1a1 + x2a 2 + + xna n = b
有解。且表示系数就是该方程组的解 。
§4.2
向量组的线性相关性
例4.8
给定向量组
0 1 1 1 a1 = 1 , a 2 = 0 , a 3 = 1 , b = 1 1 1 0 1
第四章
n 维向量
本章要点流程：
首先介绍n维向量概念及其线性运算
其次引进了向量组的线性相关性 进一步学习向量组秩的概念
弄清线性方程组解的结构
最后认识n维向量空间
§4.1 n 维向量及其线性运算
§4.1
n维向量的概念
n维向量及其线性运算
定义4.1 n个有序的数x1 ,x2 , … ,xn 所组成的数组 ( x1 ,x2 , … ,xn)称为n维向量. 其中第 i 个数 xi 称为第 i 个分量（或坐标）
§4.2
向量组的线性相关性
例4.9
证明：n维单位坐标向量e1 , e2 , … , en
线性无关。
解法一：
设有一组数
1 , 2 ,, n使 1e1 + 2e2 + + nen = 0 即 1 = 2 = = n = 0, 所以 e1 , e2 ,, en线性无关.
§4.2
向量组的线性相关性
解法二： n 维单位坐标向量组构成如下的矩阵：
I = ( e1 , e2 ,, en )
它是 n 阶单位矩阵。由 | I| ≠ 0，知R( I ) = n ，即 R(I)等于向量组中向量的个数，故由定理2知此向
量组线性无关。
§4.2
向量组的线性相关性
1 a = 例4.10 已知 1 2 , a 2 3
问 b 能否由 a1, a2, a3 线性表出？若能，求出 表示系数。
§4.2
向量组的线性相关性
注： 1.讨论 b 能否由 a1, a2, … an 线性表示 讨论非齐次线性方程组AX=b是否有解？及求解.
2.对任意n维向量a = (a1, a2, …, an), 均可由n维单位 坐标向量 e1,e2，…，en 线性表示. 3.零向量可表为任意同维向量组的线性组合。 4.向量组a1, a2, …, am中的任一向量都可由这个向量组
k1=k2=…=km=0
§4.2
向量组的线性相关性
推论：设向量组
a1 , a 2 ,, a m线性无关，而 向量组 a1 , a 2 ,, a m , b 线性相关，则向量 b 必能由向量组 a1 , a 2 ,, a m 线性表示，
且表示式是唯一的。
利用这个结论我 们便可以来判断 一些向量组的线 性关系喽
线性方程组与向量关系 线性方程组
a11 a12 a1n x1 b1 a a a x b 21 22 2 n 2 = 2 am1 am 2 amn xn bm
1 3 1
由于此方程的系数行列式 2 2 3 =16≠0
3 1 1
故方程组只有零解 x1 = x2 = x3 = 0， 所以向量组 a1 , a 2 , a 3 线性无关。
§4.2
向量组的线性相关性
例4.12 已知向量组 a1, a2, a3 线性无关，证明：
a1+a2, a2+a3, a3+a1 也线性无关.
思考：向量组线性无 关的等价命题
§4.2
向量组的线性相关性
推论1
若一向量组中，向量的个数比该向量组 的维数大，则该向量组一定线性相关．
推论2 设A是n阶方阵，则A的列向量组线性相关 的充要条件是|A|=0．
推论3 设m个n维向量组a1,a2, …,am 线性无关， 则在每个向量ai上添加s个分量后，所得
则任意 n 维向量a = (a1, a2, …, an), 均可表示为：
a = a1e1+ a2e2 +…+ anen
称e1 , e2 , … , en为n维单位坐标向量。
§4.2
向量组的线性相关性
例4.6 零向量可表为任意同维向量组的线性组合。 例4.7 向量组a1, a2, …, am中的任一向量都可由这 个向量组线性表出.
线性无关组。
注：
1.上述定义中的(2)可改写为 (2)′对向量组T中的任一向量a,向量组
a1 , a 2 , , a r , a 线性相关.
2.若向量组 T : a1 , a 2 , , a m 线性无关，则极大线性 无关组就是其本身. 3.一般来讲向量组的极大线性无关组是不唯一的.
反之，由有限个向量所组成的向量组 可以构成一个矩阵。
§4.1 n 维向量及其线性运算
向量的线性运算
定义4.2 设向量a =(x1, x2, …, xn ) , b = (y1,y2, …,yn)
则 a +b =(x1+y1, x2 +y2, …, xn +yn) ka = (kx1, kx2, …, kxn) 注：向量的加法和数乘运算统称为向量的线性运算。
§4.2
向量组的线性相关性
向量组的线性相关判定
定理4.2 设T:a1, a2, …, am是由m个n维的向量 组成的向量组，则下列结论成立
（1）向量组T线性相关的充要条件是： 存在一组不全为零的数k1，k2, …，km, 使 k1a1+k2a2+…+kmam=0 （2）向量组T线性无关的充要条件是： 如果 k1a1+k2a2+…+kmam= 0, 则
§4.2
向量组的线性相关性
定理4.3 设
a1 , a 2 ,, a m 是 n 维列向量组，矩阵
A = (a1 , a 2 ,, a m ), 则下列命题等价： （1） a1 , a 2 ,, a m 线性相关；
（2）线性方程组 AX = 0 有非零解；
（3）R(A)< m.
由这个定理，我 们可以得到如下 几个有用的推论
a1 , a2 , a3 是否线性相关。
3 = 2 , a 3 1
1 = 3 , 1
试讨论向量组
解法一： 对矩阵 A = (a1, a 2, a3) 施行初等行变换 变成行阶梯形矩阵，即可看出矩阵A 的秩，利用定 理2，即可得出结论。
§4.2
向量组的线性相关性
§4.2
向量组的线性组合
向量组线性相关性
定义4.3 设a1,a2, …,am是由m个n维向量组成的向量组，
k1 , k2 , … , km 为m个实数, 则称 k1a1+k2a2+…+kmam 称为向量组 a1,a2, …,am 的一个线性组合. k1 , k2 , … , km 称为这个线性组合的系数.