例谈学习中学数学中的“有限”与“无限”

例谈学习中学数学中的“有限”与“无限”

湖州二中陆丽滨

日常生活中，我们常常和有限、无限打交道：天空有边吗？星星有多少？两面镜子对照，镜子中有镜子，…，一共有多少面？文学作品中，如王之涣的“欲穷千里目，更上一层楼”；李白的“孤帆远影碧空尽，唯见长江天际流”；中国古代的“一尺之棰，日取其半，万世不竭”等等，都是一种有限与无限的结合．在数学教育界也有两个尴尬的故事：一件是有一天《参考消息》译载美报刊上的“新闻”说：“美一位中学生找到了圆周率π的末位小数”，π是无理数，怎么有末位小数呢？这是个常识性错误，却经编辑与千百个人之手被广泛传播．另一件是关于0.91=对吗？其中绝大多数师生认为“这是近似等式”，虽然最后结论是精确等式，却仍有千千万万的人“不服”．又是一个涉及无限观的常识性问题．

在今天的中学数学中，也有很多关于有限和无限的数学知识．美籍德国数学家魏尔说：“数学是关于无限的科学．”其中有限的方面叫人感觉具体、形象，便于教师教与学生学；而无限的方面使学生充满想象，让人对数学更多一份理性的思考．有限建立在无限基础之上，无限是有限的延伸．魏尔又指出：无限在数学中占有十分重要的地位，甚至可以说它是整个数学的基础．

在新课标教学中，笔者发现从必修1集合中的元素个数比较到必修3新增内容古典概型、几何概型等等，无不体现中学数学的“有限”与“无限”．下文浅谈一些中学数学中的“有限”与“无限”．一、比较两个集合的元素个数

人民教育出版社高中数学A版《必修1》第14页（2007年1月第2版，2008年5月浙江第6次印刷）阅读材料——“有限集合中元素的个数，可以一一数出来，而对于元素个数无限的集合，例如：

{1,2,,,}A n =,{2,4,,2,}B n =，我们无法数出集合中的元素个数，但可以比较这两个集合的元素个数的多少．你能设计一个比较这两个集合中元素个数多少的方法吗？”笔者不妨再问：“集合B 是集合A 的真子集吗？”

我们都知道在有限集中，整体必定大于部分．但是无限集中呢？ 其实，无限集与有限集中的“全部大于部分”是相矛盾的，而这也正是康托尔认为的无限集的特征之一．实际上，康托尔把正整数集的势（元素个数）称之为“阿列夫零”个，计数用的数是无穷大等级中最低一级的无穷数．康托尔把集合的元素个数叫做基数，有限集合的基数是自然数，无限集合的基数叫超限数．康托尔进一步论证了无理数集、实数集是不可数集，但它们之间存在着一一对应关系，也就是说有比自然数集合更大的集合，有更大的超限数．康托尔还发现，任一线段上的点能与全直线上的点，与正方形内的点，与立方体内的点构成一一对应．他甚至证明，一条直线上的点能与n 维空间的点构成一一对应．这与我们关于大小的观念相矛盾，是按数学常识根本无法想象的，康托尔还证明了比实数集合更大的集合．

今天，集合论已经成为整个数学的基础，以至于希尔伯特动情地说：“没有人能把我们从康托尔为我们创造的乐园中驱逐出去”，“康托尔的超限算数是数学思想的最惊人的产物，是在纯粹理性的范畴中，人类活动最美的表现之一．”

为此，有如下定理：

（1）两个有限集合等势当且仅当它们有相同的元素个数．

（2）有限集合不和其任何真子集等势．

（3）无限集合可以和其真子集等势．

二、 割圆术，化直为曲

刘徽用割圆术证明“半周半径相乘得积步”的圆面积公式时，从内接正六边形（“六觚”）开始割圆，依次得到内接正十二边形（“十

二觚”）、正二十四边形（“二十四觚”）、……，“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．

这种处理是比较符合直观的．从6边形到12边形、到24边形、……，在这样越来越接近圆面积的趋势中，圆以多边形代替，所失的面积会越来越少，这样他就很自然的会觉得多边形和圆会越来越接近重合．刘徼的割圆术是他成功应用无穷小分割思想和极限思想的光辉典范，架起了通向微积分的桥梁．

正是在这种思想的指引下，刘徽与阿基米德已经有了极限的思想．后继者们在他们开辟的道路上继续前进．德国的开普勒发明了“同维无穷小法”求体积，法国的费马研究了切线、极值等问题，而英国的巴罗则引入了微分三角形．这一切为两个划时代人物的到来拉开了帷幕：牛顿和莱布尼茨．两人各自独立地创立了微积分．

这种“化直为曲无限化”的数学思想，是学生学习从“有限”到“无限”一种飞跃！也为其学习定积分建立良好的数学思想基础．

三、 数式中的有限与无限

3.1 （定）积分

看看牛顿和莱布尼茨发展的积分，它们均来源于求曲多边形的面积．方法大致为：分割、近似求和、取极限．这里的分割是一种动态无限的过程．在保证最大区间长度趋于零的条件下，分割而成的区间数目趋于无穷．

从有限个矩形到无限块和，利用积分可以计算不规则图形面积．例如：求由函数()f x ，直线,,0x a x b y ===所围成的曲边梯形的面积． 步骤如下：将区间[,]a b 分成n 个小区间1[,]i i x x -

(1)i n ≤≤，每个区间上任取一点i ξ，以()i f ξ作为矩形的高，求出n 个矩形的面积并求和：

11lim lim [()()]()b n n i i i n n i a S S f x x f x dx ξ-→∞→∞===⋅-=∑⎰

3.2 数列极限的公式

数列极限是极限的重要基础知识，其运算法则只适用于有限个计算．例如：111lim()n n n n n

→∞

+++个如何计算？按照有限的计算法则，11lim()n n n

n →∞++个11lim lim

0n n n n n →∞→∞=++=个，显然是不对的！不能用有限个的运算法则来替代无限的运算．此处有限和无限是无法统一于一个运算法

则中．数学极限公式中蕴含的无限思想，体现了无限是有限的延伸，但有限到无限是引起“质变”的！

3.3 球表面积、体积公式的推导

球的表面积、体积公式推导也是一种无线分割思想的运用！

如图1所示，)i r i n =≤≤

21122()n n i i i i R V V r n π====⋅∑∑322321(1)42lim[()]3

n R n n R n n ππ→∞++-=-=．

如图2所示，将球分割成n 份三棱锥，其体积

11111333n

n i i i i V S R R S R S ===⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅∑∑，由上述球的体积公式，得：2

4S R

π=． 3.4 结合律和分配律的使用

大家都知道()()a b c a b c ++=++，这在有限相加的世界里似乎没什么问题．然而在无限相加的世界里，若把这种结合律再看成是正确的，那你就会铸成大错！不妨看下式如何计算：

图2

图1