代数结构的概念与性质

例6.1.5 （1）数的乘法x对加法+满足左分配律， 即对数a, b, c，有 ax(b+c)= axb+axc （2）设实数上全体阶矩阵构成的集合为 Mmxn(R)， 则 MmxnxMnxl 到 Mmxl 上矩阵的乘法x对 Mnxl 上矩 阵加法的满足分配律。即对 mxn矩阵 A以及 nxl 的矩阵B, C，有Ax(B+C)= AxB+ AxC。 （3）设P(S)为集合S的幂集，则集合的交∩，并U 及差-运算都是P(S)上的二元运算，且集合的交∩ 对并U满足分配律，同时并U对交∩也满足分配律
第六章 代数结构的 概念与性质
6.1 代数运算及其性质
代数运算是代数结构的基本要素之一。代数运算 是一种特定的函数，按函数中自变元的个数，代 数运算可分为二元运算、三元运算等等。我们主 要介绍二元运算。
定义6.1.1 设A, B, C为集合，称函数 f : A B C 为从 AxB到 C的一个代数运算，简称代数运算。
二元运算◦满足结合律可以让我们方便地定义并计 算 a1◦a2◦ ∙ ∙ ∙ ◦an
设⊗是从 BxA到 A的一个代数运算，⊕是A上的 一个代数运算。对于b ∈ B, a1, a2 ∈A, b⊗ (a1⊕a2) 和(b⊗a1)⊕(b⊗a2)都是A的元。但是一般来说二者 并不一定相等。 定义6.1.5 设a1, a2 ∈A, b ∈ B, 若 b⊗(a1⊕a2)=(b⊗a1)⊕(b⊗a2) 则称代数运算⊗对⊕适合第一分配律, 或左分配律; 同样，若 (a1⊕a2)⊗b = (a1⊗b)⊕(a2⊗b) 则称代数运算⊗对⊕适合第二分配律, 或右分配律.
运算表：设有限集合 A {a1 , a2 , , am }, B {b1 , b2 , , bn }, ai b j cij ，代数运算◦可用左下表来说明：
b1 a1 a2 am c11 c21 b2 c12 c22 bn c1n c2 n cmn
a b c a a c a b a c b c a b c
由定义，给定集合 A和 B的元素 a和 b，就可以通 过 f 得到集合 C中唯一的元素 c。代数运算 f 能够 对 a和 b进行运算，而得到运算结果 c，正是通常 数的运算的特征。 通常用◦表示代数运算：f (a, b) = c 记为 a◦b = c 例6.1.1 定义函 f : Zx(Z-{0}) → Q, (a, b) → a/b, 则 f 是从Zx(Z-{0})到Q的一个代数运算。也可 用◦表示为：a ◦b = a/b
下面讨论代数运算满足的规律。
定义6.1.3 设◦为A上的二元运算，若对任意a, b ∈A 都有 a◦b= b◦a，则称二元运算◦满足交换律； 若对任意a, b, c ∈ A 都有 (a◦b)◦c = a◦(b◦c)，则称 二元运算◦满足结合律。
例6.1.3 在实数R上通常的加法和乘法都满足交换 律和结合律，而减法和除法不满足交换律和结合 律；实数 R上全体n阶方阵构成的集合Mn(R)上的 方阵的乘法不满足交换律但满足结合律，而加法 满足交换律和结合律。
c m1 c m 2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
例如，代数结构 (A, ◦)，其中 A={a, b, c}，运算 ◦ 由右上表给出。
定义6.1.1 如果◦是从 AXA到 A的一个代数运算， 则称◦是 A上的一个二元运算。 设◦是 A上的一个二元运算，S 是 A的一个子集， 若对任意 a, b ∈ S，都有 a◦b ∈ S，则称S 对二元运 算◦是封闭的。 例6.1.2 自然数N上通常的乘法和加法都是N上的二 元运算；而通常的除法及减法不是N上的二元运算。