函数的零点

例4．已知m∈R，函数f(x)=m(x2－1)+x－a恒有
零点，求实数a的取值范围。 解：（1）当m=0时，f(x)=x－a=0解得x=a恒 有解，此时a∈R； （2）当m≠0时，∵ f(x)=0，即mx2+x－m－a=0 恒有解，
∴ △1=1+4m2+4am≥0恒成立，
令g(m)=4m2+4am+1，
判别式
y=ax2+bx+c 的图象
x1
>0
y
0
y y
<0
0
x2 x 0 x1
x
0
x
ax2+bx+c=0 的根
函数的零点
两个不相等的 实数根x1 、x2
有两个相等的 实数根x1 = x2
一个零点x= b 2a
无实数根 无零点
两个零点 x1 , x2
方程f ( x ) = 0的实数根 ? ? 函数y 函数y f ( x )的图象与x轴交点的横坐标 f ( x )的零点
函数的零点
函数的零点
在坐标系中表示图象与x轴的公共点是 (－2，0)、(3，0)。
零点的定义：
一般地，如果函数y=f(x)在实数α处的 值等于0，即f(α)=0，则α叫做这个函 数的零点。在坐标系中表示图象与x
轴的公共点是(α，0)。
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 . y= ax2+bx+c(a≠0)的零点，以 a 0为例画图
只有一个吗？
至少有一个， 可以有多个。
（3）再加上什么条件就“有且仅有一个零点”呢？ 连续不断 如果函数 y f ( x)在区间a, b上的图象是 的一条曲线，并且 f(a)· f(b)<0，并且是单调函数，那么
y f (x)在区间 （a,b）内有且只有一个零点。
y
0 a
b x
(4) 若函数y= f( x ) 在区间(a, b)内有零点，一 定能得出f( a )· b )<0的结论吗？ f(
例3．若方程7x2－(k+13)x+k2－k－2=0的两
实根分别在区间(0，1)，(1，2)内，则（ ）
3 （A） k 2
（B）k<3或k>4
（C）－1<k<1或3<k<4
（D）－2<k<－1或3<k<4 解：函数f(x)=7x2－(k+13)x+k2－k－2的图象 是开口向上的抛物线，两个零点分别在(0，1)， (1，2)内，所以由图象可知，函数y=f(x)满足
(m 2) 2 4(5 m) 0 f (2) 0 2m 2 2
m 16 0 解得 4 2(m 2) 5 m 0 m 2
2
m 4或m 4 m 5 所以 m 2
如果函数
y f ( x)在区间a, b上的图象是 连续不断
那么 y f (x)在区间 的一条曲线，并且 f(a)· f(b)<0， （a,b）内有零点，即存在 c (a, b), 使得f (c) 0, 这个 c也就是方程 f ( x) 0的根。
（1）两个前提条件缺一不可 （2）“有零点”是指有几个零点呢？
2
B D
x=2 ； 2和3．
2、若函数f x x 2 x a没有零点， 则实数a的取值范围是 A、a 1 C、a 1 B、a 1 D、a 1
B

什么条件下才能确 定零点的存在呢？
f ( x) x 2 2 x 3 的图象， 二次函数
可以发现
-1 ① 在区间[-2,1]上有零点______。 5 -4 计算 f (2) _______， f (1) _______, 发现 f (2) ·f (1)< _____0 （＜或＞） ． ② 在区间[2,4]上是否也具有这种
y
0
a
bbb
bb
bb
反之不成立！
b b bb x
b
(5)定理的作用：判定零点的存在， 并找出零点所在的区间。
解方程
定理法
例1. 求函数y=x3－2x2－x+2的零点，并画出 它的图象。 解：因为x3－2x2－x+2=x2(x－2)－(x－2) =(x－2)(x+1)(x－1). 所以函数的零点为－1，1，2. 3个零点把x轴分成4个区间：(－∞，－1)、 (－1，1)、(1，2)、(2，+∞)。 在这四个区间内，取x的一些值，以及零点， 列出这个函数的对应值表：
x y
… …
－1.5
－1 －0.5 0 1.88 2
0.5
1
1.5
2
2.5
…
－4.38 0
1.13 0
－0.63 0
2.63 …
在直角坐标系内描 点连线，这个函数 的图象如图所示。
例题2：在下列哪个区间内,函数f (x)= x3＋3x－5 一定有零点（ C ） A、(－1,0） B、(0,1） C、(1,2） D、(2,3） 变式：已知函数f(x)的图象是连续不断的， 且有如下的x ,f(x)对应值表： x 1 2 3 4 5 6 7 –7 11 –5 –12 –26 f(x) 23 9 那么该函数在区间[1，6]上有（ B ）零点. A、只有3个 B、至少有3个 C、至多有3个 D、无法确定
所以：
方程f ( x) = 0有实数根 ? ? 函数y 函数y f ( x )的图象与x轴有交点 f ( x )的有零点
二次函数零点的类型： （1）函数图象通过零点且穿过x轴， 函数的值变号，这类零点叫变号零点 （2）函数图象通过零点未穿过x轴， 函数的值变号，这类零点叫不变号零点
即兴练习
1、函数y=x2-5x+6的零点是（ D ） A（3，0）,（2，0）； C x=3 ；
∵g(m)≥0恒成立， ∴ △2=16a2－16≤0，解得－1≤a≤1。 综上所述知，当m=0时，a∈R； m≠0时，－1≤a≤1。
例5．方程x2+(m－2)x+5－m=0的两根都大于
2，求实数a的取值范围。
解：令f(x)= x2+(m－2)x+5－m，要使f(x)=0 的两根都大于2，则应满足
f (c) f (d ) ___ 0( 或 )
a 0
y
ห้องสมุดไป่ตู้
b
c
d
x
若函数y f ( x)在区间[a, b]上有定 义，而且满足f a f b 0, 则函数
y y
y f x 在区间a, b 内一定存在零点吗？
0 a
y 0a
b x
0 a
b
x
b
x
零点存在性定理：
2 f (0) 0 k k 2 0 f (1) 0 ，即 k 2 2k 8 0 ， f (2) 0 k 2 3k 0 k 2或k 1 解得， 2 k 4 k 3或k 0
所以－2<k<－1或3<k<4，选D。
即－5<m≤－4.
特点呢？
观察下面函数y f (x)的图象
f (b) f (c) 0( 或 ) __
f (a) f (b) __ 0( 或 ) 有 （有 / 无）零点； (2)在区间b, c上 ____
(3)在区间c, d 上有 __ （有 / 无）零点；
有 (1)在区间[a, b]上 ___(有 / 无)零点；