线性规划对偶
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一、线性规划对偶问题
max Z = 56x1 + 30x2 ? Z (56 30)骣 ççç桫xx12÷÷÷= Cx
s.t
ìïïïíïïïïî
4x1 + 2x1 + x1, x2
3x2 ? 120 x2 ＾50 ³0
骣 珑 珑 珑 桫42 13鼢 鼢 鼢骣 ççç桫xx12÷÷÷＃骣 桫15200
3
一、线性规划对偶问题
现在从另一角度来考虑该车间的生产问题。
例1. 假若有一个个体经营者，手中有一批木器家具的生产订单。 他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。他就 事先要考虑付给该车间每个工时的价格。他可以构造一个数学模 型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意替他加 工这批订单，又使自己所付的工时费用总数最小。
5
一、线性规划对偶问题
例2:某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品 。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得 的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示。求获最大利润的 方案。
设备A
产品甲 3
产品乙 2
设备能力 （h）
65
设备B
2
1
40
设备C
0
3
75
利润（元/件）
1500
研究生课程《工程数学》之“最优化方法”
第一章 线性规划
第三节 线性规划的对偶理论
第三节 线性规划的对偶理论
本节内容重点： 一、线性规划的对偶问题概念、理论 二、线性规划的对偶单纯形法 三、线性规划的灵敏度分析
2
一、线性规划对偶问题
1. 对偶问题
一个简单的例子：
某家具厂木器车间生产木门与木窗两种产品。加工木门收入为56 元/扇、加工木窗收入为30元/扇。生产一扇木门需要木工4小时、 油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时、油漆工1小时。该车 间每日可用木工总工时为120小时，油漆工总工时为50小时，问该 车间如何安排生产才能使每日收入最大？
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一、线性规划对偶问题
（iii）若原规划的某个变量的值没有非负限制，则在对偶问题中 与此变量对应的那个 约束为等式。 下面对关系（2）作一说明。对于关系（3）可以给出类似的解释。 设原规划中第一个约束为等式：
a11x1 + … + a1nxn = b1 那么，这个等式与下面两个不等式等价
a11x1 + ...+ a1n xn ? b1 a11x1 + ...+ a1n xn ? b1
一对对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系： (i)若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于”的不等式，则
它的对偶模型为目标求“极小”，约束是“大于等于”的不等式。 即“max，≤”和“min，≥”相对应。
(ii)从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ，则另一个模型中为AT。一个
模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个约束，m个变量 。 (iii)从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置对换。 (iV)两个规划模型中的变量皆非负。
2y1+y2+3y3 ≥2500 （不少于乙产品的利润）
y1, y2 , y3 ≥ 0
对偶问题
一、线性规划对偶问题
2. 对偶定义
(1) 对称形式
互为对偶
max Z = Cx
s.t
ìïïíïïî
Ax x³
£ 0
bT
min f = bw
s.t
ìïïíïïî
AT w ³ w³ 0
C
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一、线性规划对偶问题
11
一、线性规划对偶问题
这样，原规划模型可以写成
max Z = c1x1 + L + cn xn
ìïïïïïïïíïïïïïïïî
a11x1 + L - a11x1 - L
am1x1 + L x j ? 0, j
+ a1n xn ? - a1n xn ? M
+ amn xn ? 1, 2,L ,
b1 b1
bm m
12
一、线性规划对偶问题
此时已转化为对称形式，直接写出对偶规划
没有非负限制 这里，把 y1 看作是 y1 = y1’ - y1’’，于是 y1 没有非负限制。
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一、线性规划对偶问题
对偶问题对应表
原问题（对偶问题）
对偶问题（原问题）
目标函数min
目标函数max
约束条件： m个 第i个约束类型为“≥” 第i个约束类型为“≤” 第i个约束类型为“＝”
2500
一、线性规划对偶问题
Max z = 1500x1 + 2500x2 s.t. 3x1 + 2x2 ≤ 65 2x1 + x2 ≤ 40 3x2 ≤ 75 x40y2 + 75y3
s.t. 3y1+2y2 ≥1500 （不少于甲产品的利润）
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一、线性规划对偶问题
(2)非对称形式的对偶规划 一般称不具有对称形式的一对线性规划为非对称形式的对偶规划。 对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关系直接给出其对 偶规划。 （i）将模型统一为“max，≤”或“min，≥” 的形式，对于其中 的等式约束按下面（2）、（3）中的方法处理； （ii）若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对偶规划中与此 约束对应的那个变量取值没有非负限制；
max Z = 56x1 + 30x2
s.t
ìïïïíïïïïî
4x1 + 2x1 + x1, x2
3x2 ? 120 x2 ? 50 ³0
用图解法或单纯形表，可求得最优解：
x* = (x1, x2 )T = (15, 20)T , z* = 1440 (元)
即该车间每日安排生产木门15扇、木 窗20扇时收入最大，为1440元/日。
设w1为付给木工每个工时的价格，w2为付给油漆工每个工时的价 格，则该个体经营者的目标函数为每日所付工时总费用最小：
min f = 120w1 + 50w2
s.t
ìïïïíïïïïî
4w1 + 3w1 + w1, w2
2w2 w2 ? ³0
? 56 30
解之得：
w* = (w1, w2 )T = (2, 24)T , f * = 1440 (元)
Ax bT
min f = 120w1 + 50w2 = (120 50)骣 ççç桫ww12÷÷÷= bw
s.t
ìïïïíïïïïî
4w1 + 3w1 + w1, w2
2w2 ? 56 w2 侈30 ³0
骣 珑 珑 珑 桫43 12鼢 鼢 鼢骣 ççç桫ww12÷÷÷吵骣 桫5360
AT w C
原问题 对偶问题
变量数：n个 第j个变量≤ 0 第j个变量≥ 0 第j个变量是自由变量
一、线性规划对偶问题
max Z = 56x1 + 30x2 ? Z (56 30)骣 ççç桫xx12÷÷÷= Cx
s.t
ìïïïíïïïïî
4x1 + 2x1 + x1, x2
3x2 ? 120 x2 ＾50 ³0
骣 珑 珑 珑 桫42 13鼢 鼢 鼢骣 ççç桫xx12÷÷÷＃骣 桫15200
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一、线性规划对偶问题
现在从另一角度来考虑该车间的生产问题。
例1. 假若有一个个体经营者，手中有一批木器家具的生产订单。 他想利用该木器车间的木工与油漆工来加工完成他的订单。他就 事先要考虑付给该车间每个工时的价格。他可以构造一个数学模 型来研究如何定价才能既使木器车间觉得有利可图而愿意替他加 工这批订单，又使自己所付的工时费用总数最小。
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一、线性规划对偶问题
例2:某工厂拥有A、B、C三种类型的设备，生产甲、乙两种产品 。每件产品在生产中需要占用的设备机时数，每件产品可以获得 的利润以及三种设备可利用的时数如下表所示。求获最大利润的 方案。
设备A
产品甲 3
产品乙 2
设备能力 （h）
65
设备B
2
1
40
设备C
0
3
75
利润（元/件）
1500
研究生课程《工程数学》之“最优化方法”
第一章 线性规划
第三节 线性规划的对偶理论
第三节 线性规划的对偶理论
本节内容重点： 一、线性规划的对偶问题概念、理论 二、线性规划的对偶单纯形法 三、线性规划的灵敏度分析
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一、线性规划对偶问题
1. 对偶问题
一个简单的例子：
某家具厂木器车间生产木门与木窗两种产品。加工木门收入为56 元/扇、加工木窗收入为30元/扇。生产一扇木门需要木工4小时、 油漆工2小时；生产一扇木窗需要木工3小时、油漆工1小时。该车 间每日可用木工总工时为120小时，油漆工总工时为50小时，问该 车间如何安排生产才能使每日收入最大？
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一、线性规划对偶问题
（iii）若原规划的某个变量的值没有非负限制，则在对偶问题中 与此变量对应的那个 约束为等式。 下面对关系（2）作一说明。对于关系（3）可以给出类似的解释。 设原规划中第一个约束为等式：
a11x1 + … + a1nxn = b1 那么，这个等式与下面两个不等式等价
a11x1 + ...+ a1n xn ? b1 a11x1 + ...+ a1n xn ? b1
一对对称形式的对偶规划之间具有下面的对应关系： (i)若一个模型为目标求“极大”，约束为“小于等于”的不等式，则
它的对偶模型为目标求“极小”，约束是“大于等于”的不等式。 即“max，≤”和“min，≥”相对应。
(ii)从约束系数矩阵看：一个模型中为Ａ，则另一个模型中为AT。一个
模型是m个约束，n个变量，则它的对偶模型为n个约束，m个变量 。 (iii)从数据b、C的位置看：在两个规划模型中，b和C的位置对换。 (iV)两个规划模型中的变量皆非负。
2y1+y2+3y3 ≥2500 （不少于乙产品的利润）
y1, y2 , y3 ≥ 0
对偶问题
一、线性规划对偶问题
2. 对偶定义
(1) 对称形式
互为对偶
max Z = Cx
s.t
ìïïíïïî
Ax x³
£ 0
bT
min f = bw
s.t
ìïïíïïî
AT w ³ w³ 0
C
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一、线性规划对偶问题
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一、线性规划对偶问题
这样，原规划模型可以写成
max Z = c1x1 + L + cn xn
ìïïïïïïïíïïïïïïïî
a11x1 + L - a11x1 - L
am1x1 + L x j ? 0, j
+ a1n xn ? - a1n xn ? M
+ amn xn ? 1, 2,L ,
b1 b1
bm m
12
一、线性规划对偶问题
此时已转化为对称形式，直接写出对偶规划
没有非负限制 这里，把 y1 看作是 y1 = y1’ - y1’’，于是 y1 没有非负限制。
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一、线性规划对偶问题
对偶问题对应表
原问题（对偶问题）
对偶问题（原问题）
目标函数min
目标函数max
约束条件： m个 第i个约束类型为“≥” 第i个约束类型为“≤” 第i个约束类型为“＝”
2500
一、线性规划对偶问题
Max z = 1500x1 + 2500x2 s.t. 3x1 + 2x2 ≤ 65 2x1 + x2 ≤ 40 3x2 ≤ 75 x40y2 + 75y3
s.t. 3y1+2y2 ≥1500 （不少于甲产品的利润）
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一、线性规划对偶问题
(2)非对称形式的对偶规划 一般称不具有对称形式的一对线性规划为非对称形式的对偶规划。 对于非对称形式的规划，可以按照下面的对应关系直接给出其对 偶规划。 （i）将模型统一为“max，≤”或“min，≥” 的形式，对于其中 的等式约束按下面（2）、（3）中的方法处理； （ii）若原规划的某个约束条件为等式约束，则在对偶规划中与此 约束对应的那个变量取值没有非负限制；
max Z = 56x1 + 30x2
s.t
ìïïïíïïïïî
4x1 + 2x1 + x1, x2
3x2 ? 120 x2 ? 50 ³0
用图解法或单纯形表，可求得最优解：
x* = (x1, x2 )T = (15, 20)T , z* = 1440 (元)
即该车间每日安排生产木门15扇、木 窗20扇时收入最大，为1440元/日。
设w1为付给木工每个工时的价格，w2为付给油漆工每个工时的价 格，则该个体经营者的目标函数为每日所付工时总费用最小：
min f = 120w1 + 50w2
s.t
ìïïïíïïïïî
4w1 + 3w1 + w1, w2
2w2 w2 ? ³0
? 56 30
解之得：
w* = (w1, w2 )T = (2, 24)T , f * = 1440 (元)
Ax bT
min f = 120w1 + 50w2 = (120 50)骣 ççç桫ww12÷÷÷= bw
s.t
ìïïïíïïïïî
4w1 + 3w1 + w1, w2
2w2 ? 56 w2 侈30 ³0
骣 珑 珑 珑 桫43 12鼢 鼢 鼢骣 ççç桫ww12÷÷÷吵骣 桫5360
AT w C
原问题 对偶问题
变量数：n个 第j个变量≤ 0 第j个变量≥ 0 第j个变量是自由变量