2013年中山大学高等代数考研真题

1、设E 为数域,F E,且E 作为F 上的线性空间，维数为m.设V 为 E 上的n 维线性空间.证明：V 作为F 上的线性空间维数为mn.

2、设f 是F 上线性空间M n

(F)到F 的线性映射，f(l)= n,且对任意的矩阵A,B M n (F)有f(AB)=f(BA).证明：f = tr °

(注:tr 为迹函数， tr (A)-)). 3、设 A,B ? M n (F ), ra nk (A) ::: n,且 A r B Q ?…B k ,其中 B i 2 二 B i ,i = 1,2,…,k.证

明: rank (I _ A)乞 k (n -rank (A)).

4、设A E F m >n .若对任意n 维向量b €F n

,线性方程组AX =b 有解.证明：rank (A) = m.

5、设 f (x) = x 3

, g (x) = (1 一 x)2. (1)求 u(x), v(x) 使 (f (x), g(x)) =u(x) f (x) ? v(x)g(x )； ( 2 ) 设 n(x) =x - 2,「2(x) =1.求一多项式h(x)使下列同余方程式成立： h(x)三 * (x)(mod f (x)), h(x)三 r 2(x)(mod g (x)).

6、设匚是F 上线性空间V 上的线性变换.W 是二的不变子空间.’1，, 'm 是二的两两不同的特征根，…，：m 分别是属于‘1,…，’m

&设W 为下列实线性方程组的解空间.分别求W 与W -( W 的正交的根向量.若「-「-〉

7、设复矩阵A

二 1 5 1 0 <1 -2

0 -1

-W ,证明：i ? W, i =1,…,m. 3 -1 2 0 2 -1 0 1」求A 的Jordan 标准型和最小多项

补）的一个标准正交基 : 2x1 x2 _x3? X4 = 0, X j x2 _x3 = 0.

广 3 -2 -4

9、设实矩阵A= _2 6 -2求正交矩阵使P」AP为对角矩阵.

<-4 -2 3」

10、设A,B都是n阶实矩阵，其中A正定，B半正定.证明：det （ A B） _det A.

（这是考试记录下来的资料，答案目前还没弄好，有时间再上传）