第6章-非线性有限元法(几何非线性)
线性和非线性有限元
目
CONTENCT
录
• 线性有限元方法 • 非线性有限元方法 • 线性与非线性有限元的比较 • 线性与非线性有限元的实例分析 • 未来研究方向与展望
01
线性有限元方法
定义与原理
定义
线性有限元方法是一种数值分析方法，用于求解偏微分方程的近 似解。它将复杂的求解区域离散化为有限个小的、简单的子区域 ，即有限元，然后对每个有限元进行求解，最终得到原偏微分方 程的近似解。
THANK YOU
感谢聆听
在实际应用中，应根据问题的特性和需求选择合适 的有限元方法。对于复杂的问题，可能需要结合多 种有限元方法进行求解。
05
未来研究方向与展望
线性有限元方法的改进与优化
80%
高效求解算法
研究更快速、稳定的线性有限元 求解算法，提高计算效率。
100%
自适应网格生成
发展更智能、自动的网格生成技 术，以适应复杂几何形状和边界 条件。
线性有限元
由于线性有限元基于线性方程组进行求解，因此计算复杂度 相对较低，适用于求解一些较简单的问题，如弹性力学问题 。
非线性有限元
非线性有限元需要求解非线性方程组，计算复杂度较高，但 能够处理更复杂的问题，如塑性力学、流体力学等领域的问 题。
精度比较
线性有限元
对于一些简单的问题，线性有限元可以给出较为精确的结果。然而，对于一些 复杂的问题，线性有限元可能无法准确描述非线性行为。
80%
多物理场耦合
研究线性有限元在多物理场耦合 问题中的应用，如流体-结构、电 磁-热等。
非线性有限元方法的改进与优化
高阶非线性有限元
发展高阶非线性有限元方法， 以更精确地描述复杂非线性行 为。
材料非线性
( ) P( ) f 0 0
其中： 表示载荷变化的量。 dP d d f 0 KT f0 0 d d d d 1 K T ( ) f 0 d 切线矩阵
1 1 m1 m KT ( m ) f0m KT ( m )f m
一、材料弹塑性行为的描述
弹塑性材料进入塑性的特征是当载荷卸去后 存在不可恢复的永久变形，因而在涉及卸载的情 况下，应力和应变之间不再存在一一对应的关系， 这是区别于非线性弹性的基本属性。
11
单调加载 对于大多数材料存在屈服应力，应力低于屈服 应力时，材料为弹性，而当应力超出屈服应力时， 材料进入 弹塑性状态。 当应力达到屈服应力后，应力不再增加，而材料 变形可以继续增加—理想弹塑性材料。
第六章 材料非线性问题的有限元法
1
第一节
引言
线弹性力学基本方程的特点： 几何方程的位移和应变的关系是线性的； 物理方程的应力和应变的关系是线性的； 建立于变形前的平衡方程也是线性的。 几何非线性问题 结构的变形使体系的受力状态发生显著变化， 以致于不能用变形前的平衡方程分析，且位移和应 变的关系不是线性的。
K ( ) f 0
增量法 载荷分为若干步： f 0 , f1 , f 2 , f 3 位移分成若干步： 0 , 1 , 2 , 3 每两步之间增长量为增量。 增量解法的一般做法是： 假设第m步的载荷 f m 和位移 m ； 让载荷增加 f m1 ( f m f ) ，再求解 m1( m )。 如果每一步的增量 f 足够小，解的收敛性 可以得到保证
9
NmR-N方法求解非线性方程组时，收敛速度 较慢，特别是对于结构分析时载荷趋近极限载荷或突 然变软的情况下，收敛速度会很慢。为了加速收敛， 可以采用一些方法，比较常用和有效的是Aitken法。 该方法每隔一次迭代进行一次加速。
非线性 元法 几何非线性
５、几何非线性有限元方程的建立
如前所述，几何非线性的有限元方程一般采用T.L或U.L列式法建立：
1、全拉格朗日列式法（T.L列式法)： 选取t0=0时刻未变形物体的构形A0作为参照构形进行分析。
2、修正拉格朗日列式法（U.L列式法）： 选取tn时刻的物体构形An作为参照构形。由于An随计算而变化，因
Ni (参考面积法向矢量)
变形前面积dA’
变参2形考、后后Ti状状j不态态对下下称：：，dd因PiiP 而T较iijjN n难jjdd应A A用到有ijn 限jd元分A T 析ijN 中j。dA ni(变形后面积法向矢量)
将面积映射关系：njdA JN iFij1dA代入上式，得：
iJ j N kF k1jdA TiN j jdA
V
V
S
或写为：
12Sij 12ei*jdV12Q
V
式中， 1 2Q 1 2fibui*dV1 2fiSui*dS 表示外力所做的虚功。
V
S
５、几何非线性有限元方程的建立
引入此前Green应变张量表达式，可得：
e ijijij e ijijij
虚功方程：
12Sij 12ei*jdV12Q
和应变在变形后状态下表示未知。
x2
x3 t0=0 P0
A0
x1
tn tn+1=tn+Δtn
Pn
Pn+1
An
An+1
５、几何非线性有限元方程的建立
为了求解，需将以上变形后状态下表示的虚功方程转换到
初始状态下表达。
1、采用二阶Piola应力张量和 Green应变张量将虚应变能转换 到初始状态下表示：
2、在外力作用点和方向都不改
非线性有限元法及实例分析
行。 一般来说 ， 以求得其精确解 ， 难 通常采用数值解法 ， 把非 线性问题转化为一系列线性 问题 。 为了使这一系列线性解 收敛 于非线性解 ， 曾经有 过许 多方法 ， 但这 些解法 都有一 定的局限性。 某解法对某 一类非线性 问题有效 。 对另一 但
・－－－— —
２２ ・— ２ － － － —
维普资讯
梁 军 ， ： 等 非线 性有 限元 法及 实例 分析
１ １ ２ Ｎ ｗｔｎ — Ｒ ｐ ｓｎ方 法 ． ． ｅ ｏ ａ ｈｏ
第 ４期
荷载增量 。 此时 ， 假定 方程是 线性 的 ， 劲度矩 阵 为常矩
Ｎｗｏ ｅ ｔｎ—Ｒ ｐｓｎ方法是求解非线性方程组 ａｈ ｏ
（） Ｆ ８ Ｒ ｓ Ｋ ８８一 Ｒ ＝ ０ ８ （）一 （ ） （３ １）
阵， 对每级增量求出位移增量 △ 对它累加 ， 可以得到 ， 就
合实际情 况。根据 产生 非线性 的原 因， 非线 性 问题 主要
有３ 种类 型 ： ①材料非线性 问题 （ 简称材料 非线性或物理
非线性） ②几何非线性问题 ； ； ③接触 非线 性问题 （ 简称接 触非线性或边界非线性 ） 。
类问题可能不合适 。 因而， 根据 问题性质 正确选用 求解方 法成为非线性有限元的一个极重要 的问题 。 常见的求解非 线性方程组的数值方法有迭代法 、 增量法和混合法 。
ｌ
设其初始 的近似解为 ＝ ， 由此确定 近似 的 Ｋ矩
阵
：
（
… ）＝ ０
其中 ， ， ， 是未知量 ； ， ， ， ，２ …， … … 是 ，
非线性结构有限元分析
在程序中，对增量方程求解的平衡迭代采用修正 的牛顿迭代法或BFGS法。 1. 修正的牛顿迭代法。它与完全的牛顿法的不同在 于迭代过程中系数矩阵保持不变，因此不需要重新形 成和分解刚度阵，从而大大减少了计算量。但是这样 又带来了收敛速度慢和发散问题，对此程序中加入了 加速收敛和发散处理的措施。这些措施并不明显地增 加求解的时间，但却会对修正的牛顿迭代法的性能有 所改进。 2. BFGS法。又称矩阵修正迭代，是拟牛顿法的一 种。它实际上是完全的牛顿法与修正的牛顿法之间的 一种折中方法。因为它在迭代过程中，并不重新形成
0 t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1 n n n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的
返回
取位移插值函数为： n
t
写成矩阵形式：
t i
ui N u
k 1
t k k i
；
ui N k uik
k 1
n
（10-26） （10-27）
u [N ] u
t k i
；
ui [ N ]uik
其中：Nk为插值函数，[N]为形函数矩阵； t k ui ，uik 为k点i方向上t时刻的位移和位移增量； n为单元节点数。 取坐标变换为：
v
v s
{R} [ N ]T qv dv [ N ]T qs ds {R0}
{u}
外载荷阵 （10-6） 为节点位移对时间的二 次导数；
为节点位移对时间的一 次导数。
{u}
非线性有限元法综述
非线性有限元法综述摘要：本文针对非线性有限元法进行综述，分别从UL列式及TL列式、CR列式、几何精确梁、壳理论三个方面介绍其分析思路和发展动态，旨在为相关学者提供一些思路参考。
关键词：几何非线性；UL列式；TL列式；CR列式；几何精确梁、壳理论1引言几何非线性是由于位置改变引起了结构非线性响应。
进行结构几何非线性分析，实质上就是要得到结构真实的变形与受力情况。
有限元方法是进行结构几何非线性分析的最成熟的方法，也是应用最广泛的分析方法.2非线性有限元法研究思路非线性有限元法主要指UL列式法、TL列式法、CR列式法和几何精确梁、壳理论等，它们有着基本相同的思路，即利用虚功原理建立平衡方程。
方程中充分考虑了非线性因素对结构应变和应力的影响，也就是将线性应变和非线性应变都代入到表达式中，然后确定单元的本构关系并选取合适的形函数，导出单元对应的弹性刚度矩阵和几何刚度矩阵，再选取合适的增量-迭代算法进行求解，由此就完成了结构的整个几何非线性分析求解过程。
非线性有限元法将结构的变形过程划分为三个主要阶段：C0状态、C1状态和C2状态，如图1所示。
图1 单元的变形C0状态是单元的初始状态，C1状态是单元受力变形后上一次处于平衡的状态；C2状态是单元的当前状态，也就是所求的状态。
2.1UL法和TL法研究思路UL法和TL法为几何非线性问题提供了新的分析思路。
这两种方法本质上没有很大区别，但是方程建立的参考状态有所不同。
完全拉格朗日法(TL法)是以结构变形前C0状态为参考建立平衡方程的，考虑结构从C0状态到C2状态之间的变形；而更新的拉格朗日法(UL法)以结构变形后C1状态为参考建立平衡方程的[2]，考虑结构从C1状态到C2状态之间的变形。
两种拉格朗日法的主要形式如下：（1）TL列式（2）UL列式从上面两式可以看出：TL法和UL法的另一个不同是TL法的增量平衡方程中考虑了初位移矩阵的影响，而UL法则忽略了其影响，只考虑了弹性刚度矩阵和初应力矩阵的影响。
非线性结构有限元分析
t t t k xi N k0 xik， xi N kt xik， xi N kt t x（ i 10-28） k 1 k 1 k 1
n
n
n
0 k t k t t k 其中： xi ， xi ， xi 为节点k，i方向上在0，t， t+△t时刻的 节点坐标值。
（10-25）
T T t T t t t e C e dv dv W e t tv t t t tv t tv t dv
此为改进的拉格朗日（ U·L ）公式。 三、非线性问题有限元基本方程 有了方程（10-19），（10-25）式，就可以按通常的方 法进行有限元离散，从而得到非线性问题的有限元基本方程。
第一节
有限元基本方程
一、线性问题的基本方程 由复杂结构受力平衡问题的虚功方程有:
T T T v v v s s
dv u q dv u q ds u R
T 0 0
mu u dv Du u dv
[M ]
t t
{u} [ D]
t t
{u} [ K ]t t {u} t t {R} （10-8）
解此方程也用隐式时间积分，显式时间积分或振形迭加 法求解。
二、非线性问题的基本方程 对于非线性问题通常不能用一步直接求解方案，必须分成 若干步加载,按各个阶段不同的非线性性质逐步求解，即增量求 解方案。 1.增量形式的平衡方程： 已知设：0，△t，2△t‥‥的位移和应力（各载荷步的） 要求出：t+△t步时的位移和应力。 ①全拉格朗日（T·L）公式 以t=0时刻状态为度量基准，求t+△t时刻的值。 由虚功方程： 其中：
有限元非线性分析
下表简要列出了线性和非线性有限元分析之间的主要不同。关于荷载-位移关系、应力-应变关系、应力-应变度量 等主要不同将在本章详细介绍。
序号 1.
特征 荷载-位移关系
2.
应力-应变关系
3.
比例缩放
4.
线性叠加
5.
可逆性
6.
求解序列
7.
计算时间
8.
用户与软件的交互
13.3 非线性的类型
2）对数应变和真实应力 对数应变/自然应变/真实应变是度量大应变的方法，计算公式如下：
它是非线性应变的度量，因此是关于最终长度的非线性函数。与线性应变相比，对数应变（或真实应变）是可加
的。考虑一个初始长度为1m的杆经过下面3步的变形： 第1步： 从1m 变形至1.2m 第2步：从1.2m 变形至1.5m 第3步：从1.5m变形至2m 在下表中我们比较了工程应变和真实应变。可以清楚地看到，只有真实应变是可加的，因此在非线性分析中应该
13.6 非线性静力分析的一般流程
一个典型的非线性静力分析项目需要以下步骤：
网格划分：有限元模型的创建是有限元分析一个非常重要的步骤，不论进行什么样的分析。在第4-7章已经讨论过对 于某些应用的如何选择适当的单元类型。FEA小组会得到零件的几何数据，需要对这些几何进行网格划分以得到零件 网格。当装配中所有的零件划分网格后，使用适当的连接单元把它们都连接在一起如CWELD或CBUSH。一般来说， 四边形单元和六面体单元优于三角形单元、楔形单元和四面体单元。应该注意模型中的关键特征，比如圆角、孔和倒 角。如果在两个平行表面之间有紧固件或焊接，应该尽量在两个面上创建相似的网格。这将有助于焊接单元或刚性单 元垂直于表面而不破坏壳单元。然而，许多有限元分析（FEA）代码支持不依赖于节点焊接，而是基于绑定接触。这 允许用户在两个焊接零件之间创建不依赖于节点的连接单元。建议首先对复杂零件进行网格划分，然后对简单或平面 几何进行网格划分以保证良好的单元质量。需要用适当的方式来模拟夹紧、铰接和焊接以在结构中正确地传递荷载。 为单元定义适当的刚度和预荷载以得到更高的精度。如果荷载从结构上的某个面传递到另一个面上，应该在两个面间 定义接触。每个FEA代码都有自己的接触参数输入格式。一个典型的接触定义需要主从节点或单元，摩擦系数，接触 面间的间隙和接触算法。
桥梁结构几何非线性计算理论
二十世纪六十年代末，有限元法与计算机相结合，才使工程
中的非线性问题逐步得以解决
1.概述(续)
非线性问题及其分类
固体力学中有三组基本方程，即：本构方程、几何运动方
程和平衡方程。
经典线性理论基于三个基本假定，这些假定使得三组基本
平面桁架单元的切线刚度矩阵；平面柔索单元的切线刚度矩阵；平面 梁单元的切线刚度矩阵。
桥梁结构几何非线性分析若干问题的讨论
稳定函数与几何刚度阵；弯矩对轴向刚度的影响；活载几何非线性； 桥梁结构几何非线性调值计算。
非线性方程的求解
概 述；Newton-Raphson法；收敛准则。
小 结
第十一章
t t
2.4 T.L列式与U.L列式的异同及适用范围 T.L列式与U.L列式是不同学派用不同的简化方程及理
论导出的不同方法，但是，它们在相同的荷载增量步 内其线性化的切线刚度矩阵应该相同，这一点已得到 多个实际例题的证明。
从理论上讲，这两种方法都可以用于各种几何非线性
分析，但一般情况下，T.L列式适用于大位移、中等转 角和小应变的几何非线性问题，而U.L列式除了适应于 上述问题外，还适用于非线性大应变分析、弹塑性、 徐变分析。可以追踪变形过程的应力变化。
求得的位移状态下，新的抗力与总外荷载之间有一差量， 即失衡力，结构必须产生相对位移以改变结构的抗力来消 除这个失衡力。
在计算中，一般通过迭代法来求解。
2.3 更新的拉格朗日列式法(U.L列式)
在建立t+t时刻物体平衡方程时，如果我们选择的参
照构形不是未变形状态t=0时的构形，而是最后一个已 知平衡状态，即以本增量步起始时的t时刻构形为参照 构形，这种列式法称为更新的拉格朗日列式法(U.L列 式) 。
梁杆结构几何非线性有限元的数值实现方法
NUMERICAL IMPLEMENTATION OF GEOMETRICALLY NONLINEAR FINITE ELEMENT METHOD FOR BEAM STRUCTURES
CHEN Zheng-qing
(College of Civil Engineering, Hunan University, Changsha 410082, China)
= tσ ij + ∆∗T ij = ∆∗ Eij
(1) (2)
而它在 t+Δt 时刻柯西应变就等于其增量：
t + ∆t t Eij
式中， ∆ Eij 为：
∗
∆∗ Eij = ∆∗ε ij + ∆∗ηij 1 ∆∗ε ij = (∆ui ,j + ∆u j ,i ) 2 1 ∆∗ηij = ∆uk ,i ∆uk ,j 2
———————————————
收稿日期：2013-05-01；修改日期：2014-03-06 基金项目：国家自然科学基金项目(91215302) 作者简介： 陈政清(1947―)， 男， 湖南湘潭人， 教授， 博士， 湖南大学风工程研究中心主任， 主要从事结构振动与控制研究(E-mail: zqchen@).
(3) (4) (5)
44
工
程
力
学
E G [ t kαβ ]{∆qα } = {t+ ∆t Pβ − tψ β } + t kαβ
仍然假定变形体的应变增量是小应变，应 力应变增量关系可以记为：
(14) (15) (16)
′ ∆∗ε kl ∆∗T ij = Cijki
功增量方程如下： ′ = A3 ′ − A4 ′ A1′ + A2 式中：
简析非线性有限元法
简析非线性有限元法游潇;苏小卒【摘要】In the analysis of reinforeced concrete structures subjected to general loading conditions,the realistic constitutive model and robust analytical procedure are two key preconditions to produce reasonably accurate simulations of nonlinear behaviors of such structures.Based on the FEM analysis,suggestions for further studies are given.%采用有限元法分析一般荷载作用下的钢筋混凝土结构时,要得到对结构性能的合理准确的模拟结果,除了需要合理的本构模型,还要有先进的数值分析方法。
文中将对非线性有限元的特点做出分析,为进一步研究提供参考。
【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2012(030)001【总页数】4页(P75-78)【关键词】非线性有限元;数值方法;钢筋混凝土【作者】游潇;苏小卒【作者单位】同济大学土木工程学院,上海200092;同济大学土木工程学院,上海200092【正文语种】中文【中图分类】TU311目前，钢筋混凝土结构作为一种经济、实用的结构，是我国工业与民用建筑中最为广泛采用的一种结构形式。
这类结构在各类荷载作用下的反应特性，以及合理的设计方法和构造措施，一直以来是结构研究人员和工程师们经常研究的课题。
由于钢筋混凝土是由2种性质截然不同的材料—钢筋和混凝土组合而成，因此它的性能明显的依赖于这2种材料的性能。
尤其是在非线性阶段，钢筋和混凝土本身的各种非线性性能，都不同程度地在这种组合材料中充分反映出来。
目前钢筋混凝土非线性方面的分析和研究还存在着若干有待解决的问题。
非线性有限元分析
课程名称：非线性有限元分析
英文名称：Nonlinear finite element methods
课程类型：√□讲授课程□实践（实验、实习）课程□研讨课程□专题讲座□其它
考核方式：大作业、编程
教学方式：课堂讲授
适用专业：理工文医各专业
适用层次：硕士□√博士□√
开课学期：
总学时/讲授学时：40/40
a)Volume 1 & Volume 2
3.Bathe: Finite element procedures in engineering analysis. 1982
4.Cook, Malkus, Plesha, Witt: Concept and applications of finite element analysis. 2002
5.Simo, Hughes: Computational inelasticity. 1997
6.Zienkiewicz, Taylor: The finite element method. Volume 2. 2008
7.Reddy: An introduction to nonlinear finite element method. 2004
第九章接触
§9.1光滑及摩擦接触问题的数学描述
§9.2变分等式及变分不等式方法
§9.3一维无摩擦接触问题的求解方法及过程
§9.4摩擦接触问题算法
§9.5接触面相关的数学描述及算法
§9.6几种摩擦模型简介
第十章材料非线性
§10.1一维理想塑性ห้องสมุดไป่ตู้题及算法
§10.2基本的等向强化模型及算法
§10.3率无关塑性积分算法
Volume 1 & Volume 2
非线性有限元解法
(9)
(10 )
•在增量方法中通常引入载荷因子λ,用 R R表示载荷， 于是非线性有限
元方程可写成： ( u, ) P( u ) R 0
(1)
用载荷因子λ系列： 0 0 1 2 M 1
(2)
相应于不同的载荷。
若相应于载荷因子 n 的解已经求得，记为 u un ，则 ( un ,n ) P( un ) n R 0
KT n
KT ( un
)
un
(8)
un1 un un
其收敛判据与直接迭代法的收敛判据雷同。
非线性有限元方程组的解法（增量法）
•求解非线性方程组的另一类方法是增量方法。使用增量方法的一个优点是 可以得到整个载荷变化过程的一些中间的数值结果。当问题的性质与加载的 历史有关时，例如弹塑性问题，则必须采用增量方法。
u1 ( K1 )1 R
据此容易写出直接迭代法的迭代公式：
Kn K( un )
un1 ( K n )|1 R
(2)
按照这种迭代公式可以得到一个解数列 { un } ，当这个数列收敛时停止计
算，其数列收敛值就是方程（1）的解。
非线性有限元方程组的解法（直接迭代法）
关于数列收敛的判据，可以采用各种各样的范数定义和收敛判据。若设第 n
( un ) K( un )un R 0
(7)
该值可作为对偏离平衡的一种度量（称为失衡力），收敛判据可相应地取为：
( un ) R
(8)
（失衡力收敛判据）
非线性有限元方程组的解法（牛顿法）
把非线性有限元方程记为： ( u ) P( u ) R 0 (1)
非线性有限元
（三）混合法 如对同一非线性方程组混合使用增量
法和迭代法，则称为混合法或逐步迭代法。 一般在总体上采用Euler增量法，而在
同一级荷载增量内，采用迭代法。
Ki-1
刚度的取值可根据给定的应力-应变曲 线导出。若每级计算都采用上一级增量计算 终了时的刚度值，则称为始点刚度法。
Ki-1
始点刚度法类似于解微分方程初值问题 的欧拉(Euler)折线法，计算方法简单但计算 精度较低，容易“漂移”。
若采用中点刚度法则可以提高精度。该 法类似于解常微分方程初值问题的龙格-库塔 （Runge-Kutta）法，包括中点切线刚度法 和中点平均刚度法。
(1) 直接迭代法 对非线性方程组
设其初始的近似解为 ，由此确定近似的
矩阵
可得出改进的近似解
重复这一过程，以第i次近似解求出第i＋1 次近似解的迭代公式为直接迭代法
对非线性方程组
直到 变得充分小，即近似解收敛时，终止迭代。
在迭代过程中,得到的近似解一般不会满足 作为对平衡偏离的一种度量，称为失衡力。
q-Newton—Raphson迭代法的计算过程
（2）初应力法 如果在弹性材料内确实存在初应力 ，则材料的应力应变关系为
由上式及虚功原理可导出单元的结点力为
集合单元得出以下的有限元方程 式中， 为由初应力 引起的等效结点荷载
初应力法就是将初应力看作是变化的， 以此来反映应力和应变之间的非线性关系。 通过不断地调整初应力，使线弹性解逼近非 线性解。
接触非线性 由于接触体的变形和接触边界的摩擦作用，
使得部分边界条件随加载过程而变化，且不 可恢复。这种由边界条件的可变性和不可逆 性产生的非线性问题，称为接触非线性。
材科非线性有限元法 材料非线性是由本构关系的非线性引
第6章--Simulation有限元分析【可编辑全文】
可编辑修改精选全文完整版目录第六章 Simulation有限元分析 (2)6.1 Simulation基础知识 (2)6.1.1 有限元法概述 (2)6.1.2 Simulation概述 (2)6.1.3 Simulation使用指导 (4)6.1.4 Simulation有限元分析的一般步骤 (8)6.2 SimulationXPress应力分析 (10)6.3 Simulation结构有限元分析 (16)6.3.1 轴静态分析 (16)6.3.2 夹钳装配体静态分析 (36)6.4 Simulation优化分析 (50)6.4.1 优化设计概述 (50)6.4.2 优化设计基础知识 (51)6.4.3 轴的优化分析 (51)6.5 小结 (59)第六章 Simulation有限元分析在制造业中，为了缩短产品设计周期，提高产品质量，广泛采用计算机辅助工程（Computer Aided Engineering,CAE），机械设计已逐渐实现了由静态、线性分析向动态、非线性分析的过渡，由经验类比向最优设计的过渡。
CAE在产品开发研制中显示出了无与伦比的优越性，使其成为现代企业在日趋激烈的竞争中取胜的一个重要条件，因而越来越受到科技界和工程界的重视。
在CAE技术中，有限元分析（Finite Element Analysis，FEA）是应用最为广泛、最为成功的一种数值分析方法。
SolidWorks Simulation即是一款基于有限元（即FEA数值）技术的分析软件，通过与SolidWorks的无缝集成，在工程实践中发挥了愈来愈大的作用。
6.1 Simulation基础知识6.1.1 有限元法概述有限元法（Finite Element Method，FEM）是随着计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法，是一种求解关于场问题的一系列偏微分方程的数值方法。
有限元分析的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。
ME7001《应用固体力学》课程教学大纲-上海交通大学机械与
ME7001《应用固体力学》课程教学大纲课程名称：应用固体力学课程代码：ME7001学分/学时：3学分/48学时开课学期：春季学期适用专业：机械工程及自动化先修课程：理论力学，弹性力学，有限元开课单位：机械与动力工程学院一、课程性质和教学目标课程介绍：固体力学是开展机械工程相关科学基础研究和工程技术应用需要掌握的重要理论基础，对于提高机械工程专业博士研究生的力学理论基础及其工程应用能力具有重要作用。
本课程面向机械工程博士研究生在科学研究中的固体力学分析需求，讲授连续介质力学基本理论，包括张量分析基础、弹塑性理论、非线性有限元方法，及其在结构和工艺分析中的应用。
教学目标：学生通过学习本课程，可以掌握固体力学的一些基本概念，了解机械工程问题中数学和力学建模、求解的一般原理，初步具备对机械工程中结构和工艺问题进行建模和计算的应用能力，从而为从事机械工程科研工作奠定基础。
具体目标包括：（1）掌握材张量分析理论的基本概念、技术术语。
（2）掌握连续介质力学的基本概念和基本原理。
（3）培养应用固体力学原理解决工程问题和设计满足要求的构件或系统的能力。
二、课程教学内容及学时分配1.固体力学及应用概论（1学时）主要讲述固体力学涉及的理论内容概述，固体力学在机械工程领域科研和工程实践中的应用基本情况。
2.张量分析基础（6学时）主要讲述欧式空间中的矢量和张量、张量和矩阵的几种记法、矢量和张量分析、张量函数的导数、坐标变换、二阶张量及其不变量、Cayley-Hamilton定理、各向同性张量等内容。
3.线弹性问题（6学时）主要讲述各向同性线弹性材料的应力-应变关系、各向异性弹性固体材料的应力-应变关系、弹性刚度张量的对称性、线弹性理论中的变分方法、不变原理和最小势能原理、有限元方法理论、单元插值函数、单元应变、应力、刚度矩阵、边界加载、位移边界条件的引入等。
4.大变形问题基本方程（6学时）主要讲述无限小应变的适用性、物体的变形分析、物体的运动分析、物体的应变度量、物体的应力度量、静力平衡与能量原理、大变形弹性本构方程等。
有限元方法概述
主要工学硕士数学课程
工程数学 计算方法（数值分析） 随机过程 矩阵论 运筹学（最优化方法） 图论 模糊数学 有限元方法 小波分析 应用泛函分析北 Nhomakorabea航空航天大学
数学课程在研究生培养中的重要性
科技发展日新月异，数学科学地位不断提
高，在自然科学和工程技术方面广泛应用。 数学的面貌发生很大变化，现代数学在理 论上更加抽象、方法上更加综合、应用上 更加广泛。 综合运用数学的能力关系到研究生的创新 能力和研究水平的提高，对研究生的论文 质量至关重要。
X
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（2）单元分析 用单元节点位移表示单元内部位移－第i个单元 中的位移用所包含的结点位移来表示。
ui 1 ui ( x xi ) u ( x ) ui Li ui 第i结点的位移 xi 第i结点的坐标
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第i个单元的应变 应力 内力
du ui 1 ui i dx Li
自重作用下等截面直杆的解
受自重作用的等截面直杆 如图所示，杆的长度为L， 截面积为A，弹性模量为 E，单位长度的重量为q， 杆的内力为N。 试求：杆的位移分布，杆 的应变和应力。
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材料力学解答
N ( x) q( L x)
x
N ( x) q ( L x) A A
d2y EI 2 P ( x L) dx
M ( x) EI d2y dx 2
x
和边界条件
y |x 0 0 dy |x 0 0 dx
M ( x) P ( x L)
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再如对于弹性力学问题，可以建立起基本方程与 边界条件，如下： 平衡方程： 几何方程： 物理方程： 边界条件：
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3、欧拉描述法(Eulerian Formulation)： 独立变量是质点当前时刻的位置xn+1与时间tn+1。
２、变形梯度张量
1、首先采用Lagrangian方法， 将一个物体的加载过程划分为 一系列平衡状态。
初始状态与变形后状态之间坐 标关系为：
位移方程 xi xi ui
初始/未变形
x3 P’ 位移u
４、大变形的应力测度 柯西应力是定义在现
1te、ns柯o取r西)三应维力空张间时 下 力量笛构 ） ，(卡C形 的 是a儿（ 单 与uc坐变位变h标y形面形’系后积相s，状上关st在r态的的est时s 刻
的现时构形中真截实取应一力个。四面体素，斜面 的法线为n，另外三个面元与所取坐标 面平行。由四面体素的平衡条件得出其 上的应力为：
变ds张2 量d。s2 dxidxi dxidxi
dxidxi dxi Fki1Fkj1dx j
ij Fki1Fkj1 dxidxi 2Eij dxidxi
eij
1 2
FkiFkj ij
式中，eij称为Green应变张量或 Green-Lagrangian应变张量。
Eij
I2
1 2
Fij Fij
Fii Fjj
Ni (初始面积法向矢量)
映射Fij
变形前面积dA’ ni(变形后面积法向矢量)
逆映射F-1ij
变形后面积dA
体积映射: dV det FijdV JdV 面积映射： njdA JNiFij1dA
３、应变与变形测度
由于变形梯度张量Fij中包含了刚体运动，因此不能直接用于定 义应变测度。而材料方向矢量则不包含刚体运动，因此它的平方值
uk xj
ij
ij
式中：
ij
1
ui
2 xj
u j xi
为小变形应变张量；
ij
1 2
uk xi
uk xj
为非线性二次项
2、Green变形张量也可写为：
eij
1 2
Cij
ij
式中，Cij是Cauchy变形张量
Cij FkiFkj
由于Cauchy变形张量是正定对称 阵，因此该张量有三个实特征值； 这些特征值的平方根记为材料的 主轴拉伸。
dxiFkiFkjdxj dxidxi
FkiFkj ij dxidxi 2eijdxidxi
由于大变形问题有
２、限A元lm方an程sh主i应要变采用张量
T.L列式法或U.L列式 Alm法an建sh立i应，变因张此量应采在用初Eular运动 描述始方状法态，下即定按义当应前变状张态下的构 形定量义，应即变采张用量G。reen应
1、Green应变张量
Green应变张量公式中，得：
eij ij ij
eij
1 2
ki
uk xi
kj
uk xj
ij
为小应变张量与一个非线性二 次项之和，这意味所有大变形 分析都是非线性的。
1 2
ij
ui xj
u j xi
uk xi
uk xj
ij
1 ui 2 xj
u j xi
1 2
uk xi
x’
x
x1
x2
变形后
P
2、然后，考虑材料方向矢量，这个矢量 描述物体内一段无限小的单元。
初始状态与变形后状态之间材料方向矢量
的关系：
dxi
xi xj
dxj
Fij dxj
Fij
xi xj
式中，Fij称为变形梯度张量。
Pxi dxi Qxi dxi
x3
Pxi
x1
Pxi
x2
２、变形梯度张量
由位移方程，得：
从该式可以看出，一阶Piola-Kirchoff应力Fij源自xi xjxi xj
ui xj
或写为：
Fij
ij
ui xj
Fij是一个二阶张量。
由于Fij表示从初始状态到变 形后状态的一个映射，其逆映射
Fij-1一定存在，即：
F 1 ij
xi x j
ij
ui x j
由二阶张量特性，变形梯度张量 的三个不变量为：
I1 Fii Fijij
I3 det Fij J
1 2
ij
Fki1Fkj1
式中，Eij称为Almanshi应变张量 或Almanshi –Eular应变张量。
可以证明Green应变张量和Almanshi应变张量都是二阶对称张量。
３、应变与变形测度
2、Green – Lagrangian应变张量eij与小应变张量εij的关系
将变形梯度张量表达式代入到
x1
Pxi
x2
提醒：由于Green应变张量表达式中的变形梯度张量对应于初始状
态，因此该应变张量也应在初始状态下计算。
３、应变与变形测度
1、Green 应变张量
Green应变张量采用Lagrangian运 动描述方法，即按初始状态下的 构形定义应变张量。
ds2 ds2 dxidxi dxidxi
i n ij n j
x3 ni i n
这里σij=σji便是柯西应力张量，它是二阶对称张量。
①、柯西(Cauchy)应力张量是一种采用欧拉描述x法1 (是以质点的瞬x时2 坐标xk和时间t作为自变量描述)定义在t时刻的现时构形上的应力张 量σij，又称欧拉应力张量。
②、在大变形(有限变形)情况下，由于变形前的初始构形和变形后 的现时构形差别较大，柯西(Cauchy)应力张量难于适应。
第六章 非线性有限元法（几何非线性）
1、变几形何非体线性的的有运限动元方描程一述 般采用T.L或U.L列式法建立！
变形体上的质点的运动状态 可以随不同的坐标选取以下几 种描述方法：
1、全拉格朗日列式法（T.L列式 法—Total Lagrangian Formulation)：
选取t0=0时刻未变形物体的构 形A0作为参照构形进行分析。
可以作为衡量从某一状态到变形后状态的一个测度，定义为：
初始状态: ds2 dxidxi
变形后状态： ds2 dxidxi
一个应变测度应该能反映出材料一段 长度发生的改变。因此，应变张量可以由 下式定义：
ds2 ds2 dxidxi dxidxi
Pxi dxi Qxi dxi
x3
Pxi
x3 t0=0 P0
A0
x1 x2
tn tn+1=tn+Δtn
Pn
Pn+1
An
An+1
2、修正拉格朗日列式法（U.L列式法—Updated Lagrangian Formulation）：
选取tn时刻的物体构形An作为参照构形。由于An随计算而变化，因 此其构形和坐标值也是变化的，即与t有关。tn为非线性增量求解时增量 步的开始时刻。