关于两两独立的随机变量序列和的强大数定律的简洁证明
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Ｉ＝０ 。 ｌ ｕ
＋） ＋ 后 １ １ ；ｔ ＋） － （ ；
（） １
＝ｃ ｋ＋１ Ｃ ｃ １ Ｘ ） Ｏ ∑（ ） Ｉ （ ＋Ｅ ｐ ＜Ｏ，
此处 Ｆ ） （ 是 ． 的分布 函数 ， 表示正常数 ， ｃ 它在各不等式中可以不相同． 同时 ， 们有 我
ｓ
ｎｌ ； ＝ ｊ ｝
， 因此 ，
（） ５
ｎ 上 、 、 －， 妻 ．ｃ ，ｃ‘１ 凡 ，＇ｒ 上 Ｐ ＝ ＿ １ 一 Ｐ Ｐ ， ’ ’
妻妻詈 ｓ＝
结 合 （） （） （） ４ 、５ 和 ６ 可得
．
口 ．Ｓ ．
关于 的收敛性的研究是概率论中 设｛ ｝ 是一个定义在概率空间（ Ｆ Ｐ 上的 ｒ ． ｎ， ， ） ． 序列 ， Ｓ ＝ 五， ｖ 令 ｎ
．
个很重要 的问题． 经典的大数定律研究是相互独立情形下的， 其得到的充要条件是非常完美的 ， 但在实际应 用 中， 相互独立的要求往往是难以满足的， 因此对于其他情形下大数定律的研究也是非常有意义的． １中讨 文［ ］ 论 了两两独 立且 同分 布 的情形 ， 本文将 其结论 进一 步推广 ． １ 主 要结论 弓理 ｌ （ｏｅ—Ｃｎｅｉ Ｉ ） ｌ Ｂｒ ｌ ａｔｌ弓理 ｌ
／ ． ａ一０
其中， １ 当 ｐ＜ 时 ， ２ ａ＝Ｅ ｌ当 ０ ＜１ ａ可取任意值（ Ｘ ； ＜Ｐ 时， 因此常取 ａ ０ ． ＝） 证 明 ： 于 １ Ｐ＜ ， 对 ２ 不失 一般性 ， 可设 Ｅ ｌ ０ 因此 我们 只需 证 明 Ｘ＝ ，
１ ｎ
ｌ 一 ∑Ｘ ＝０ ｉ ｍｎ ； ｉ ．
（ 明参 考 ［］ ， 根 据 Ｋｏｅｋｒ 证 ２ ）则 ｒｎｃｅ 引理 可得 ：
妻 ＜， 哗 。 。
ｎ ；
（） ２
Ｅ； Ｓ
＿Ｅ ∑
（） ３
一 ； ｒ ． ＋ ｊ ｝ 结合（） ３ ， Ｂｒ — ａｔｌ引理可得 ： １和（） 由 ｏ ｌ Ｃｎ ｌ ｅ ｅｉ
Ｓ ｌ — ＝０． ｉ ｍ ｜ ｉ ｝
又 因为 ，
妻 ｛ ≠ ： ｛ ＞ ： 』 （） Ｐ 矗｝ ｎ｝ 壹
，
ｎ＝ ｌ
Ｂ
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一
‘
∞
∞
，
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＝
∑ ∑ Ｊ ｄ（） ｛ Ｆ
ｎ １‘ ｎ
茁
Hale Waihona Puke Baidu
（＋） ｉ ） Ｐ （ ＋１
（＋ ） 古 ∞ ，ｉ １ ， ＋） （ ｐ
∞ Ｃ ｌ ＝
ａｓ ．．
另外 ， 因为 ｛ ｝ ｛ Ｔ 都满足定理的条件 ， 以 ＝ 和 Ｘ， ｝ 且 故不 妨设 ０ｎ ， ∈Ｎ．
一Ｘ， 显然我们只需对 ｛ ｝ ｛ Ｔ｝ Ｔ， 和 Ｘ， 证明上述结论 ，
令 Ｓ＝∑ Ｃ＝ ｛＜ ＿五，ｋ Ｐ ｋ 嬲 ｋ １，ｎ ｛ ＋ ｝ｙ＝
一
（） １若∑Ｐ Ａ ） （ ＜∞， Ｐ｛ ｉ０ ｝ Ｏ 则 Ａ ，． ． － ；
（） ｛ 相 互独立 ， ２若 Ａ ｝ ∑Ｐ（ ＝ｏ， Ｐ｛ ｉｏ ｝ ． Ａ ） 口则 Ａ ，． ． －１
引理 ２ （ ｒ ｅ ｅ 引理） 设 ｛ ｝ ｛ 是两实数序列， ＜口 十∞， ／ Ｋｏ ｃ ｒ ｎｋ 和 ｂ｝ ０ ∑ ａ 收敛 ， 那么 定理 设｛ ｝ 瓦 是两两独立且同分布的 ｒｖ序列 ， －． 则对某个有限常数 ａ以及Ｐ ０２ ， ∈（ ，）有 ＥＩ Ｉ ＜Ｏ ｌ ７ ； 五 一口 ＝ ． ０ ｉ ， ∑（ ｍ／ 一 ） ０ ａｓ ．．
Ａｕ ． ０ ０ ｇ２ １
关 于两 两 独 立 的随机 变量 序 列 和 的 强 大数 定 律 的简 洁证 明
陈英 霞
（ 平顶山学院数学与信息科学学院，河南平顶山 ４７０ ） ６０２
［ 摘 要］本文讨论 了两两独立 的 ｒ ． ． 序列和的强大数定律 ，将文［］ ｖ １中的结论进行 了推广 。与经典 的
强大数定律相 比，本文的证明过程更 简洁 ，不需要利 用 Ｋ ｌｏｒ 不 等式 ，而且结论 更实用 ，只要求 ｏ ｇｖ ｍ ｏ
ｒｖ 两 两 独 立 。 ．．
［ 关键词】强大数定律 ； 两两独立且 同分布的随机变量 ［ 中图分类号】Ｏ １ ２１ ０ 弓言 ｌ ［ 文献标识码】Ａ ［ 文章编号 】１０ — ７ｘ ２１）４ ＯＯ — ２ ０８ １８ （０Ｏｏ 一 Ｏ６ ０
＝
荟 Ｊ ｄ（） 善Ｊ￡ Ｐ （） ＜ ， ｌ Ｆ ≤ ｛ｘＦ Ｅ ∞ ｄ
ｌ — ＝０． ｉ 早 ｍ 后 口． ５．
由 Ｂｒｌ ａｔ ｉ ｏｅ—Ｃｎｅ 引理可 得 ： ≠ ，． ． － ， 有 ： ｕ Ｐ｛ ｉ０ ｝ Ｏ故
（） ４
对于 Ｖｎ ∈Ｎ， 在 ｍ∈Ｎ， 存 使得 — ＜ｎ ｌ
，
ｄ（ Ｒ 别
ｄ（ ） ｃ （ Ｅ ）＝ ∑
ｈ＝０ ｉ＝ｋ＋
）
［ 作者简介］陈英 霞 （９３ ） 女 ，河 南南阳人 ，平顶山学院数 学与信息科学学院助教 ，从事概率论与数理统计研 究。 １ 一 ， ８
・
６ ・
ｃ
曼 后 １ ；ｔ 。 ｚ （ （＋） ＋ｆ ｄ － Ｅ）
第 ２ 卷第 ４期 ９
Ｖ０ ． ９ Ｎｏ ４ １２ ．
长 春师 范学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｈｕｃｕ ｏ ｌ ｎ ｅｓｙＮ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｏｒａ ｏ ａ ｈｎＮ ｄａ Ｕ ｉ ｒｔ（ ａ ｒｌ ｃ ｎｅ Ｃ ｇ ｖ ｉ ｕ ｅ
２１ ００年 ８月
ｖ序列 以及 后 ．
， ｝ｎ ， ＝ ｉ ｌ ，∈Ⅳ ． 五ｙ， ； ｓ 注意到｛ ｝ 是两两独立的 ｒ ．
＜∞． 下面对于 Ｖｅ ０取 ｋ ＝ 由切 比雪夫不等式得 ： ＞ ， ２，
ｌ ｃ ： 量： ｃ 瓣～ｃ ｃ 警
＝善 １ｉ ｃ （１ － ：
［ 收稿 日期］２１ — ４ ０ ００ ０ — ８
＋） ＋ 后 １ １ ；ｔ ＋） － （ ；
（） １
＝ｃ ｋ＋１ Ｃ ｃ １ Ｘ ） Ｏ ∑（ ） Ｉ （ ＋Ｅ ｐ ＜Ｏ，
此处 Ｆ ） （ 是 ． 的分布 函数 ， 表示正常数 ， ｃ 它在各不等式中可以不相同． 同时 ， 们有 我
ｓ
ｎｌ ； ＝ ｊ ｝
， 因此 ，
（） ５
ｎ 上 、 、 －， 妻 ．ｃ ，ｃ‘１ 凡 ，＇ｒ 上 Ｐ ＝ ＿ １ 一 Ｐ Ｐ ， ’ ’
妻妻詈 ｓ＝
结 合 （） （） （） ４ 、５ 和 ６ 可得
．
口 ．Ｓ ．
关于 的收敛性的研究是概率论中 设｛ ｝ 是一个定义在概率空间（ Ｆ Ｐ 上的 ｒ ． ｎ， ， ） ． 序列 ， Ｓ ＝ 五， ｖ 令 ｎ
．
个很重要 的问题． 经典的大数定律研究是相互独立情形下的， 其得到的充要条件是非常完美的 ， 但在实际应 用 中， 相互独立的要求往往是难以满足的， 因此对于其他情形下大数定律的研究也是非常有意义的． １中讨 文［ ］ 论 了两两独 立且 同分 布 的情形 ， 本文将 其结论 进一 步推广 ． １ 主 要结论 弓理 ｌ （ｏｅ—Ｃｎｅｉ Ｉ ） ｌ Ｂｒ ｌ ａｔｌ弓理 ｌ
／ ． ａ一０
其中， １ 当 ｐ＜ 时 ， ２ ａ＝Ｅ ｌ当 ０ ＜１ ａ可取任意值（ Ｘ ； ＜Ｐ 时， 因此常取 ａ ０ ． ＝） 证 明 ： 于 １ Ｐ＜ ， 对 ２ 不失 一般性 ， 可设 Ｅ ｌ ０ 因此 我们 只需 证 明 Ｘ＝ ，
１ ｎ
ｌ 一 ∑Ｘ ＝０ ｉ ｍｎ ； ｉ ．
（ 明参 考 ［］ ， 根 据 Ｋｏｅｋｒ 证 ２ ）则 ｒｎｃｅ 引理 可得 ：
妻 ＜， 哗 。 。
ｎ ；
（） ２
Ｅ； Ｓ
＿Ｅ ∑
（） ３
一 ； ｒ ． ＋ ｊ ｝ 结合（） ３ ， Ｂｒ — ａｔｌ引理可得 ： １和（） 由 ｏ ｌ Ｃｎ ｌ ｅ ｅｉ
Ｓ ｌ — ＝０． ｉ ｍ ｜ ｉ ｝
又 因为 ，
妻 ｛ ≠ ： ｛ ＞ ： 』 （） Ｐ 矗｝ ｎ｝ 壹
，
ｎ＝ ｌ
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■
一
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，
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∑ ∑ Ｊ ｄ（） ｛ Ｆ
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Hale Waihona Puke Baidu
（＋） ｉ ） Ｐ （ ＋１
（＋ ） 古 ∞ ，ｉ １ ， ＋） （ ｐ
∞ Ｃ ｌ ＝
ａｓ ．．
另外 ， 因为 ｛ ｝ ｛ Ｔ 都满足定理的条件 ， 以 ＝ 和 Ｘ， ｝ 且 故不 妨设 ０ｎ ， ∈Ｎ．
一Ｘ， 显然我们只需对 ｛ ｝ ｛ Ｔ｝ Ｔ， 和 Ｘ， 证明上述结论 ，
令 Ｓ＝∑ Ｃ＝ ｛＜ ＿五，ｋ Ｐ ｋ 嬲 ｋ １，ｎ ｛ ＋ ｝ｙ＝
一
（） １若∑Ｐ Ａ ） （ ＜∞， Ｐ｛ ｉ０ ｝ Ｏ 则 Ａ ，． ． － ；
（） ｛ 相 互独立 ， ２若 Ａ ｝ ∑Ｐ（ ＝ｏ， Ｐ｛ ｉｏ ｝ ． Ａ ） 口则 Ａ ，． ． －１
引理 ２ （ ｒ ｅ ｅ 引理） 设 ｛ ｝ ｛ 是两实数序列， ＜口 十∞， ／ Ｋｏ ｃ ｒ ｎｋ 和 ｂ｝ ０ ∑ ａ 收敛 ， 那么 定理 设｛ ｝ 瓦 是两两独立且同分布的 ｒｖ序列 ， －． 则对某个有限常数 ａ以及Ｐ ０２ ， ∈（ ，）有 ＥＩ Ｉ ＜Ｏ ｌ ７ ； 五 一口 ＝ ． ０ ｉ ， ∑（ ｍ／ 一 ） ０ ａｓ ．．
Ａｕ ． ０ ０ ｇ２ １
关 于两 两 独 立 的随机 变量 序 列 和 的 强 大数 定 律 的简 洁证 明
陈英 霞
（ 平顶山学院数学与信息科学学院，河南平顶山 ４７０ ） ６０２
［ 摘 要］本文讨论 了两两独立 的 ｒ ． ． 序列和的强大数定律 ，将文［］ ｖ １中的结论进行 了推广 。与经典 的
强大数定律相 比，本文的证明过程更 简洁 ，不需要利 用 Ｋ ｌｏｒ 不 等式 ，而且结论 更实用 ，只要求 ｏ ｇｖ ｍ ｏ
ｒｖ 两 两 独 立 。 ．．
［ 关键词】强大数定律 ； 两两独立且 同分布的随机变量 ［ 中图分类号】Ｏ １ ２１ ０ 弓言 ｌ ［ 文献标识码】Ａ ［ 文章编号 】１０ — ７ｘ ２１）４ ＯＯ — ２ ０８ １８ （０Ｏｏ 一 Ｏ６ ０
＝
荟 Ｊ ｄ（） 善Ｊ￡ Ｐ （） ＜ ， ｌ Ｆ ≤ ｛ｘＦ Ｅ ∞ ｄ
ｌ — ＝０． ｉ 早 ｍ 后 口． ５．
由 Ｂｒｌ ａｔ ｉ ｏｅ—Ｃｎｅ 引理可 得 ： ≠ ，． ． － ， 有 ： ｕ Ｐ｛ ｉ０ ｝ Ｏ故
（） ４
对于 Ｖｎ ∈Ｎ， 在 ｍ∈Ｎ， 存 使得 — ＜ｎ ｌ
，
ｄ（ Ｒ 别
ｄ（ ） ｃ （ Ｅ ）＝ ∑
ｈ＝０ ｉ＝ｋ＋
）
［ 作者简介］陈英 霞 （９３ ） 女 ，河 南南阳人 ，平顶山学院数 学与信息科学学院助教 ，从事概率论与数理统计研 究。 １ 一 ， ８
・
６ ・
ｃ
曼 后 １ ；ｔ 。 ｚ （ （＋） ＋ｆ ｄ － Ｅ）
第 ２ 卷第 ４期 ９
Ｖ０ ． ９ Ｎｏ ４ １２ ．
长 春师 范学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｈｕｃｕ ｏ ｌ ｎ ｅｓｙＮ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｏｒａ ｏ ａ ｈｎＮ ｄａ Ｕ ｉ ｒｔ（ ａ ｒｌ ｃ ｎｅ Ｃ ｇ ｖ ｉ ｕ ｅ
２１ ００年 ８月
ｖ序列 以及 后 ．
， ｝ｎ ， ＝ ｉ ｌ ，∈Ⅳ ． 五ｙ， ； ｓ 注意到｛ ｝ 是两两独立的 ｒ ．
＜∞． 下面对于 Ｖｅ ０取 ｋ ＝ 由切 比雪夫不等式得 ： ＞ ， ２，
ｌ ｃ ： 量： ｃ 瓣～ｃ ｃ 警
＝善 １ｉ ｃ （１ － ：
［ 收稿 日期］２１ — ４ ０ ００ ０ — ８