关于两两独立的随机变量序列和的强大数定律的简洁证明
弗雷德霍姆第二定理
弗雷德霍姆第二定理弗雷德霍姆第二定理是概率论和统计学中一个重要的定理，它描述了独立随机变量序列的一些收敛性质和其他关键特性。
以下是对该定理的详细介绍。
1.独立随机变量序列的收敛性质独立随机变量序列的收敛性质是概率论中一个基本而重要的概念。
具体来说，如果一个独立随机变量序列{Xn}满足以下条件：Xn→X，当n→∞时，X是一个随机变量；对于任意的ε>0，存在一个正整数N，使得当n>N时，P(|Xn-X|<ε)≥1-ε；则称{Xn}弱收敛于X。
这时，当n足够大时，Xn和X有相似的概率分布。
此外，如果对于任意的实数x，limn→∞P(Xn≤x)=P(X≤x)成立，则称{Xn}在分布上收敛于X。
在强大数定律的背景下，这种收敛类型非常重要。
2.独立随机变量序列的协方差收敛性质独立随机变量序列的协方差收敛性质是协方差理论中的一个重要概念。
具体来说，如果一个独立随机变量序列{Xn}满足以下条件：当n→∞时，Xn→X，其中X是一个随机变量；当n足够大时，对于任意的i和j，Cov(Xn,Xn-i)→Cov(X,X-i)，其中Cov(X,Y)表示X和Y的协方差；则称{Xn}的协方差收敛于{X}。
这意味着当n足够大时，Xn和X的协方差有相似的性质。
此外，如果对于任意的实数x和y，limn→∞Cov(Xn≤x,Yn≤y)=Cov(X≤x,Y≤y)成立，则称{Xn}在分布上收敛于{X}。
这种收敛类型在证明大数定律和中心极限定理时非常有用。
3.独立随机变量序列的期望收敛性质独立随机变量序列的期望收敛性质是期望理论中的一个重要概念。
具体来说，如果一个独立随机变量序列{Xn}满足以下条件：当n→∞时，EXn→EX，其中EX表示X的期望；当n足够大时，对于任意的i，EXn-i→EX-i；则称{Xn}的期望收敛于{X}。
这意味着当n足够大时，Xn和X的期望有相似的性质。
此外，如果对于任意的实数x，limn→∞EXn≤x=EX≤x成立，则称{Xn}在分布上收敛于{X}。
关于随机序列的若干强大数定律
１ 预 备 知 识
强大数定律一直是概率论极限理论 中讨论 的热点问题 ， 关于独立情形 已有十分完美的结论． 近年来关 于相依随机序列的极限定理取得了许多有意义的结果． 通过利用鞅差序列几乎处处收敛定理 ， 给出了受控 随机序列的若干强大数定律 ， 值得注意的是并未对随机序列相依性作任何假设 ， 均在概率空 间 （ ， ， ） Ｆ Ｐ 下讨论 ， ， ≥ ｌ 是 Ｆ适随机变量序列 ，Ｆ ， ≥０ 是单增 的 ｏ 代数流． ｛ ／ １ ， ｝ ｛ ／ １ ， ｝ ｒ 一
先 给 出有关 的定 义 和对 文 中定 理 的证 明起 到 关键 作 用 的引理 ．
定义 ｌ 设 ｛ ， ≥ ｌ 为一随机变量序列 ， ／ １ ， ｝ 为一随机变量 ， 如果存在 常数 Ｃ ＞０满足 ： 对任意 ｔ＞０ 都有ｓｐ ｛ ＞ｔ ｕ Ｐ ｝≤ ｃ ＞ｔ ， Ｐ｛ ｝对任意 ｔ ＜０都￣ ｓｐ ｛ ＜ｔ ≤ ｃ ＜ｔ ， － ｐ ｕ ｝ Ｐ｛ ｝ 则称 ｛ ， ｌ 为被随机变量 双边控制的随机序列 ， ≥ ｝ 记作 ｛ ， ｌ ． ≥ ｝＜ 引理 １】 令 ｛ ， ｌ 如上定义 ， ｛ ， ｌ ，０ ， ｌ ≥ ｝ 且 ≥ ｝＜ ｛ ≥０ 为一满足０＝０ ｝ ０＜０ ＜… ＜ａ
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企 肥 学 统 学 （ 然科学版） 良 自
２０ ０ ７年 ２月 第 １ ７卷 第 １ 期
Ｊ ｕｎ ｌ ｆ ｅｅ Ｕ ｉｅ ｉ （ ａ ｒｌ ｃｅ ｃ ｓ ｏ ｒ ａ ｏ ｆ ｎｖ ｒ ｔ Ｎ ｔ ａ Ｓ ｉ ｅ ） Ｈ ｉ ｓｙ ｕ ｎ
∑ａ ２ 一
几乎处处收敛 ， 且 ｎ ：
23个大数定律
23个大数定律大数定律是概率论中的一组重要定理，用于描述在随机试验中大量重复进行时的规律性现象。
以下是23个大数定律的简要介绍。
1. 大数定律：随着试验次数的增加，随机变量的平均值会趋近于其期望值。
2. 弱大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
3. 辛钦大数定律：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值。
4. 伯努利大数定律：在一系列独立的伯努利试验中，事件发生的频率趋近于其概率。
5. 泊松大数定律：对于独立同分布的泊松随机变量序列，其平均值以概率1收敛于其参数。
6. 中心极限定理：大量独立同分布的随机变量的和趋近于正态分布。
7. 林德伯格-列维定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于标准正态分布。
8. 稳定中心极限定理：对于独立同分布的随机变量序列，其和的标准化形式以概率1收敛于稳定分布。
9. 辛钦大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
10. 多重大数定律：对于多个随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
11. 大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
12. 独立非同分布大数定律：对于独立非同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于各自的期望值。
13. 独立同分布大数定律的弱形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
14. 辛钦大数定律的强形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值收敛于期望值的概率为1。
15. 大数定律的加法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其和以概率1收敛于各自的期望值之和。
16. 大数定律的乘法形式：对于独立同分布的随机变量序列，其乘积以概率1收敛于各自的期望值之积。
17. 大数定律的极限形式：对于独立同分布的随机变量序列，其平均值以概率1收敛于期望值的极限。
18. 大数定律的收敛速度：随着试验次数的增加，随机变量的平均值与期望值之间的差异逐渐减小。
大数定律的四种证法
对于一般人来说，大数定律的非严格表述是这样的：X_1,...,X_n是独立同分布随机变量序列，均值为u，S_n=X_1+...+X_n，则S_n/n收敛到u.如果说“弱大数定律”，上述收敛是指依概率收敛(in probability)，如果说“强大数定律”，上述收敛是指几乎必然收敛(almost surely/with probability one)。
大数定律通俗一点来讲，就是样本数量很大的时候，样本均值和真实均值充分接近。
这一结论与中心极限定理一起，成为现代概率论、统计学、理论科学和社会科学的基石之一，重要性在本人看来甚至不弱于微积分。
（有趣的是，虽然大数定律的表述和证明都依赖现代数学知识，但其结论最早出现在微积分出现之前。
而且在生活中，即使没有微积分的知识也可以应用。
例如，没有学过微积分的学生也可以轻松利用excel或计算器计算样本均值等统计量，从而应用于社会科学。
）最早的大数定律的表述可以追朔到公元1500年左右的意大利数学家Cardano。
1713年，著名数学家James (Jacob) Bernouli正式提出并证明了最初的大数定律。
不过当时现代概率论还没有建立起来，测度论、实分析的工具还没有出现，因此当时的大数定律是以“独立事件的概率”作为对象的。
后来，历代数学家如Poisson（“大数定律”的名字来自于他）、Chebyshev、Markov、Khinchin（“强大数定律”的名字来自于他）、Borel、Cantelli等都对大数定律的发展做出了贡献。
直到1930年，现代概率论奠基人、数学大师Kolgomorov才真正证明了最后的强大数定律。
下面均假设X, X_1,...,X_n是独立同分布随机变量序列，均值为u。
独立同分布随机变量和的大数定律常有的表现形式有以下几种。
初等概率论(1). 带方差的弱大数定律：若E(X^2)小于无穷，则S_n/n-u依概率收敛到0。
证明方法：Chebyshev不等式即可得到。
第四节 强大数定理
同时因为
lim An UI An N , I An An
n
k 1 nk
nN
U I U (n
N)
k ,
nk
An
lnimAn
k 1 nk
An
因而lim n
An
lim
n
An
又因为
I U UI
lnimAn
An
An lim An
k 1 nk
k 1 nk
n
同理 极限事件
lim
)
3、科尔莫戈罗夫不等式
若{i }是独立随机变量序列，Di
2 i
,
(i 1, 2,L n),则对任意的 0，均有
P{max m jn
j
(i E(i ))
i 1
} 1 2
n
2 j
j 1
科尔莫戈罗夫不等式是概率论中最重要的不等 式之一，当n=1时，科尔莫戈罗夫不等式就退化为 车贝晓夫不等式，而咯依克－瑞尼不等式又是科 尔莫戈罗夫不等式的推广.
L ),则
1 n
(1
2
L
n ) a.s. a
成立的充要条件为： E(i )存在且等于a
(2) 若随机事件序列{An }相互独立,则 P( An )＝
n1
成立的充要条件为
P
(lim n
An
)
1,
或者 P(lim An ) 0 n
定理5.4.1 n ( ) a.s. ( ) n ( ) P ( )
反例(p298例一) n ( ) a.s. ( ) NO n ( ) P ( )
二、博雷尔强大数定律
定理5.4.2(博雷尔) 设n是事件A在n次独立试验
两两PQD随机变量序列的一个强大数律_沈建伟
２ ｘ） ｇ（ ｜ｘ｜ ２ ≤ （ （ ） ａ ｇ ｎ） ａ ｎ
有 ＞０， β≥０， ｝是 均 值 为 零 的 两 两 推论 ３ 设 ｛ Ｘｎ ， ｎ≥１
）
／
２
（ ） ２ 则 ／ ． ｓ Ｓ ａ ． ａ ｎ ｎ →０ ｐ， （ ） （ ］ ， ， 可得 在定理 ２ 中 令 ｇ ｘ ≡｜ ｘ ２ ｜ ｐ∈ ０，
（ ） ３
／ Ｓ ａ ａ ． ｓ ． ｎ ｎ → ０ 在条件（ 中取 中取ｐ １； ２） １） 注 １ 在 条 件 （ ｎ≡ ］ 则文献 ［ 中的定理 ２ 就成为它的特例 ． ２， ６ ｐ ｎ≡
ａ
ａ
／ ［ 则对于 Ｓ ｎ（ ｎ） ］ →０， ｌ ｏ ａ ． ｓ ． ． δ＞０， ｇ ｎ ２ α β， 取ａ 在定理１ 中 ， 令ｇ（ ｘ） ｎ （ ｎ） ＝ｘ ， ｌ ｏ α ｇ ｎ＝
／ ３＋ δ １ ｐ
序列 ． ， 满足条件 （ 假设 ｇ（ 则 在 区 间｜ ｘ） ｘ １） ｜≤ａ ｎ 中， 可得
２ Ｅｍ ａ ｘＳｋ ≤ １ ｋ ｎ ≤ ≤ ［ ６］
当前 关 于 两 两 Ｐ Ｑ Ｄ 序列已有不少研究结果 果．
］ ［ ６ ２ －
本 ．
文讨论两 两 Ｐ 推广前人的结 Ｑ Ｄ 序 列 的 强 大 数 律，
１ 预备知识
［ １］ 定义 １ Ｑ Ｄ（ ｏ ｓ ｉ 称随机变量 Ｘ 和Ｙ 是 Ｐ － ｐ
ｐ ｎ ｐ ｎ 单调不增 ， ／ ／ 假 和 ｇ（ 且 ＥＸｎ ＝０， ｘ ｘ） ｘ） ｘ ｎ≥１． ｇ（ 定
∞
２
大数定律和强大数定律的推广
大数定律和强大数定律的推广1 引言大数定律和强大数定律是概率论中两个重要的概念，围绕这两个概念有许多重要的定理，并且许多重要的定理证明和实际问题中都要应用这两个概念及其相关定理，鉴于这些定理在理论推导和实际应用方面的举足轻重的作用，很有必要推广这两个概念及其定理．2 大数定律2．1 大数定律的叙述定义2．1．1 设｛X n ｝为随机变量序列，它们都有有限的数学期望E(X n )．如果n1∑=-nk k kX E X1)]([−→−p0，则称｛X n ｝满足大数定律．定理2．1．1 （马尔可夫大数定律）设｛X n ｝是方差有限的随机变量列，如果有0)(112→∑=nk n X D n 则｛X n ｝满足大数定律．推论2．1．2（切贝谢夫大数定律） 若序列｛X n ｝两两不相关且方差有界：D(X n )≤C(n ≥1)，则｛X n ｝满足大数定律．推论2．1．3（伯努利大数定律） 设n μ为n 重伯努利试验中成功次数，则当n →∞时有nnμ−→−p p ．定理2．1．4（辛钦大数定律） 对于独立同分布随机变量列｛X n ｝，大数定律成立的充分必要条件是E(n ξ)=a 有限．证明 必要性是大数定律的定义所要求的．只需证明充分性．假定｛X n ｝之共同的特征函数为f(t)，则由引理2．8（《概率论》杨振明 科学出版社 P213）知t 0→时有f(t)＝1+iat+o(t)从而∑=nk k X n 11的特征函数为n n n to n t ia n t f )](1[)]([++=运用如下分析事实：对复数列｛c n ｝而言c n c →蕴含(1+nc n )nc e →， 便可得证iat n n n n e nto n iat n n t f =∙++=)])([11(lim )]([lim ． 根据连续性定理1．10（《概率论》杨振明 科学出版社 P204）及定理1．6（《概率论》杨振明 科学出版社 P141）便得∑=nk k X n 11依概率收敛到a ．事实上该定理证明用到了概率论中弱收敛和特征函数收敛之间的等价关系，而几种收敛性之间的互推关系是一个重要的内容，这将在本文的最后一节加以阐述．2． 2 大数定律的推广2．2．1 大数定律定义的推广首先介绍几个引理．定义 称r ．v ．'s 序列｛X n ｝和｛Y n ｝是尾列等价的，若 P(X n ≠Y n ，i ．o ．)＝0称r ．v ．'s 序列｛X n ｝和｛Y n ｝是收敛等价的，若它们的收敛点集只相差一个零测集．引理1 （等价性引理）设r ．v ．’s 序列｛X n ｝和｛Y n ｝满足∞<≠∑∞=1)(n n n Y X P ，则下列叙述成立．(1) ｛X n ｝和｛Y n ｝是尾列等价的； (2) ｛X n ｝和｛Y n ｝是收敛等价的；(3) 若b n ∞↑，则｛b1-n∑=nk kX1｝和｛b1-n∑=nk kY1｝是收敛等价的，且在公共收敛点上，它们的极限相同．证 P(X n n Y ≠，i ．o ．)＝∞→n lim P( n k k k Y X ≥≠)()∑≥≠≤nk k k Y X P )(lim =0，故(1)成立，而(2)和(3)的成立是显然的．定义2．2．1 设{ X n }为一列r ．v ．序列，如果存在常数列｛A n ｝和正常数序列｛B n ｝,其中B n ∞→，使nb B S －A n −→−p则称{ X n }服从弱大数定律（简称大数定律）．定义2．2．1是定义2．1．1的推广，但事实上我们所主要讨论的仍然是独立r ．v ．列以及B n =n 这种形式．2．2．2 ｛X n ｝为任意r ．v ．列．定理2．2．1 （格涅坚科定理） 对随机变量序列｛i X ｝，若记Sn=n1(X 1+X2+．．．+Xn)，a n =)(121n EX EX EX n+++ ，则｛X n ｝服从大数定律的充要条件是})(1)({lim 22n n n n n a S a S E -+-∞→＝0 证 （充分性）令n η＝S n －a n =)(1n n ES S n-＝∑=-n k k k EX X n 1)(1，设其分布函数为F n (x)，则P(()ε≥-∑=nk k k EX X n 11)=P(εη≥n )=⎰≥εx n x dF )(⎰≥++≤εεεx n x dF x x )(112222=⎰≥++εεεx n x dF x x )(112222⎰∞+∞-++≤)(112222x dF x x n εε=⎪⎭⎫ ⎝⎛++222211n n E ηηεε0→ 故｛X n ｝服从弱大数定律．（必要性） ｛X n ｝服从大数定律，所以0>∀ε))(1(lim 1ε≥-∑=∞→nk k k n EX X n P =))(1(lim ε≥-∞→n n n ES S n P=0)(lim =≥∞→εηn n P (*)P(εη≥n )=⎰≥εx n x dF )(=222222222)1()(1)(1)(1εηηεε-+≥+-+=+⎰⎰⎰<∞+∞-≥nn x n n x n E x dF x x x dF x x x dF x x 令n ∞→ 由(*)及ε的任意性可得 })(1)({lim 22n n n n n a S a S E -+-∞→＝0定理2．2．2 （伯恩斯坦定理）已知随机变量序列｛X n ｝的方差有界：DX n C ≤，并且当∞→-j i 时，相关系数r ij 0→，则｛n X ｝满足大数定律．证 因当∞→-j i 时，r ij 0)()()cov(→-=j i j i X D X D X X ，且D(X n )C ≤故0)()(),c o v (),c o v (→≤j i j i j i X D X D X X CX X 当∞→-j i 时所以对于任意0>ε，),cov(j i X X εC ≤．εn n n C X X X D n X D n nnj i j i nk k n k k 1)),cov(2)((1)(1,11212-+≤+=∑∑∑≤≤== 又由ε的任意性可知01)(112→-+≤∑=εn n n C X D n nk k n ∞→时 由定理2．1．1可知｛X n ｝符合大数定律．2．2．3 {X n }为独立r ．v ．列定理2．2．3 设{ X n }为一列独立的r ．v ．序列，则nS n −→−p0的充分必要条件是(i) ∑=≥nk k n X P 1)(→0；(ii) 21n∑=<nk n X kk I XD 1)(][→0；(iii)n1∑=<nk X kn I XE k 1][→0；证 令Y k =X k I )(n X k <充分性 由Chebushev 不等式，独立性条件(ii)，对ε∀>0，我们有P(n1∑=-nk k kEY Y1)(ε≥)≤2-εn2-∑=nk kYVar 1)(→0因而有n1∑=-nk k kEY Y1)(−→−p由条件(iii)有n1∑=nk kY1)(−→−p0 (2．1)由条件(i)，｛X n ｝和｛Y n ｝尾列等价，由引理1得∑=-n k k n Y n n S 11−→−p再由(2．1)式即得0−→−p nnS ．必要性 设0−→−pn nS ，以k μ表示r ．v ．X k 的中位数，f k 表示X k 的c ．f ．，g n (t)为n S n 的c ．f ，，则由完全收敛性准则g n (t)=∏=→nk k n tf 11)(．设c>1，由命题5．12（）知在每个有限区间［－c ，c ］上g n (t)一致收敛，因此当n 充分大时log )(t g n →0，故由弱对称化不等式及c ．f ．性质6的第二个不等式有21∑∑==≥≤≥-nk nk k k k c n X P c n X P 112)1()1(μ ⎰-≤c n du u g c02)(log 7→0 (n ∞→) (2．2) 又因为nX n ＝111-⋅---n S n n n S n n 0−→−p 所以0→nnμ，注意到c<1，由(2．2)式即得(i)．由c ．f ．的性质8的第一个不等式及g n (t)→1，当n 充分大时2∑=nk k n Y Var 1)(=∑=n k s k n Y Var 1)(≤∑=-n k k e n f R 12)])1((1[3≤－3∑=nk k n f 12)1(log=－3log 2)1(ng n →0 (2．3)因此(iii)成立．由于0−→−p n nS ，由(i)和引理1有∑=−→−n k pk Y n 101，有chebushev不等式和(2．3)式，P(ε≥-∑=nk k k EY Y n 1)(1)∑=→≤nk knY Var 120)(1ε 故0)(11−→−-∑=pn k kk EY Y n 从而∑=n k k EY n 11＝0)(11→-∑=nk k k EY Y n即(i)成立．2．2．4 ｛X n ｝为独立同分布r ．v ．序列．推论2．2．2 若｛X n ｝为独立同分布r ．v ．序列（简记为i ．i ．d ．序列），则0−→−p n nS 的充分必要条件是 (i)＇ nP(n X >1)0→ (ii)＇ EX 1I )(1n X <0→证 我们只要证明(i)能推出定理中的条件(ii)即可．由于｛X n ｝为i ．i ．d ，条件(ii)等价于)(1)(11n X I X D n<→0 (2．4) 事实上，我们由(i)＇可推出01)(211→<n X I EX n(2．5) 这是由于EX )(211n X I <=∑=≤≤-nj j X j I EX 1)1(211∑=<≤-≤nj j X j P j 112)1(∑∑==<≤-≤n j ji j X j iP 111)1(2=2∑∑==<≤-ni nj j X j P i 111)1(=2∑=<≤-ni n X i iP 11)1(∑∑==≥+≤-≥≤ni n i i X ip i X ip 1111)(22)1(2 (2．6)注意到如果a n →0，则∑=nk k a n 110→这一事实，由条件(i)＇和(2．6)式即知(2．5)式成立，从而(ii)成立．如果EX 1存在有限，则EX 1I)(1n X >0→，由Chebyshev 不等式知nP(n X ≥1)≤E[X 1I )(1n X ≥]0→，因此我们可以得到．推论2．2．3 如果｛X n ｝为i ．i ．d ．r ．v ．序列，则1EX nS pn −→−的充分必要条件是EX 1有限．事实上推论2．2．3就是我们所熟悉的辛钦大数定律．上面我们对于推广后大数定律的结论的讨论是遵循一定顺序的，主要是按照随机序列所满足条件的严格性的变化来讨论的，很明显，首先是在任意随机序列的基础上添加一定条件得到格捏坚科定理和伯恩斯坦定理，然后要求随机序列依次满足独立条件和独立同分布条件，得到大数定律的充分条件和充分必要条件．2．3 大数定律的进一步推广定义2．3．1 称r ．v ．序列｛X n ；n 1≥｝是弱稳定的，如果存在常数序列｛a n ｝和｛b n ｝，0<a n ∞↑，使得n n nb Y a -10−→−p(2．3．1) 定义2．3．2 称r ．v ．序列｛X n ；n 1≥｝服从大数定律，如果{S n }是弱稳定的，这里S n =∑=nk k X 1．若记X nk =nka X ，引入组列｛X nk ；k=1，2，．．．，n ，n ＝1，2，．．．｝，可用组列的概念定义大数定律，并且推广一些定理．定义2．3．3 称r ．v ．组列｛X nk ；k=1，2，．．．，k n ，n ＝1，2，．．．｝服从大数定律，如果存在常数列｛b n ｝，使得0−→−-∑pn knkb X换言之，｛X nk ｝服从大数定律，当且仅当存在常数列｛b n ｝，使得nknk b X -∑的分布弱收敛于退化分布D(x)=⎩⎨⎧><0,10,0x x 若 若引入组列的概念后，就可以给出定理2．2．1的更一般的形式．即下述定理．定理2．3．1 独立r ．v ．组列｛X nk ｝满足无穷小条件且0−→−∑p knkX的充要条件是对任给的0>ε和某个0>τ∑→≥knkXP 0}{ε． ∑<knk nkX I XE )}({τ0→． ∑<knk nkX I XD )}({τ0→．我们可把“对任给0>ε和某个0>τ”换作“任给的0>ε和任给0>τ”． 证：3 强大数定律3．1 强大数定律的叙述定义3．1．1 设｛X n ｝为随机变量列，它们都有有限的数学期望E(X n )．如果−→−-∑=..1)]([1s a n k k k X E X n 0则称｛X n ｝满足强大数定律．在独立情形下讨论强大数定律．定理3．1．1 柯尔莫戈洛夫强大数定律 设｛X n ｝是独立随机变量序列，满足∑∞=+∞<12)(k k k D ξ 则强大数定律成立．证明可查看由杨振明编著的《概率论》的P221，本定理的证明用到了概率论中非常重要的截尾法。
keermenggeluofu大数定律
柯尔莫哥洛夫强大数律（Kolmogorov strong law of large numbers）是柯尔莫哥洛夫强大数律（Kolmogorov strong law of large numbers）是概率论中的一个重要定理，它描述了独立同分布随机变量序列的平均值随样本数量增大而趋于其数学期望的现象。
如果{X n}是一个独立同分布的随机变量序列，且EX n存在，那么以概率1成立，n个独立同分布随机变量X 1，X 2，...，X n的平均值随n增大几乎趋于μ。
这个定理在统计学、科学实验和数据分析等领域有着广泛的应用。
大数定律（LLN）和中心极限定理（CLT）是概率论中的核心定理，它们都是描述随机现象的规律性。
大数定律主要描述的是随机变量的平均值的稳定性，而中心极限定理则描述了随机变量之和的分布趋近于正态分布的性质。
为了证明中心极限定理，通常首先需要证明大数定律。
几个著名大数定律的证明及应用
几个著名大数定律的证明及应用
路庆华
【期刊名称】《石家庄职业技术学院学报》
【年(卷),期】2007(19)4
【摘要】大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质--平均结果的稳定性,它是随机现象统计规律性的具体表现,介绍了几种常用大数定律及其证明方法,并分析了它们在理论和实际中的应用.
【总页数】5页(P4-8)
【作者】路庆华
【作者单位】石家庄信息工程职业学院,基础部,河北,石家庄,050035
【正文语种】中文
【中图分类】O212.2
【相关文献】
1.大数定律的几个应用 [J], 王小胜
2.关于两两独立的随机变量序列和的强大数定律的简洁证明 [J], 陈英霞
3.大数定律的几个应用 [J], 宁小青;刘吉定
4.平面几何中几个著名定理及其证明 [J], 史浩春
5.几个著名定理的面积法证明 [J], 秦振
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独立同分布的随机变量强大数定律的证明整理
n
k
满足
，有： Ns.t.P A( N ,U ) (1.3.1)
我们接下来说明对足够大的 k, U k 几乎处处和 X k 相等 数学表述即 Ns.t.P
k N ,U k X k
P k N ,U k X k P k N ,Vk 0 P Vk 0
v 1
2 v
k2 4 2 k2 22v 8 2 k2
k 1 k 1 2v k k 1
2v
1 k2
故
k
k 1
k2
2
收敛可以导出
P( A ) 收敛
v 1 v
P( A ) 收敛，可以得出
v 1 v
Vs.t. P Av let _ N 2V 1 , P n N , s.t. | S n mn | n P Av
kN
故只需要证明
P V
k 1
k
0 收敛即可
1 1 v av 1 1 av 1 | xi | f ( xi ) v v 1 v k 1 v 1 i
P Vk 0 f ( xi ) av1
k 1 k 1 | xi | k
U k 依赖于 X k 1, X k 2,.... 而 Yk (Sk mk ) 依赖于 X1 , X 2 ... X k , 所以它们相互独立
E(Yk (Sk mk )U k ) E(Yk (Sk mk )) E(U k ) 0(becauseE(U k ) 0)
E (Yk ( Sn mn ) 2 ) E (Yk ( Sk mk ) 2 )(1.1.2)
概率与数理统计 5.2 随机变量的收敛性与强大的数定律.ppt
一、概率收敛与分布收敛
Def.
1.
设随机变量序列{X
}
n n1
与随机变量X
0, lim n
P{|
Xn
X
|
}
0
则称随机变量序列
{
X
n
} n 1
依概率收敛于X，记作
P
Xn X
例 1. 设 X ,{Xn} 均为退化分布的随机变量，且
P( X 0) 1, P{X n 1/ n} 1, n 1, 2,L
P{|Xn-c|}= P{Xn c+ }+P{Xnc - }
=1-Fn(c+ -0)+ Fn(c-)
1-1+0=0
定理4. (连续性定理)分布函数列{Fn(x)}弱收敛于 分布函数{F(x)}的充分必要条件为:
{Fn(x)}的特征函数列 n (t) 收敛于F(x)的特征函数 (t).
N 1 nN
:|
Xn ()
X
()
|
1}} k
0
P{ I U { :| Xn () X () | }} 0, 0 N 1 nN
N
P{ U { :| Xn () X () | }} 0, 0
nN
概率的上连续性
N
P{Xn+Yn x} P{Xn x-c+}+P{|Yn-c|>} (1)
P{Xn+Yn x} P{Xn+Yn x,|Yn-c| } P{Xn x-c-,|Yn-c| }
P{Xn x-c-}- P{Xn x-c-,|Yn-c| >}
双下标随机变量顺序统计量和的强大数定律的一个注记
Ｅ（ Ｘ） ≠ ｛Ｅ ｍａ （ Ｘ蛇 ＸＦ（ ） ｘ ｘ ）
即可 ． 因为 ｘ＾， 又 Ｘ … ， Ｘ 相 互 独 立 且 同 分 布 ， 的分 布 函 数 为 Ｆ（ ， Ｘ ｚ）
（） ４
所以
ｍ ｘｘ １Ｘ ２ ～ Ｆ （）故 Ｅ ｘｘ Ｘ 一 Ｉ ｘ Ｆ （）又 ａ （ ， ） ｚ ， ｍａ （ １ ） ｄ ｚ ，
ｉ Ｘ
一 ｝ 吉
（ ５ ）
证证 ： 先
Ｅ 一ｃｃ 吉 —ｃ，，ＥＦ ｘ 一 砉 Ｅａ ． 一 ｄｚ 吉 一ｉ 。 号 ｚ。 一 骞 ｃ ｃ ］ ｍｃ ｘ Ｆ， ｃ ｉ 一 － １
∑ ｎ户２∑ ） 。 ＝∑ａ ・一 ∑ｎ （ ｛［ 一户 ） ］ ｉ（ ） ｐ ∑Ｐ 户
所以 Ｉ ｘ Ｆ （） ２ ｘ （ ）Ｆ ｘ ． ｄ 。 ≠ Ｉ Ｆ ｘ ｄ （） ｚ
下 面 我 们对 离 散 型 随 机 变 量 给 出与 结 论 １类 似 的 定理 ． 定 理 设 随 机 变 量 Ｘ ， ， Ｘ … ， Ｘ 相 互 独 立 且 同分 布 ， 的 分 布 律 为 Ｐ（ — ａ）一 Ｐ， １ ２ … ， Ｘ Ｘ ｉ 一 ， ， ，其 中 ａ ｚ ． ＜ ａ 。＜ … ＜ ａ． 的 分 布 函数 为 Ｆ（ ， 在 Ｐ＞ ２ 使 的 （ ）式成 立 ， Ｘ ） 存 ， １ 则
Ｖｏ ． １ Ｎｏ ４ １２ ． ．
Ｄｅ ｅ ｂ ｒ２ ０ ｃ ｍ ｅ ０ ４
NA随机变量序列的Chung-Teicher型强大数定律
定理 １的证 明 令 Ｘ ＝一ｂ ［ ＜一ｂ］＋ ｉ ， ， Ｉ Ｉ ｂ］＋ｂ ［ ＞ｂ］则 ［ ≤ ｉＸ Ｉ ，
综合 条件 （Ｉ） （１）两种情 况 ， 、 Ｔ 有 Ｉ Ｘ ≤ ２ （ 置 Ｉ （ ｉ 。 ｌ ｂＥ ｉＩ Ｅ ） ｂ） （） ５
＝１
（） ３
Ａ Ｅ （
ｉ －Ｉ
南 ） ．
＜∞；
＜ ∞ ；
先证 ６ Ｅ ÷ ｎ ∞。 ∑ 置 ＿０ 一
（） ４
在 条件 （Ｉ） 成立 的情 况下 ， 即 （ 单 调下 ）
Ｉ Ｉ６ （ ／ ≤ Ｉ Ｉ ／ ｉ６） 贝 ） （ ， ４ ｂ （ 置 ｌ ｂ） ｉ １ Ｐ ＞
Ｅ （ 置 Ｉ ／ ｂ） Ｉ ） （ ｉ ≤ ２ （ ｂＥ Ｉ １ ／ （ 。 ） ｂ）
对某 个正 的数列 ｛ ， ≥ １ 使得 ｝
㈣耋（ Ｅ
或者 ｛ ， １ 满足条件（Ｉ 且 ｎ≥ ｝ Ｉ）
）∞ ＜，
在条 件 （ Ⅱ）成立 的情况 下 ， 即 （ ）ｘ ｘ ／ 单调 上
≤ ４
ｉ －Ｉ
（
） ‘ ） ∞ ＋ 。 ＜
ｎ＿ 。 ÷ 。。
要证 明式 （ ） 只需 证 ６ ，
ＯＬ ｉ
Ｅ （
＜ ∞ 。
则 有
＿ ０ ａｓ ．．
由 ２ ， 。 ∑Ｐ Ｉ ≥ｂ ； 条件 式（）令， ＝ ［ ＸＩ ｉ 由 ］
（ ）令， ＝∑ Ｐ ＸＩ ｉ， Ｂ， ２ Ｖ ≥ａ］利用１＜ ｌ Ｐ≤２则 ，
作 者简 介 ：王蒋 凤 （９７ ） １８一 ，女 ，硕 士研 究生 ，研究 方 向 ：概率 统计 ，ｙａｚａｇ８ ＠ １３ ｃｍ。 ｕｎｈｎ９７ ６．ｏ 通讯 作者 ：吴群 英 ，教授 ，ｗ ｙ６ ＠ｇ ｔ ｅｕｃ 。 ｑ６ ６ ｌｅ ｄ．ｎ ｉ． 引文格式 ：王蒋 凤 ， 群英 ． Ａ随机 变 量序列 的 Ｃ ｕｇ ｅ ｈｒ 吴 Ｎ ｈｎ —Ｔｉ ｅ 型强大 数定 律 ［］ 桂林 理工 大学 学报 ， １ ，１３ ： ７— ７ ． ｃ Ｊ． ２ １３ （ ）４ ０ ６ ４０
概率论大数定律与强大数定理
lim
n
P
1 n
n k 1
X
2 k
2
1.
内容小结
马尔可夫大数定律 车贝晓夫大数定律 贝努里大数定律 泊松大数定律 辛钦大数定律
贝努里(Jacob Bernoulli)
1654-1705
瑞士人, 贝努里家族的三大 杰出的数学家之一.
首先发展无穷小分析, 1960 年提出悬连线问题,首创积分 “integral”这一术语.
【定律】（泊松大数定律）
如果在一个独立试验序列中,事件 A 在第k次试验 中发生的概率是pk ,以n 记在前n次试验中事件A出现 的次数, 则对于任意正数 0, 有
lim
n
P
n n
1n
n
pk
k 1
0
或
lim
n
P
n n
1n
n
k 1
pk
1 n
i
n 1
X
i
1 n
i
n 1
EX
i
ε
0
【定律】车贝晓夫大数定律
设X1, X 2 , , X n , 是两两不相关的随机变量序列, 每一随机变量都有有限的方差,并有公共的上界
DX1 C, DX2 C,, DXn C,
则对任意的 ε 0,恒有
E
X
i
.
注3 车贝晓夫大数定律的另一种叙述
设X1, X 2 , , X n , 是两两不相关的随机变量序列, 每一随机变量都有有限的方差,并有公共的上界
三个大数定律的条件和结论
三个大数定律的条件和结论【正文】1. 引言在概率论和统计学中，大数定律是一组关于随机变量的定理，描述了随着样本数量的增加，样本平均值趋近于总体平均值的现象。
在这篇文章中，我们将讨论三个重要的大数定律：弱大数定律、强大数定律和中心极限定理。
我们将深入探讨每个定律的条件和结论，以帮助您更全面地理解这些定律在实际中的应用。
2. 弱大数定律弱大数定律（也称为大数法则）是大数定律中最基本的一条。
它规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值趋近于它们的期望值。
如果我们有一组独立同分布的随机变量X1，X2，X3，...，Xn，并且它们的期望值为E(X)，那么随着n的增加，这些随机变量的算术平均值（即样本平均值）X̄将以概率1趋近于E(X)。
3. 弱大数定律的条件和结论要应用弱大数定律，我们需要满足以下两个条件：3.1 独立性：随机变量Xi之间必须是相互独立的，即一个变量的取值对其他变量的取值没有影响。
3.2 同分布性：随机变量Xi必须是相同分布的，即它们具有相同的概率密度函数或累积分布函数。
在满足以上两个条件的情况下，弱大数定律可以得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄趋近于期望值E(X)。
4. 强大数定律除了弱大数定律，我们还有一个更强的定律，即强大数定律。
强大数定律规定了当独立同分布随机变量的数量趋于无穷大时，它们的算术平均值几乎以概率1收敛于它们的期望值。
这意味着样本平均值几乎总是接近于总体平均值。
5. 强大数定律的条件和结论强大数定律相对于弱大数定律，对条件有更严格的要求。
5.1 独立同分布：和弱大数定律一样，随机变量Xi之间必须是相互独立的，并且具有相同的分布。
5.2 方差条件：随机变量的方差必须有限。
这意味着方差不能趋近于无穷大。
在满足以上两个条件的情况下，强大数定律得出结论：当n趋于无穷大时，样本平均值X̄几乎以概率1趋近于期望值E(X)。
6. 中心极限定理中心极限定理是大数定律中最重要的定理之一。
西尔韦特不等式-概述说明以及解释
西尔韦特不等式-概述说明以及解释1.引言1.1 概述西尔韦特（Chebyshev）不等式是概率论中一种重要的不等式，被广泛应用于统计学和概率论的各个领域。
它建立了两个随机变量之间的关系，并且在实际问题中具有很强的指导意义。
西尔韦特不等式最早由俄国数学家彼得·勃劳界斯（Pafnuty L'vovich Chebyshev）于19世纪提出，他的研究成果在概率论和数学统计学的发展中起到了重要的推动作用。
该不等式在数学领域中也被称为马尔可夫不等式。
本文将对西尔韦特不等式的定义、原理以及证明方法进行介绍，并且将探讨它在实际问题中的应用。
通过阅读本文，读者将能够深入理解西尔韦特不等式，并且学会如何应用这一强大的工具解决实际问题。
在第2部分，我们将详细介绍西尔韦特不等式的定义和原理。
我们将探讨这种不等式背后的思想和概念，并且解释它在概率和统计学中的重要性。
在第3部分，我们将介绍证明西尔韦特不等式的三种方法。
这些证明方法将帮助读者更好地理解不等式的本质，并且能够运用这些方法来证明其他的不等式。
在第4部分，我们将探讨西尔韦特不等式在实际问题中的应用。
我们将给出几个具体案例，展示西尔韦特不等式在概率和统计学中的广泛应用。
最后，在第5部分，我们将给出本文的总结和结论。
我们将总结西尔韦特不等式的重要性，并展望它在未来的进一步发展和应用。
通过阅读本文，读者将会对西尔韦特不等式有一个清晰的理解，了解它在概率和统计学中的应用，并且能够有效地运用它来解决实际问题。
同时，本文也为读者进一步深入研究相关领域提供了基础知识和参考资料。
1.2文章结构文章结构部分的内容可以写成以下形式：1.2 文章结构本文按照以下结构进行组织和讲解：第2部分将介绍西尔韦特不等式的定义和原理。
在2.1节中，将详细介绍西尔韦特不等式的定义，明确其数学表达形式和含义。
2.2节将深入探讨西尔韦特不等式的原理，解释其背后的数学原理和推导过程。
最后，在2.3节将展示西尔韦特不等式在实际问题中的应用。
第八章独立随机变量和的极限定理
第八章 独立随机变量和的极限定理8.1 0-1律设(为概率空间，事件序列)P ,,F ΩF ∈L ,,21A A ，表示事件有无穷多个发生(happens infinitely often)，记为IU ∞=∞=1n n k k A n A {}..o i A n ni A ，即；表示至多有限个不发生(happens for all but finitely many )，注意；若用示性函数表示{}， {}n o i A ..= =∑∞:.n w n n nk k A A 1∞=∞==IU n =1)(.A w I o n n _____lim ∞→∞=UI ∞=∞=1n n k An nk A ∞=∞=1UI kn A n n k A ∞→=____lim ∞<)(A w I n ∑∞=1:n kw ＝∞=∞=1n nk A UI 。
定理1：(Borel-Cantelli Lemma)若，则∞<∑∞=1)(n n A P ()0..=o i A P n ；若独立且，则。
{n A }}}∞=∑∞=1)(n nA P ()1..=o i A P n推论1：(Borel 0-1 law)设{为独立事件序列，则n A ()∞=∞<=∑∑∞=∞=.)(,1,)(,0..11n n n n n A P A P o i A P 当当 推论2：设{n ξ为独立随机变量序列，则()∞<≥>∀⇔ → ∑∞=1..,00n n s a n c P c ξξ。
证明：令{c A n n ≥=ξ}}，由推论1立得。
定义1：设{}{n n ηξ,为两个随机变量序列，若()0..=≠o i P n n ηξ，则称{}{}n n ηξ,尾等价。
注意尾等价的含义：(0..)=≠o i n n P ηξ表明使得{}{})(,)(w w n n ηξ中有无穷多项不等的w 是一个零测集，设为M ，这意味着在M w ∈上，{}{})(w n ,)(w n ηξ只是有限个不等，故对每一M )(w N w ∈，存在，当时)(w N >n )()(w w n n ηξ=。
同分布的两两NQD序列部分和之和的强大数定律
口）其中 一０ 一０ 一Ｘ ） —ｍｎｘ ） —ｍ ｘｘ ， 一∑ ｙ， ， Ｘ， Ｖ Ｖ（ ， Ａｙ ｉ ， ， ｙ ａ（，）并记 ｚ （ Ｖ
ｉ １ 一
由引理 １ 知 也是 两两 Ｎ ＱＤ的 ， 选 ａ １令 ｍ 一 １ 一 ｒｉ ＞ ｍ” 任 ＞ ， ， 计 ａ ｎ｛ ｌ 』 ，
关键词
两两 ＮＱ Ｄ序列 ； 强大数 定律 ； 部分和之和
Ｏ １ ． ２ １４ 文献标志码 Ａ
中图分类号
０ 引 言
设｛ ｘ， ∈Ｎ 为概率空问（ Ｆ Ｐ 上的随机变量序列． ） ， ， ） 对任意的 ” １ 记 Ｓ 一 ∑ Ｘ ， — ≥ ， ｉ
Ｉ １ 一
∑ ｓ，２一∑ ｉ 称Ｓ，ｎ ｘ， Ｔ Ｘ． 分别 为｛ Ｔ ∈Ｎ 的 ｝ 部分和、 和之 ． 部分 和 那么对 个自 显然 每 然数 ， 有
（ ＝ ０ ｛ ｌ） ｒ 去 ｋ １１１Ｉ以一 ∑ ｘ ｘ＜ ｆ ＜ 去［１ … ａ＋ ２ ｘＩｘ ） ｉ 一
Ｊ ＜ａ） 口 ｘ ＜口） ∑ ／ ｘＩ （ｘＩ ｋ ＋Ｊ ］ Ｅ （ Ｉ ｏ （ ≤１ １ ） ≤
ｉ ＝ ｎ ＋１
１ｋ ＋ ｏ ［ ￣
文 章 编 号 ：０ ０ ３ ５２ １ ）３— ３ １ ０ １０ —２ ７ （０ １ ０ ０ ５ — ４
同分 布 的 两 两 ＮＱ 序 列 部 分 和 之 和 的 强 大 数 定 律 Ｄ
何 维 ， 伟 ， 峰 王 杨
（ 湖北大学数学 与计算 机科 学学 院 ， 湖北 武汉 ４ ０ ６ ） ３０ ２
摘 主 研 同 布 两Ｎ Ｄ 机 量 列｛ Ｎ 部 和 和 一∑ｓ其中ｓ一∑ｘ） 要 要 究 分 两 Ｑ 随 变 序 ， ｝ 分 之 Ｅ （
ｉ １ 一 ｚ １ 一
PA列的一个强大数定律
PA列的一个强大数定律
林影;施建华
【期刊名称】《理论数学》
【年(卷),期】2016(006)002
【摘要】研究PA随机变量序列的收敛性质,推广了与独立情形相类似的一些强大数定律,得到了新的结果。
【总页数】6页(P121-126)
【作者】林影;施建华
【作者单位】[1]宁德师范学院数学系,福建宁德;;[2]闽南师范大学数学与统计学院,福建漳州
【正文语种】中文
【中图分类】O1
【相关文献】
1.同分布PA序列的强大数定律 [J], 赵守江;刘巧静
2.两两NQD列的一个强大数定律 [J], 马海俊;高萍;王元芳
3.关于可列m重非齐次马氏链的一个强大数定律 [J], 杨卫国;姜蕾
4.PA序列的Hájek-Rényi型不等式及强大数定律 [J], 冯德成;王晓艳;高玉峰
5.两两NQD列的一个强大数定律 [J], 刘莉
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Ｖ０ ． ９ Ｎｏ ４ １２ ．
长 春师 范学 院学报 （ 自然科 学版 ）
Ｊｕｎｌ ｆ ｈｕｃｕ ｏ ｌ ｎ ｅｓｙＮ ｔ ａ Ｓｉ ｃ） ｏｒａ ｏ ａ ｈｎＮ ｄａ Ｕ ｉ ｒｔ（ ａ ｒｌ ｃ ｎｅ Ｃ ｇ ｖ ｉ ｕ ｅ
２１ ００年 ８月
Ａｕ ． ０ ０ ｇ２ １
关 于两 两 独 立 的随机 变量 序 列 和 的 强 大数 定 律 的简 洁证 明
陈英 霞
（ 平顶山学院数学与信息科学学院，河南平顶山 ４７０ ） ６０２
［ 摘 要］本文讨论 了两两独立 的 ｒ ． ． 序列和的强大数定律 ，将文［］ ｖ １中的结论进行 了推广 。与经典 的
， 因此 ，
（） ５
ｎ 上 、 、 －， 妻 ．ｃ ，ｃ‘１ 凡 ，＇ｒ 上 Ｐ ＝ ＿ １ 一 Ｐ Ｐ ， ’ ’
妻妻詈 ｓ＝
结 合 （） （） （） ４ 、５ 和 ６ 可得
．
口 ．Ｓ ．
关于 的收敛性的研究是概率论中 设｛ ｝ 是一个定义在概率空间（ Ｆ Ｐ 上的 ｒ ． ｎ， ， ） ． 序列 ， Ｓ ＝ 五， ｖ 令 ｎ
．ห้องสมุดไป่ตู้
个很重要 的问题． 经典的大数定律研究是相互独立情形下的， 其得到的充要条件是非常完美的 ， 但在实际应 用 中， 相互独立的要求往往是难以满足的， 因此对于其他情形下大数定律的研究也是非常有意义的． １中讨 文［ ］ 论 了两两独 立且 同分 布 的情形 ， 本文将 其结论 进一 步推广 ． １ 主 要结论 弓理 ｌ （ｏｅ—Ｃｎｅｉ Ｉ ） ｌ Ｂｒ ｌ ａｔｌ弓理 ｌ
／ ． ａ一０
其中， １ 当 ｐ＜ 时 ， ２ ａ＝Ｅ ｌ当 ０ ＜１ ａ可取任意值（ Ｘ ； ＜Ｐ 时， 因此常取 ａ ０ ． ＝） 证 明 ： 于 １ Ｐ＜ ， 对 ２ 不失 一般性 ， 可设 Ｅ ｌ ０ 因此 我们 只需 证 明 Ｘ＝ ，
１ ｎ
ｌ 一 ∑Ｘ ＝０ ｉ ｍｎ ； ｉ ．
又 因为 ，
妻 ｛ ≠ ： ｛ ＞ ： 』 （） Ｐ 矗｝ ｎ｝ 壹
，
ｎ＝ ｌ
Ｂ
■
一
‘
∞
∞
，
（＋ ） １ ｛
＝
∑ ∑ Ｊ ｄ（） ｛ Ｆ
ｎ １‘ ｎ
茁
（＋） ｉ ） Ｐ （ ＋１
（＋ ） 古 ∞ ，ｉ １ ， ＋） （ ｐ
一
（） １若∑Ｐ Ａ ） （ ＜∞， Ｐ｛ ｉ０ ｝ Ｏ 则 Ａ ，． ． － ；
（） ｛ 相 互独立 ， ２若 Ａ ｝ ∑Ｐ（ ＝ｏ， Ｐ｛ ｉｏ ｝ ． Ａ ） 口则 Ａ ，． ． －１
引理 ２ （ ｒ ｅ ｅ 引理） 设 ｛ ｝ ｛ 是两实数序列， ＜口 十∞， ／ Ｋｏ ｃ ｒ ｎｋ 和 ｂ｝ ０ ∑ ａ 收敛 ， 那么 定理 设｛ ｝ 瓦 是两两独立且同分布的 ｒｖ序列 ， －． 则对某个有限常数 ａ以及Ｐ ０２ ， ∈（ ，）有 ＥＩ Ｉ ＜Ｏ ｌ ７ ； 五 一口 ＝ ． ０ ｉ ， ∑（ ｍ／ 一 ） ０ ａｓ ．．
强大数定律相 比，本文的证明过程更 简洁 ，不需要利 用 Ｋ ｌｏｒ 不 等式 ，而且结论 更实用 ，只要求 ｏ ｇｖ ｍ ｏ
ｒｖ 两 两 独 立 。 ．．
［ 关键词】强大数定律 ； 两两独立且 同分布的随机变量 ［ 中图分类号】Ｏ １ ２１ ０ 弓言 ｌ ［ 文献标识码】Ａ ［ 文章编号 】１０ — ７ｘ ２１）４ ＯＯ — ２ ０８ １８ （０Ｏｏ 一 Ｏ６ ０
ｖ序列 以及 后 ．
， ｝ｎ ， ＝ ｉ ｌ ，∈Ⅳ ． 五ｙ， ； ｓ 注意到｛ ｝ 是两两独立的 ｒ ．
＜∞． 下面对于 Ｖｅ ０取 ｋ ＝ 由切 比雪夫不等式得 ： ＞ ， ２，
ｌ ｃ ： 量： ｃ 瓣～ｃ ｃ 警
＝善 １ｉ ｃ （１ － ：
［ 收稿 日期］２１ — ４ ０ ００ ０ — ８
，
ｄ（ Ｒ 别
ｄ（ ） ｃ （ Ｅ ）＝ ∑
ｈ＝０ ｉ＝ｋ＋
）
［ 作者简介］陈英 霞 （９３ ） 女 ，河 南南阳人 ，平顶山学院数 学与信息科学学院助教 ，从事概率论与数理统计研 究。 １ 一 ， ８
・
６ ・
ｃ
曼 后 １ ；ｔ 。 ｚ （ （＋） ＋ｆ ｄ － Ｅ）
Ｉ＝０ 。 ｌ ｕ
＋） ＋ 后 １ １ ；ｔ ＋） － （ ；
（） １
＝ｃ ｋ＋１ Ｃ ｃ １ Ｘ ） Ｏ ∑（ ） Ｉ （ ＋Ｅ ｐ ＜Ｏ，
此处 Ｆ ） （ 是 ． 的分布 函数 ， 表示正常数 ， ｃ 它在各不等式中可以不相同． 同时 ， 们有 我
ｓ
ｎｌ ； ＝ ｊ ｝
（ 明参 考 ［］ ， 根 据 Ｋｏｅｋｒ 证 ２ ）则 ｒｎｃｅ 引理 可得 ：
妻 ＜， 哗 。 。
ｎ ；
（） ２
Ｅ； Ｓ
＿Ｅ ∑
（） ３
一 ； ｒ ． ＋ ｊ ｝ 结合（） ３ ， Ｂｒ — ａｔｌ引理可得 ： １和（） 由 ｏ ｌ Ｃｎ ｌ ｅ ｅｉ
Ｓ ｌ — ＝０． ｉ ｍ ｜ ｉ ｝
∞ Ｃ ｌ ＝
ａｓ ．．
另外 ， 因为 ｛ ｝ ｛ Ｔ 都满足定理的条件 ， 以 ＝ 和 Ｘ， ｝ 且 故不 妨设 ０ｎ ， ∈Ｎ．
一Ｘ， 显然我们只需对 ｛ ｝ ｛ Ｔ｝ Ｔ， 和 Ｘ， 证明上述结论 ，
令 Ｓ＝∑ Ｃ＝ ｛＜ ＿五，ｋ Ｐ ｋ 嬲 ｋ １，ｎ ｛ ＋ ｝ｙ＝
＝
荟 Ｊ ｄ（） 善Ｊ￡ Ｐ （） ＜ ， ｌ Ｆ ≤ ｛ｘＦ Ｅ ∞ ｄ
ｌ — ＝０． ｉ 早 ｍ 后 口． ５．
由 Ｂｒｌ ａｔ ｉ ｏｅ—Ｃｎｅ 引理可 得 ： ≠ ，． ． － ， 有 ： ｕ Ｐ｛ ｉ０ ｝ Ｏ故
（） ４
对于 Ｖｎ ∈Ｎ， 在 ｍ∈Ｎ， 存 使得 — ＜ｎ ｌ