3.2复化求积公式习题及解答

3.2-3.5习题 一、填空题

1. 梯形求积公式和复化梯形公式都是插值型求积公式_____（对或错）。 (答案：错)

2.已知(1)1.2,(2)1.4,f f f =

==，则用复合梯形公式计算求得

3

1

()f x dx ≈⎰

，

（答案：2.75）

3.

已知，在[0, 1]

内

，有一位整数，用复合

梯形求积公式计算要保证有3位有效数字，至少应将[0, 1]（ ）等分。 A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

4、(1)1,(2)2,(3)2f f f -===-，则[1,2,3]f -=_________，三点高斯求积公式

2

()f x dx ≈⎰

______________.

答案： )531(95)1(98)531(95,1213+++--

f f f

二、计算题

1．建立Gauss

型求积公式111220

()()A f x A f x ≈+⎰ 答案

12120.0455363610.6421930581.035301293

0.964698706x x A A ====

2． 试确定常数A ，B ，C 和，使得数值积分公式

有尽可能高的代数精度。试问所得的数值积分公式代数精度是多少？它是否为Gauss 型的？ 答案：

，

该数值求积公式具有5次代数精确度，它是Gauss 型的。

3、用Romberg

算法计算积分3

0⎰（只作两次外推）。 解：取2,0,3t a b ===

(0)11

(()())14.230249472

T f a f b =+=，

1t =，0

2(1)(0)1

10

1

111

(()11.17136992 222i T

T f a b a =⎛⎫=++

-= ⎪ ⎪⎝

⎭

∑

，

2t =，1

2(2)

(1)111

20

11((21)

)10.44379685 222i b a T T f a i =⎛⎫

-=++-= ⎪ ⎪⎝

⎭

∑

， 外推流程如下：

t ()1t T ()2t T ()3t T 0

12

14.23024947

11.17136992 10.15174340 10.44379685 10.20127249 10.20457443

于是有3

010.20457443 ≈⎰

4、试确定下列求积公式中的待定系数，指出其所具有的代数精度。

① 2''0()[(0)()][(0)()]2

h h

f x dx f f h h f f h ≈++-⎰α；

②

101()()(0)();h

h f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰

解：①分别将()1,f x x =代入求积公式，易知求积公式精确成立，

代入2

()f x x =，令求积公式精确成立，于是有33

3232

h h h α===-左右，可得112α=

， 代入3

()f x x =，于是44h =左，444

,244

h h h =-==右左右，求积公式成立，

代入4

()f x x =，55h =左，544

,236

h h h =-=≠右左右，求积公式不精确成立，

综合以上可知，该求积公式具有三次代数精度。

②将21(),,f x x x =分别代入求积公式，令求积公式成立，则有

0120222

022023()()A A A h h A A h A A h ⎧

++=⎪⎪⎪

--=⎨⎪⎪

⎪+=⎩

从而解得021143

3

,A A h A h ===，所求公式至少具有两次代数精度，且进一步有

333()33

h

h

h h

x dx h h -=

-+⎰ ， 444()33

h

h

h h

x dx h h -≠

-+⎰ 从而原积分公式4()()(0)()333

h

h h h h

f x dx f h f f h -≈

-++⎰

具有三次代数精确度。

5、对()[,]f x c a b ∈，已知求积公式为

1

121

1

()[(1)(0.6306)3()]3

f x dx f A f f x -≈-++⎰ 试确定求积系数1A 和积分点2x ，使代数精度尽可能高，指出代数精度是多少。

解：对()1f x =，令求积公式成立，可得到12A =，

对()f x x =，令求积公式成立，可得到21 1.261230x -++=，于是20.0871x =-， 对2()f x x =，0.6667=左，0.6060=右 6、试利用Lagrange 线性插值导出如下求积公式

0101

()[()()]2

x e f x dx f x f x +∞

-≈+⎰

解：以节点01,x x 作()f x 的插值多项式01

1010110

()()()x x x x L x f x f x x x x x --=

+--，则有 01101010

01101

()()()()[()()]

2x x x x x x x e f x dx e L x dx e f x f x dx f x f x x x x x +∞

+∞

+∞

---⎛⎫--≈=+≈+ ⎪--⎝⎭

⎰

⎰

⎰

7、试利用以下两种方法计算3

11

dx x

⎰

，并与精确值比较。 ①用三点Gauss Legendre -公式；

②用Romberg 求积公式作三次外推。

解：①设三点Gauss Legendre -

求积节点为0120,t t t === 012585,,999A A A ===，1

1,3,()a b f x x

===，令22a b b a x t +-=+，则 23

1

1

1

1 1.09803922222222i i i b a a b b a b a a b b a dx f t dt A f t x -=-+--+-⎛⎫⎛⎫

=+≈+≈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑⎰

⎰， 精确值为ln3 1.09861229=，误差为41 5.730710R -≈⨯ ②利用Romberg 求积公式作三次外推，结果如下： t ()1t T ()2t T ()3t T ()4t T 0123

1.33333333

1.16666667 1.11111111

1.11666667 1.10000000 1.09925926

1.10321068 1.09872535 1.09864037 1.09863055

误差为52 1.826110R -≈⨯