《三角形的证明》公开课课件
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八年级 下册 数学 PPT课件 精品课件 第一章 三角形的证明 角平分线(二)
2. (巴中•中考)如图所示，是一块三角形的草坪，现
要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三
条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A.△ABC 的三条中线的交点
A
B.△ABC 三边的中垂线的交点
C.△ABC 三条角平分线的交点
B
C
D.△ABC 三条高所在直线的交点
【解析】选C. 根据三角形三条角平分线的性质定理得.
合作交流 ⅰ、如图， 有两条公路相交于点A处，现计划 修建一个油库，要求到两条公路的距离相等， 你们该如何选择油库的位置？
A
合作交流
ⅱ、如图， 有两条公路相交于点A处，如果再增 加一条公路，与这两条公路都相交(不经过点A 处)，现计划修建一个油库，那么如何选择油库 的位置才能保证油库到三条公路的距离相等？
你发现了什么？
三条折痕交于一点
新知探究
Ⅱ、如图，△ABC，用尺规作出三角形三个角的
角平分线。
A
你又发现了什么？
1、三个角的角平分线 交于一点；
B 2、交点到三条边的 距离相等。
P C
新知探究
Ⅲ、求证：三角形的三条角平分线相交于一点，并
且这一点到三条边的距离相等。
A
已知：如图，△ABC中，角平分线BM与角
两边距离相等的点，在这个角的平分线上)
即 ∠A的平分线经过点P
新知归纳
三角形三条角平分线定理： 三角形的三条角平分线交于一点，并且这一
点到三条边的距离相等。
情景引入
如图，三个城镇A、B、C之间有三条公路连
接，现要在三条公路围成的内部区域建一个加油
站，使加油站到三条公路的距离相等，你能确定
加油站的位置吗？
3.（曲靖·中考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若BC
《直角三角形》三角形的证明PPT(第1课时)
ห้องสมุดไป่ตู้
例1 已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，BC=B′C′，BD、B′D′分别是AC、A′C′边 上的中线且BD=B′D′ (如图)． 求证： Rt△ABC≌CORt△A′B′C′． 证明：在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中， ∵BD=B′D′,BC=B′C′, ∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′ (HL定理)． CD=C'D'． 又∵AC=2CD，A′C′=2C′D′，∴AC=A′C′． ∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中， ∵BC=B′C ′，∠C=∠C ′ =90°，AC=A′ C ′ ， ∴Rt△ABC≌CORt△A′B′C′(SAS)
跟踪检测
1．如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度 数是( C) A．30° B．60° C．90° D．120° 2．由下列 条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C ) A．∠A＝37°，∠C＝53° B．∠A＝34°，∠B＝56° C．∠B＝42°，∠C＝38° D．∠A＝72°，∠B＝18° 3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重 合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D ) A．1 B．2 C．3 D．4
（4）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （×）
（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （HL）
活动探究
活动1：如图，两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； 那么， “两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”吗？.
观察下列演示，你有什么发现？
A
B
C
归纳
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等.
例1 已知：Rt△ABC和Rt△A′B′C′，∠C=∠C′=90°，BC=B′C′，BD、B′D′分别是AC、A′C′边 上的中线且BD=B′D′ (如图)． 求证： Rt△ABC≌CORt△A′B′C′． 证明：在Rt△BDC和Rt△B′D′C′中， ∵BD=B′D′,BC=B′C′, ∴Rt△BDC≌Rt△B′D′C′ (HL定理)． CD=C'D'． 又∵AC=2CD，A′C′=2C′D′，∴AC=A′C′． ∴在Rt△ABC和Rt△A 'B 'C '中， ∵BC=B′C ′，∠C=∠C ′ =90°，AC=A′ C ′ ， ∴Rt△ABC≌CORt△A′B′C′(SAS)
跟踪检测
1．如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度 数是( C) A．30° B．60° C．90° D．120° 2．由下列 条件不能判定△ABC是直角三角形的是(C ) A．∠A＝37°，∠C＝53° B．∠A＝34°，∠B＝56° C．∠B＝42°，∠C＝38° D．∠A＝72°，∠B＝18° 3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重 合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为(D ) A．1 B．2 C．3 D．4
（4）∠A＝∠A′，∠B＝∠B′ （×）
（5）AC＝A′C′，AB＝A′B′ （HL）
活动探究
活动1：如图，两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等(AAS)； 那么， “两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”吗？.
观察下列演示，你有什么发现？
A
B
C
归纳
两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不 一定全等.
沪科版数学八上13.三角形内角和定理的证明课件(共15张)
13.2 命题与证明
第3课时 三角形内角和定理的证明
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.（重点）
2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
知识讲授
一、三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
前面已经学习了用拼接的方法验证三角形的内角和等于180°，你
∴ ∠ ＝ 180° − ∠ − ∠ ＝ 180° − 90° − 54°＝ 36° .
∴ ∠ ＝∠ − ∠ ＝ 44° − 36°＝ 8° .
随堂训练
1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC
于点D，若∠BAC＝130°，∠C＝30°，则
∠DAE的度数是 5° .
3.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求
∠BAE和∠AEB的度数.
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
1
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，
∴∠BAE=37.5°.
A
(两直线平行，同旁内角相补)
E
∴ ∠A=∠EDF.
F
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
B
想一想：同学们还有其他的方法吗？
D
C
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
A
A
A
D
C
B
1
2
B
l
4
第3课时 三角形内角和定理的证明
学习目标
1.会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和定理.（重点）
2.会运用三角形内角和定理进行计算.（难点）
知识讲授
一、三角形内角和定理的证明
三角形内角和定理
三角形三个内角的和等于180°.
前面已经学习了用拼接的方法验证三角形的内角和等于180°，你
∴ ∠ ＝ 180° − ∠ − ∠ ＝ 180° − 90° − 54°＝ 36° .
∴ ∠ ＝∠ − ∠ ＝ 44° − 36°＝ 8° .
随堂训练
1.如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC
于点D，若∠BAC＝130°，∠C＝30°，则
∠DAE的度数是 5° .
3.如图,AE是 △ABC的角平分线.已知∠B=45°,∠C=60°,求
∠BAE和∠AEB的度数.
解：∵ＡE是△ABC的角平分线，
1
∴∠CAE=∠BAE= ∠BAC.
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=180°,
∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°－45°－60°=75°，
∴∠BAE=37.5°.
A
(两直线平行，同旁内角相补)
E
∴ ∠A=∠EDF.
F
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
B
想一想：同学们还有其他的方法吗？
D
C
思考：多种方法证明三角形内角和等于180°的核心是什么？
A
A
A
D
C
B
1
2
B
l
4
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明串讲课件
2.
【例5】用反证法证明
1. 等腰三角形的底角是锐角。 2. 求证：一个三角形中，如果两个角不相等， 那么它们所对的边也不相等。 3. 证明：三角形中至少有一个角不小于60°。
六．等腰三角形中的多解问题——分类讨论 【例6】 a) 等腰三角形的两边长分别是4和5，这个 三角形的周长是（ ） b) 等腰三角形的两边长分别是4和8，这个 三角形的周长是（ ） c) 等腰三角形一腰上的中线把该三角形的 周长分为12和15两部分，求该三角形各 边的长。 （8、8、11；10、10、7） d) 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角 为30°则等腰三角形的顶角为（ ）°
【例2】
① 证明等边三角形的性质定理（略） ② 如图1， ABC中，AB=AC，点D是BC的中点， 点E在AD上，
a) 求证：BE=CE b) 如图2，若BE的延长线交AC于F点，且BF⊥AC， 垂足为F，∠BAC=45°，原题其它条件不变，求 证：△AEF≌△BCF
A 图1 图2 A
E B D C B
第一章 三角形的证明
八年级（下册）
点→线（两点定线）→角（两线）→（面）图→体
学习几何 基本规律
一个图（三角形、四边形---）形的定义，性质，判定
两个图形之间的关系：全等、相似、对称、位似----
两次翻折=一次平移
对称 旋转
全ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ变换
平移
形状大小都不变
• 图形变换
翻折
相似变换（形状不变大小变） 如：位似变换。
（2）求证：⊿CEF是等边三角形 M
E F
N
A
C
B
五．反证法
1. 定义：先假设命题的结论不成立，然后推导 出与定义、基本事实、已有定理或已知条件 相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成 立。这种证明方法称为反证法。 反证法——常用的间接证明法。步骤：
《等边三角形的判定》证明课件ppt文档
在△ABC中,∵∠ACB=900,∠A=300(已知),B
CD
∴∠B=600(直角三角形两锐角互余).
又∵ ∠ACB=900, (已知),
∴∠ACD=900(平角意义).
在△ABC与△ADC中
∵BC=DC（作图）,
∠ACB=∠ACD（已证）,
AC=AC（公共边）, ∴△ABC≌△ADC（SAS）.
驶向胜利 的彼岸
具体做法.
600
C
我能行 1
命题的证明
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
已知:如图,在△ABC中AB=AC,∠B=600. A 求证:△ABC是等边三角形.
证明:∵AB=AC, ∠B=600(已知), 600
∴∠C=∠B=600.(等边对等角). B
C
∴∠A=600(三角形内角和定理).
等的三角形是等边三角形).
600
C
这又是一个判定靠边三角形的根据之一.
驶向胜利 的彼岸
我能行 3
命题的猜想
1 操作:用两个含有300角的三角
尺，你能拼成一个怎样的三角形？
300
300 300 300
300
300
能拼出一个等边三角形吗？说说你的理由.
由此你想到，在直角三角形中, 300角所对的 直角边与斜边有怎样的大小关系？
∴∠A=∠B（等式性质）.
∴ AC=CB（等角对等边）.
∴AB=BC=AC（等式性质）.
∴ △ABC是等边三角形(等边三角形 意义).
驶向胜利 的彼岸
回顾反思 1
几何的三种语言
定理:有一个角是600的等腰三角形是等边三角形.
在△ABC中,
A
∵AB=AC,∠B=600(已知).
相似三角形判定定理的证明-课件
VS
在微积分中的应用
在微积分中，可以利用相似三角形判定定 理证明一些几何不等式，例如面积不等式 、长度不等式等。
THANK YOU
感谢聆听
全等三角形判定定理是相似三角形判定定理的特殊情况，即当相似比为1时，两个三角 形全等。
与平行线判定定理的联系
在相似三角形中，如果两个三角形的对应边成比例且夹角相等，则这两个三角形所在的 直线平行。
在高等数学中的应用
在解析几何中的应用
在解析几何中，可以利用相似三角形判 定定理证明一些几何性质，例如直线的 斜率相等、点到直线的距离相等等。
相似比
相似三角形的对应边之间的长度 比值称为相似比。
相似三角形的性质
对应角相等
相似三角形的对应角相等，即它们的 角度大小相同。
对应边成比例
相似三角形的对应边之间成比例，即 它们的边长比值相等。
相似三角形的分类
完全相似三角形
两个三角形完全相同，即它们的对应边和对应角都相等。
相似不全等三角形
两个三角形相似但不全等，即它们的对应边和对应角有相同 的比值，但大小不同。
角角判定定理
总结词
通过两个角相等证明两个三角形相似，适用于两个角分别相等的情况。
详细描述
如果两个三角形有两个角分别相等，则这两个三角形相似。具体来说，如果一 个三角形的两个角与另一个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
边边判定定理
总结词
通过两边成比例证明两个三角形相似，适用于两边成比例的情况。
证明几何命题
通过相似三角形的性质，可以证明一 些几何命题，例如等腰三角形、直角 三角形的性质等。
在实际问题中的应用
测量中的应用
在土地测量、建筑测量等领域，可以利用相似三角形判定定理来计算无法直接测量的距离和高度。
三角形内角和定理的证明证明教学PPT课件
15、最终你相信什么就能成为什么。因为世界上最可怕的二个词，一个叫执着，一个叫认真，认真的人改变自己，执着的人改变命运。只要在路上，就没有到不了的地方。 16、你若坚持，定会发光，时间是所向披靡的武器，它能集腋成裘，也能聚沙成塔，将人生的不可能都变成可能。 17、人生，就要活得漂亮，走得铿锵。自己不奋斗，终归是摆设。无论你是谁，宁可做拼搏的失败者
1 2 1800 BDC(等式性质).
BDC BAC ABD ACD（等量代换）.
即BDC BAC B C.
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
A
M
B
N
C
F
D
练一练
A
1、 如图，已知AD是△ABD
34
和△ACD的公共边.求证：
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
12
B
D
证法一：
∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3，
C
在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理），
又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）
∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－∠C－∠4 ）
＝ ∠B+∠C+∠3+∠4.
又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4,
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
A
证法二：
连接BC.
B
1
D
2
C
在ABC中，BAC ABD ACD 1 2 1800,
1 2 1800 BDC(等式性质).
BDC BAC ABD ACD（等量代换）.
即BDC BAC B C.
1、快乐总和宽厚的人相伴，财富总与诚信的人相伴，聪明总与高尚的人相伴，魅力总与幽默的人相伴，健康总与阔达的人相伴。 2、人生就有许多这样的奇迹，看似比登天还难的事，有时轻而易举就可以做到，其中的差别就在于非凡的信念。
A
M
B
N
C
F
D
练一练
A
1、 如图，已知AD是△ABD
34
和△ACD的公共边.求证：
∠BDC=∠BAC+∠B+∠C
12
B
D
证法一：
∵在△ABD中, ∠1＝180°－∠B－∠3，
C
在△ADC中, ∠2＝180°－∠C－∠4（三角形内角和定理），
又∵∠BDC＝360°－∠1－∠2（周角定义）
∴∠ BDC ＝360°－（ 180°－∠B－∠3 ）－（ 180°－∠C－∠4 ）
＝ ∠B+∠C+∠3+∠4.
又 ∵ ∠BAC ＝ ∠3+∠4,
∴ ∠ BDC ＝ ∠B+∠C+ ∠BAC （等量代换）
A
证法二：
连接BC.
B
1
D
2
C
在ABC中，BAC ABD ACD 1 2 1800,
19-20学年八年级数学下册第一章三角形的证明1.3-4教学课件(3课时)
几何语言描述：
如图, ∵PA=PB(已知),
A
B
∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段
两个端点距离相等的点,在这条线段的
垂直平分线上). 提示:这个结论是经常用来证明点在直线上(或直线
经过某一点)的根据之一.
例1 已知：如图 ，在 △ABC 中，AB = AC，O 是 △ABC 内一点，且 OB = OC.
求证：直线 AO 垂直平分线段BC． 证明：∵AB=AC， ∴点A在线段BC的垂直平分线上（到一 条线段两个端点距离相等的点, 在这条线 段的垂直平分线上）， 同理，点O在线段BC的垂直平分线上, ∴直线 AO 是线段BC的垂直平分线（两 点确定一条直线）．
1.如图,已知AB是线段CD的 垂直平分线,E是AB上的一 点,如果EC=7 cm,那么ED=
变式2：若把∠BAC＝∠EDF,改为 AC=DF，△ABC与△DEF全等吗？请 B 说明思路.
变式3：请你把例题中的∠BAC＝∠EDF 改为另一个适当条件，使△ABC与 △DEF仍能全等，并给出证明.
E
A
PC D
QF
我们曾经利用折纸的方法得到:线段垂直平分线上的 点到这条线段两个端点的距离相等.你能证明这一结论 吗?
在△ABC中，AB= 2AC 4 2 . ∵AC=AE,∴BE= 4 2 4 .
∵ CD=DE,BE=DE,
∴CD= 4 2 4 (cm).
1.三角形三条角平分线的性质定理:三角形的三条角平分 线相交于一点,并且这一点到__三__条__边__的距离相等. 2.三角形三个内角平分线的交点只有一个,实际作图时,只 需作出两个角的平分线,第三个角的平分线必过这两条角 平分线的交点. 3.利用面积法求距离的方法:三角形角平分线的交点与三 个顶点的连线,把原三角形分割成了三个小三角形,利用小 三角形的面积之和等于原三角形的面积,是求角平分线交 点到三边距离的常用方法.
第二讲第三讲第四讲三角形五心定理及证明ppt课件
相等（分别为点B和点C到AF的距离）。 • ∴S△AFB=S△AFC • 又对于△AFB和△AFC，高相同（为点A到BC
的距离）。 • ∴它们底相等，即：BF=CF • ∴AF为三角形的中线。
重心：三条中线的交点
• 方法二： • 证：连AO交BC于点F，连DE交AF
• 由角平分线定理（角平分线 上一点到两边的距离相等） 得：
• OD=OF，OF=OE • ∴ OD=OE • ∴AO为角BAC的平分线
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
外心：三条中垂线的交点
• 证：连结OA、OB、OC，并 过O点作OF⊥BC于点F。
• 由线段中垂线定理（线段中垂 线上一点到
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
重心：三条中线的交点
• 同理可得： • S△BOC=S△AOB ······② • 由①②得，S△AOC=S△AOB • 又∵△AOC与△AOB底都为AO • ∴它们高相等，即：点B和点C到AF的距离相
等。 • 对于△AFB和△AFC，底相同（为AF），高
三角形的“五心”定理
1 内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。 2 外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。 3 旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。 4 垂心：三条高的交点。 5 重心：三条中线的交点。
内心：三条角平分线的交点
• 证明：过点O作三边的垂 线，垂足分别为D、E、F。
• 距离相等）得： • OD=OF，OD=OE • ∴ OF=OE • ∴BO为角ABC的平分线
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
垂心：三条高的交点
• 证：连结DE，连结AO交BC于F点。 • ∵角BDC=角BEC=90° • ∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆）。 • ∴角FBO=角CDE ······① • （同弦(弧)所对圆周角相等） • 又∵角ODA=角AEO=90° • ∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）。 • ∴角AOE=角ADE （同弦(弧)所对圆周角相等） • 且 角AOE=角BOF • ∴角ADE=角BOF ······② • 由①②可知，角OFB=角ODA=90° • ∴AF为BC边上的高。
的距离）。 • ∴它们底相等，即：BF=CF • ∴AF为三角形的中线。
重心：三条中线的交点
• 方法二： • 证：连AO交BC于点F，连DE交AF
• 由角平分线定理（角平分线 上一点到两边的距离相等） 得：
• OD=OF，OF=OE • ∴ OD=OE • ∴AO为角BAC的平分线
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
外心：三条中垂线的交点
• 证：连结OA、OB、OC，并 过O点作OF⊥BC于点F。
• 由线段中垂线定理（线段中垂 线上一点到
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
重心：三条中线的交点
• 同理可得： • S△BOC=S△AOB ······② • 由①②得，S△AOC=S△AOB • 又∵△AOC与△AOB底都为AO • ∴它们高相等，即：点B和点C到AF的距离相
等。 • 对于△AFB和△AFC，底相同（为AF），高
三角形的“五心”定理
1 内心：内切圆的圆心，即三条角平分线的交点。 2 外心：外切圆的圆心，即三条中垂线的交点。 3 旁心：旁切圆的圆心，即三条角平分线的交点。 4 垂心：三条高的交点。 5 重心：三条中线的交点。
内心：三条角平分线的交点
• 证明：过点O作三边的垂 线，垂足分别为D、E、F。
• 距离相等）得： • OD=OF，OD=OE • ∴ OF=OE • ∴BO为角ABC的平分线
注：红线为所要证明的线，绿线为辅助线。
垂心：三条高的交点
• 证：连结DE，连结AO交BC于F点。 • ∵角BDC=角BEC=90° • ∴B、D、E、C四点共圆（以BC为直径的圆）。 • ∴角FBO=角CDE ······① • （同弦(弧)所对圆周角相等） • 又∵角ODA=角AEO=90° • ∴O、D、A、E四点共圆（以AO为直径的圆）。 • ∴角AOE=角ADE （同弦(弧)所对圆周角相等） • 且 角AOE=角BOF • ∴角ADE=角BOF ······② • 由①②可知，角OFB=角ODA=90° • ∴AF为BC边上的高。
北师大版八年级数学下册第一章三角形的证明第10课 角平分线的性质和判定课件
∠BAC∵∠BAC＝60°，∴∠BAD＝30°在
Rt△AED中，∠AED＝90°，∠EAD＝30°∴DE
＝ AD＝ ×10＝5
1
1
2
2
7.如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别是E，F，BE＝CF.求证：AD平分∠BAC. 证明：∵D是BC的中点，∴DB＝DC ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB＝∠DFC＝90° 又∵BE＝CF ∴Rt△DEB≌Rt△DFC(HL) ∴DE＝DF 又DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC
(例1)如图，在△ABC中，D是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F.
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
解：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC∴DE＝ 又∵OP＝OP，∴△OCP≌△ODP(AAS)
如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是( )
∵D是BC中点，∴BD＝CD 证明：∵OC是∠AOB的平分线，AC⊥OB，BC⊥OA
如图，OP是∠AOB的平分线，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于E，PE＝5 cm，则PD＝________cm. 知识点1：角平分线的性质 在Rt△BDE中，∠BED＝90°，∠B＝30°
∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL)
Hale Waihona Puke 三、过关检测 第1关8.如图，DB⊥AB，DC⊥AC，BD＝DC，∠BAC＝80°， 则∠BAD＝___4_0____°，∠ADC＝_5_0__°.
9.如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交 AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△BDC的面积是( B ) A．10 B．15 C．20 D．30
三角形全等的证明ppt课件
∴AC=AD .
讲解新课
例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于 O点，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A= ∠A
AB=AC
∠B=∠C
∴ △ABE≌△ACD （ASA)
∴AD=AE
∵AB=AC
∴BD=CE
.
课
堂 如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件
E
的条件，不难发现图3是由图2平移而得。 利用AE=CF，可得：AF=CE
证明：∵AD∥BC（已知）
F
B
C
图3
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）
又 AE=CF
∴AE+EF=CF+EF（等式性质）
即AF=CE 在△AFD 和△CEB 中
AD=CB（已知）
问：若求证∠D=∠B ，
如何证明？
∠A=∠C（已证）
∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）
D C
.
小结：四边形问题转化为三角形 问题解决。
问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？A 在原有条件下，还能推出什么结论？
B
答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC
.
D C
归纳：二个三角形全等的判定方法
对应 相等 的元
素
两边一角 两角一边
两边及其 两边及其 两角及其 两角及其
写为“ASA”)
.
讲解新课:
例1、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠C=∠D 求证：AC=AD 证明：∵ ∠DAB=∠CAB，∠C=∠D
∴∠ABD=∠ACD (三角形内角和定理） 在△ACB和△ADB中
∠DAB=∠CAB AB=AB （共用边） ∠ABD=∠ACD
讲解新课
例2、已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD交于 O点，AB=AC，∠B=∠C. 求证：BD=CE
证明：在△ABE和△ACD中 ∠A= ∠A
AB=AC
∠B=∠C
∴ △ABE≌△ACD （ASA)
∴AD=AE
∵AB=AC
∴BD=CE
.
课
堂 如图，要证明△ACE≌ △BDF,根据给定的条件
E
的条件，不难发现图3是由图2平移而得。 利用AE=CF，可得：AF=CE
证明：∵AD∥BC（已知）
F
B
C
图3
∴∠A=∠C（两直线平行，内错角相等）
又 AE=CF
∴AE+EF=CF+EF（等式性质）
即AF=CE 在△AFD 和△CEB 中
AD=CB（已知）
问：若求证∠D=∠B ，
如何证明？
∠A=∠C（已证）
∴ ∠B＝∠D（全等三角形对应角相等）
D C
.
小结：四边形问题转化为三角形 问题解决。
问：此题添加辅助线，若连结BD行吗？A 在原有条件下，还能推出什么结论？
B
答：∠ABC＝∠ADC，AB∥CD，AD∥BC
.
D C
归纳：二个三角形全等的判定方法
对应 相等 的元
素
两边一角 两角一边
两边及其 两边及其 两角及其 两角及其
写为“ASA”)
.
讲解新课:
例1、已知：如图，∠DAB=∠CAB，∠C=∠D 求证：AC=AD 证明：∵ ∠DAB=∠CAB，∠C=∠D
∴∠ABD=∠ACD (三角形内角和定理） 在△ACB和△ADB中
∠DAB=∠CAB AB=AB （共用边） ∠ABD=∠ACD
三角形全等证明边边边公开课获奖课件省赛课一等奖课件
证明：∵BD=CE ∴ BD-ED=CE-ED， B E D C
即BE=CD。 在AEB和ADC中，
AB=AC
AE=AD
BE=CD
∴ △AEB ≌ △ ADC (sss)
练习3、如图，在四边形ABCD中， AB=CD,AD=CB,求证：∠ A= ∠ C.
你能阐明AB∥CD，AD∥BC吗？
D
• 证明：在△ABD和△CDB
探究：
1.只给一种条件（一组相应边相等或一组相应角相等）。
①只给一条边：
②只给一种角：
60°
60°
60°
2.给出两个条件：
①一边一内角：
30° ②两内角：
30°50° ③两边：
2cm 4cm
30°
30°
能够发觉按这 些条件画旳三 30° 50° 角形都不能确 保一定全等。
2cm 4cm
已知三角形三条边分别是 4cm，5cm， 7cm，画出这个三角形，把所画旳三角形 分别剪下来，并与同伴比一比，发觉什么？
AD是连接A与BC中点D旳支架。 求证：△ ABD≌ △ ACD
分析：要证明△ ABD≌ △ ACD， 首先看这两个三角形旳三条边是 否相应相等。
结论：从这题旳证明中能够看出，证明是由 题设（已知）出发，经过一步步旳推理，最 终推出结论正确旳过程。
证明旳书写环节：
①准备条件：证全等时要用旳间接 条件要先证好；
②三角形全等书写三环节： 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论
已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一 条直线上，AD=FB，求证△ABC ≌△ FDE
分析：要证明△ABC ≌△ FDE，还 应该有AB=DF这个条件
如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， A 求证：△AEB ≌ △ ADC。
即BE=CD。 在AEB和ADC中，
AB=AC
AE=AD
BE=CD
∴ △AEB ≌ △ ADC (sss)
练习3、如图，在四边形ABCD中， AB=CD,AD=CB,求证：∠ A= ∠ C.
你能阐明AB∥CD，AD∥BC吗？
D
• 证明：在△ABD和△CDB
探究：
1.只给一种条件（一组相应边相等或一组相应角相等）。
①只给一条边：
②只给一种角：
60°
60°
60°
2.给出两个条件：
①一边一内角：
30° ②两内角：
30°50° ③两边：
2cm 4cm
30°
30°
能够发觉按这 些条件画旳三 30° 50° 角形都不能确 保一定全等。
2cm 4cm
已知三角形三条边分别是 4cm，5cm， 7cm，画出这个三角形，把所画旳三角形 分别剪下来，并与同伴比一比，发觉什么？
AD是连接A与BC中点D旳支架。 求证：△ ABD≌ △ ACD
分析：要证明△ ABD≌ △ ACD， 首先看这两个三角形旳三条边是 否相应相等。
结论：从这题旳证明中能够看出，证明是由 题设（已知）出发，经过一步步旳推理，最 终推出结论正确旳过程。
证明旳书写环节：
①准备条件：证全等时要用旳间接 条件要先证好；
②三角形全等书写三环节： 写出在哪两个三角形中 摆出三个条件用大括号括起来 写出全等结论
已知AC=FE，BC=DE，点A，D，B，F在一 条直线上，AD=FB，求证△ABC ≌△ FDE
分析：要证明△ABC ≌△ FDE，还 应该有AB=DF这个条件
如图，AB=AC，AE=AD，BD=CE， A 求证：△AEB ≌ △ ADC。
《三角形的证明》公开课课件
角与角之间的关系
角角相等
如果两个三角形的两个对应角相等， 则这两个三角形是相似的。
角角不等
在三角形中，三个内角之和等于180 度。
边与角之间的关系
边角互换
在三角形中，如果两个角相等，则它们的对边也相等。
角边关系
在三角形中，如果两个边相等，则它们所对的角也相等。
02 三角形全等的判定
SSS全等判定
角度的混合运算
总结词
理解并掌握角度的混合运算是三角形角度计算的难点。
详细描述
通过实例和图示，详细解释如何进行三角形的角度混合运算，包括公式、计算步骤以及在解决实际问题中的应用 。
三角形的证明方法
05
反证法在三角形证明中的应用
01
反证法
通过假设与已知条件相矛盾的结论，经过推理导出矛盾 ，从而否定假设，肯定原来的结论，达到证明的目的。
谢谢聆听
详细描述
如果两个三角形有两边长度相 等，并且这两边所夹的角也相 等，则这两个三角形全等。
证明方法
利用边角边（SAS）判定定理 ，通过比较两边和夹角来确定
三角形是否全等。
适用场景
适用于已知三角形两边长度和 夹角的情况。
ASA全等判定
总结词
两角及其夹边对应相等的两个三角形 全等
详细描述
如果两个三角形有两个角相等，并且 这两个角所夹的边也相等，则这两个 三角形全等。
《三角形的证明》公 开课课件
目录
• 三角形的基本性质 • 三角形全等的判定 • 三角形的相似与等比 • 三角形的角度计算 • 三角形的证明方法
01 三角形的基本性质
边与边之间的关系
边边相等
如果两个三角形的对应边相等， 则这两个三角形是全等的。
三角形的证明八年级数学下册教材配套教学课件(北师大版)
PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD = PE
判定 定理
到一条线段两个端点距离 ∵PA =PB，
A
相等的点，在这条线段的
垂直平分线上
∴点P 在AB 的垂直平分线上
三角形
线段垂 直平分 线性质
三角形三条边的垂直平分线 ∵在△ABC，点P 为△ABC
相交于一点,并且这一点到 三边垂直平分线的交点
三个顶点的距离相等
图示
A BC
(二) 等边三角形的性质及判定
性质
内容
等边三角形的三个内
内角性质 角都相等，并且每一 个角都等于60°
三线合一
三条顶角平分线、 底边上的中线及底 边上的高互相重合
数学语言
∵在△ABC中， AB＝AC=BC
∴∠A=∠B＝∠C=60°
图示
A
BC A
∴∠1=∠2=30°
12 B DC
(二) 等边三角形的性质及判定
有两个角互余的三角 形是直角三角形.
∵在△ABC 中，
B
∠A+∠B=90°
a
∴△ABC 是直角三角形． C
c b
A
定理 等如于果第三三角边形的两平边方的,平那方么和这∵在△ABC中,a2＋b2＝c2 个三角形是直角三角形. ∴△ABC 是直角三角形
(四) 逆命题和逆定题 性质
定义
互逆命题
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题叫做互逆命题. 其中一个叫做另一个的逆 命理．
例2：如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，
∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B=70°，求∠C的度数；
∴PD = PE
判定 定理
到一条线段两个端点距离 ∵PA =PB，
A
相等的点，在这条线段的
垂直平分线上
∴点P 在AB 的垂直平分线上
三角形
线段垂 直平分 线性质
三角形三条边的垂直平分线 ∵在△ABC，点P 为△ABC
相交于一点,并且这一点到 三边垂直平分线的交点
三个顶点的距离相等
图示
A BC
(二) 等边三角形的性质及判定
性质
内容
等边三角形的三个内
内角性质 角都相等，并且每一 个角都等于60°
三线合一
三条顶角平分线、 底边上的中线及底 边上的高互相重合
数学语言
∵在△ABC中， AB＝AC=BC
∴∠A=∠B＝∠C=60°
图示
A
BC A
∴∠1=∠2=30°
12 B DC
(二) 等边三角形的性质及判定
有两个角互余的三角 形是直角三角形.
∵在△ABC 中，
B
∠A+∠B=90°
a
∴△ABC 是直角三角形． C
c b
A
定理 等如于果第三三角边形的两平边方的,平那方么和这∵在△ABC中,a2＋b2＝c2 个三角形是直角三角形. ∴△ABC 是直角三角形
(四) 逆命题和逆定题 性质
定义
互逆命题
在两个命题中，如果一个命题的条件和结论 是另一个命题的结论和条件，那么这两个命 题叫做互逆命题. 其中一个叫做另一个的逆 命理．
例2：如图，在△ABC中，点D是BC上一点，且AD=AB，AE∥BC，
∠BAD=∠CAE，连接DE交AC于点F．
（1）若∠B=70°，求∠C的度数；
2019版八年级数学下册第一章三角形的证明1.2直角三角形(第2课时)教学课件(新版)北师大版
已知条件
两直角边 斜边与一条直角边 一锐角与斜边 一锐角与一条直角边
判定方法
SAS HL AAS ASA或AAS
知识点二 直角三角形全等的应用 【示范题2】(2017·双台子区月考)如图,已知Rt△ABC
中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,
且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、 猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明
A.40°
B.50°
C.60°
D.75°
知识点一 直角三角形全等的判定 【示范题1】如图,已知∠A=∠D=90°,E,F在线段BC 上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF. 求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.
【备选例题】 (2017·铜陵月考)如图,已知BD为△ABC的中线,CE⊥BD 于点E,AF⊥BD于点F.于是小白说:“BE+BF=2BD”.你认 为他的判断对吗?为什么?2直角三角形 Nhomakorabea第2课时
【基础梳理】 斜边、直角边定理 斜边 和一条_______ 直角边 分别相等的两个_____ 直角 1.文字叙述:_____ HL ”. 三角形全等,简称“斜边、直角边”定理,记作“___
2.符号语言:如图,在Rt△ABC和Rt△DEF中, ∵AB=DE(或AC=DF),BC=EF,
你猜想的正确性.
【思路点拨】猜想:BF⊥AE,先证明△BDC≌△AEC,得出
∠CBD=∠CAE,从而得出∠BFE=90°,即BF⊥AE.
【自主解答】猜想:BF⊥AE. 理由:∵∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCD=90°.
又∵BC=AC,BD=AE, ∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL).
两直角边 斜边与一条直角边 一锐角与斜边 一锐角与一条直角边
判定方法
SAS HL AAS ASA或AAS
知识点二 直角三角形全等的应用 【示范题2】(2017·双台子区月考)如图,已知Rt△ABC
中,∠ACB=90°,CA=CB,D是AC上一点,E在BC的延长线上,
且AE=BD,BD的延长线与AE交于点F.试通过观察、测量、 猜想等方法来探索BF与AE有何特殊的位置关系,并说明
A.40°
B.50°
C.60°
D.75°
知识点一 直角三角形全等的判定 【示范题1】如图,已知∠A=∠D=90°,E,F在线段BC 上,DE与AF交于点O,且AB=CD,BE=CF. 求证:Rt△ABF≌Rt△DCE.
【备选例题】 (2017·铜陵月考)如图,已知BD为△ABC的中线,CE⊥BD 于点E,AF⊥BD于点F.于是小白说:“BE+BF=2BD”.你认 为他的判断对吗?为什么?2直角三角形 Nhomakorabea第2课时
【基础梳理】 斜边、直角边定理 斜边 和一条_______ 直角边 分别相等的两个_____ 直角 1.文字叙述:_____ HL ”. 三角形全等,简称“斜边、直角边”定理,记作“___
2.符号语言:如图,在Rt△ABC和Rt△DEF中, ∵AB=DE(或AC=DF),BC=EF,
你猜想的正确性.
【思路点拨】猜想:BF⊥AE,先证明△BDC≌△AEC,得出
∠CBD=∠CAE,从而得出∠BFE=90°,即BF⊥AE.
【自主解答】猜想:BF⊥AE. 理由:∵∠ACB=90°,
∴∠ACE=∠BCD=90°.
又∵BC=AC,BD=AE, ∴Rt△BDC≌Rt△AEC(HL).
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°
7．线段的垂直平分线的性质定理及判定定理
性质定理：线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点 的距离 相等 .
判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的 垂直平分线 上． [点拨] 线段的垂直平分线可以看作和线段两个端点距离相
等的所有点的集合．
8．三线共点
三角形三条边的垂直平分线相交于 一点 三角形三个顶点的距离 相等 .
2、如图，在Rt△ABC中，有 ∠ABC=90°，DE是AC的垂直 平分线，交AC于点D，交BC于点 E，∠BAE=20°，则∠C= _________．
5．如图S1－11，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝15°， DE是AB的中垂线，垂足为D，交BC于点E，若BE＝4，则AC＝ ________.
图S1－11
23、（本题9分）如图，在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线MN交AC于点 D，交AB于点E． （1）求证：△ABD是等腰三角形； （2）若∠A=40°，求∠DBC的度数； （3）若AE=6，△CBD的周长为20，求 △ABC的周长．
思考：
4、已知△ABC中, ∠C=900,AD平分∠ CAB,且 AB=8,AC=BC,DE⊥AB,求△BDE的周长？
D (在一个角的内部，到角的两边距离 相等的点在这个角的平分线上.) O
1 2
A C P E B
A
C
1.角是轴对称图形，对称 轴是角平分线所在的直线.
O B 2.用尺规作角的平分线的方法 作法：１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作
弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
1 圆心．大于 ＭＮ的长为 2
半径作弧．两弧在∠AOB
（×）
A
∴
BD = CD
B
在角的平分线上的点到这 ，( 个角的两边的距离相等。 )
B
A C
D
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）
∴
BD = CD ，(
在角的平分线上的点到这 ) 个角的两边的距离相等。
D C
（×）
巩固提高
1．如图1－2，点D在BC上，DE⊥AB， DF⊥AC，且DE＝DF，则线段AD是 △ABC的( B ) A．垂直平分线 B．角平分线 C．高 D．中线
(1)假设命题的结论不成立；
(2)从这个假设出发，应用正确的推论方法，得出与定义、公理、 已证定理或已知条件相矛盾的结果； (3)由矛盾的结果判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 4．等边三角形的判定 (1)有一个角等于60°的 等腰 三角形是等边三角形；
(2)三边相等的三角形叫做等边三角形；
(3)三个角相等的三角形是等边三角形；
(4)有两个角等于60°的三角形是等边三角形． 5．直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直 角边等于斜边的 一半 . 6．勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的 平方 逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么 这个三角形是 直角 三角形．
比比看谁反应快
1、已知等腰三角形的一个内角为40°，则这个等腰三角形的 顶角为 ( )
A．100° B．40° C．100°或 40° D．60 2、等腰三角形的两条边长分别为5 cm和6 cm，则它的周长是____ 3、边长为6 cm的等边三角形中，其一边上高的长度为________
4、下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能 构成直角三角形的是 ( ) A．3，4，5 B．6，8， 10 C. 2，3, 4 D．5，12，13
P
1 C N
2 B
到一条线段两个端点距离相等的点，在 这条线段的垂直平分线上. ∵AB=AC(已知)
∴点A在线段BC的垂直平分 线上
（到一条线段两个端点距离相等的点， 在这条线段的垂直平分线上）
B
A
C
尺规作图
用尺规作线段的垂直平分线. C
已知:线段AB,如图. 求作:线段AB的垂直平分线. A 作法: 1. 分别以点 A 和 B 为圆心 , 以 大于 AB/2 长为半径作弧 , 两 弧交于点C和D. D
C
D
A
E
B
8．小明家有一块△ABC的土地，如图S1－12所示，其三边长
AB＝70米，BC＝90米，AC＝50米，现要把△ABC分成面积比
为5∶7∶9的三部分，分别种植不同的农作物，请你设计一种方
案．
图S1－12
解：如图S1－13所示，分别作∠ACB和∠ABC的平分线，相
交于点D，连接AD，则S△ADC∶S△ADB∶S△BDC＝5∶7∶9.
B
2. 作直线CD.
则直线CD就是线段AB的垂直平分线.
角平分线 角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
∵OP平分∠AOB PD⊥OA,PE⊥OB, ∴PD=PE （角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．）
1
D
A P
C
O
2
E
B
在一个角的内部，到角的两边距离相等 的点在这个角的平分线上.
∵PD⊥OA,PE⊥OB, PD=PE. ∴OP平分∠AOB
9．角平分线的性质定理及判定定理
，并且这一点到
性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离 相等 判定定理：在一个角的内部，且到角的两边 距离 点，在这个角的平分线上．
.
相等的
线段的垂直平分线 线段垂直平分线上的任意一点到这条线 段两个端点的距离相等. M
∵MN⊥AB, CA=CB(已知) ∴PA=PB （线段垂直平分线上的任意一点 到这条线段两个端点的距离相等）A
2、 如图，在△ABC中，∠C＝ 90°，∠BAC的平分线交BC于 点D，若CD＝4，则点D到AB的 距离是________．
3、若点P是△ABC内一点，PD⊥AB于D，PE⊥BC于E， PF⊥AC于F，且PD＝PE＝PF，则点P是△ABC的( C ) A．三条高的交点 B．三条中线的交点
C．三条角平分线的交点
┃知识归纳┃
1．等腰三角形的性质
性质(1)：等腰三角形的两个底角 相等 .
性质 (2) ：等腰三角形顶角的 平分线 、底边上
的 中线
、底边上的高互相重合．
2．等腰三角形的判定
(1)定义：有两条边 相等 的三角形是等腰三角形．
(2)等角对等边：有两个角 相等 的三角形是等腰三角
形．
3．用反证法证明的一般步骤
图S1－13
、（本题6分）某私营企业要修建一个加油站，如图，其 设计要求是，加油站到两村A、B的距离必须相等，且到 两条公路m、n的距离也必须相等， 那么加油站应修在什么位置，在图上标出它的位置．（写 出必要的作图依据，保留作图痕迹）
24
下课了!
结束寄语
• 数学是在混沌中发现有序。 • 证明的规范性在于：条理清晰， 因果相应,言必有据.这是初学证 明者谨记和遵循的原则.
等腰三角形
三 角 形 的 证 明
直角三角形
线段的垂直平分线 角平分线
复习目标：在回顾与思考中建立本章的 知识框架图，复习有关定理的探索与证 明，证明的思路和方法，尺规作图等 本章复习的重难点： 1.等腰三角形、等边三角形的性质和判 定； 2.线段垂直平分线的做法，角平分线 的做法； 3.利用直角三角形、线段垂直平分线、 角平分线的性质灵活解题 （本节课以第2、3两点为主）
D．三条中垂线的交点
7．在平面内，到A，B，C三点距离相等的点有( D ) A．只有一个 C．有三个或三个以上 B．有两个 D．有一个或没有
4 、如图 S1 － 1 ，在△ ABC 中， DE 垂直平分 AC 交 AB 于 E ，
∠A＝30°，∠ACB＝80°，则∠BCE＝________. 50°
２．分别以Ｍ，Ｎ为
A Ｍ Ｃ
的内部交于Ｃ．
３．作射线OC．
则射线ＯＣ即为所求． Ｂ
Ｎ
ＯLeabharlann [注意] 角的平分线是在角的内部的一条射线， 所以它的逆定理必须加上“在角的内部”这个 条件．
10．三角形三条角平分线的性质
三角形的三条角平分线相交于一点，并且这 一点到三条边的距离 相等 .
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）