2021年高二下学期3月月考(数学理)

2021年高二下学期3月月考（数学理）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）

1.抛物线的焦点坐标是（）

A． B． C． D．

2.双曲线的离心率为是（）

A. B. C. D.

3.已知点M（0，1，-2），平面过原点，且垂直于向量，则点M到平面的的距离为

（）

A． B． C． D．

4.若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则满足的条件是（）

A． B．

C． D．，且

5.下面说法正确的有（）（1）演绎推理是由一般到特殊的推理；（2）演绎推理得到的结论一定是正确的；（3）演绎推理一般模式是“三段论”形式；（4）演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形有关

A. 1个

B. 2个

C. 3个

D. 4个

6.给出下面四个类比结论（）

①实数若则或；类比向量若，则或

②实数有类比向量有

③向量，有；类比复数，有

④实数有，则；类比复数，有，则

其中类比结论正确的命题个数为（）

A. 0

B. 1

C. 2

D. 3

7.函数在处的导数等于（）

A．2 B．3 C．4 D．5

8.若椭圆的左、右焦点分别为F

1、F

2

，线段F

1

F

2

被抛物线

的焦点分成5:3两段，则此椭圆的离心率为（） A. B. C. D. 9.若平面的法向量为，平面的法向量为，则平面与夹角的余弦是（）

A. B. C. D. －

10.函数的图像如图，则函数的单调递增区间是

（）

A． B．

C． D．

11.若在上是减函数，则的取值范围是（）

A． B． C． D．

12.过椭圆的一个焦点作垂直于长轴的弦，是另一焦点，若∠，则椭圆的离心率等于

（）

A. B. C. D.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.椭圆上一点P到它的一个焦点的距离等于3，那么点P到另一个焦点的距离等于

.

14.如图所示，函数y＝－x2＋2x＋1与y＝1相交

形成一个闭合图形(图中的阴影部分)，

则该闭合图形的面积是。

15.若直线y=k（x+2）+1与抛物线只有一个公共点，则k的值是。

16.已知都是定义在上的函数，，若，且且)及，则的值为。

三、解答题（本大题共4小题，共40分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17、（本题满分8分)抛物线的顶点在原点，以x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为

135°的直线被抛物线所截得的弦长为8，试求抛物线方程．

18.（本题满分10分)已知点P(3,4)是椭圆x2

a2

＋

y2

b2

＝1(a>b>0)上的一点，F1、F2是椭圆的

两焦点，若PF1⊥PF2，试求：

(1)椭圆方程；

(2)△PF1F2的面积．

19.

（

本

题满分11分)如图所示，已知直四棱柱中，，，且满足

．

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值．

20.（本题满分11分)已知函数.

（Ⅰ）求的最小值；

（Ⅱ）若对所有都有，求实数的取值范围.

高二理科试题参考答案

一、选择题：

二、填空题：

13. 7 14. 15. 0, ,-1. 16.

三、解答题：

17.解析

如图所示，依题意，设抛物线方程为y2＝2px，则直线方程为y＝－x＋

1

2

p.设直线交抛物线于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，过A、B分别作准线的垂线，垂足分别为C、D.

则由抛物线定义得

|AB|＝|AF|＋|FB|＝|AC|＋|BD|

＝x1＋

p

2

＋x2＋

p

2

，………………4分

即x2＋

p

2

＋x2＋

p

2

＝8.①

又A(x1，y1)、B(x2，y2)是抛物线和直线的交点，

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A B C C B C D A D C D

B C

D

C A

由⎩⎨

⎧

y ＝－x ＋12p

y 2

＝2px

消去y ，得x 2－3px ＋p 2

4

＝0，

Δ＝9p 2－4×p 2

4

＝8p 2＞0.

所以x 1＋x 2＝3p . 将其代入①得p ＝2，

所以所求抛物线方程为y 2＝4x .

当抛物线方程设为y 2＝－2px (p ＞0)时，

同理可求得抛物线方程为y 2

＝－4x .

故所求抛物线方程为y 2＝4x 或y 2＝－4x .………………8分 18.解：(1)法一：令F 1(－c,0)，F 2(c,0)，

∵PF 1⊥PF 2，∴kPF 1·kPF 2＝－1，………………3分

即43＋c ·43－c

＝－1，解得c ＝5， ∴椭圆方程为x 2a 2＋y

2

a 2－25

＝1.

∵点P (3,4)在椭圆上， ∴9a 2＋16a 2－25

＝1， 解得a 2＝45或a 2＝5，

又a >c ，∴a 2＝5舍去， 故所求椭圆方程为

x 245＋y 2

20

＝1.………………5分 法二：∵PF 1⊥PF 2，

∴△PF 1F 2为直角三角形，

∴|OP |＝1

2|F 1F 2|＝c .

又|OP |＝32＋42＝5，∴c ＝5，

∴椭圆方程为x 2a 2＋y 2

a 2－25

＝1(以下同法一)．………………5分

(2)法一：P 点纵坐标的值即为F 1F 2边上的高， ∴S △PF 1F 2＝12|F 1F 2|×4＝1

2

×10×4＝20.………………10分

法二：由椭圆定义知：|PF 1|＋|PF 2|＝65①

又|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2②

①2－②得2|PF 1|·|PF 2|＝80，

∴S △PF 1F 2＝1

2

|PF 1|.|PF 2|＝20 (10)

分 19.解：（I ）以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则

…………… 2分

111(1,1,0),(1,1,0),(0,0,2)3110BD BC

405DB BC BB BD BC BD BB BD BB ==-=⋯⋯⋅=-+=⇒⊥⋯⋯⋯⋅=⇒⊥⋯⋯⋯⋯⋯分分

分

又因为

所以，平面 …………… 6分 （Ⅱ）设为平面的一个法向量。

11,,(1,0,2),(1,1,0),n DA n DB DA DB ⊥⊥==由

得

取，则 ……………… 8分 又，

设为平面的一个法向量，由，， 得

取取 …………………8分

设与的夹角为，二面角为，显然为锐角， ，即为所求 ………………… 11分

20解：的定义域为， …………1分 的导数. ………………3分 令，解得；令，解得.

从而在单调递减，在单调递增. ………………4分

所以，当时，取得最小值. ………………………… 5分 （Ⅱ）解法一：令，则， ……………………7分 ① 若，当时，， 故在上为增函数， 所以，时，，即.…………………… 8分 ② 若，方程的根为 ，

此时，若，则，故在该区间为减函数. 所以时，，