理论力学第11章n质点系动量定理与动量矩定理程

角速度 转动时，电动机所受的
总水平反力和铅直反力。
例题 11-5
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理 例题 11-5
已知 定子质量 m1，转子质量 m2，偏
心距 e。求转子以匀角速度 转动时，
电动机所受的总水平、铅直反力。
解：研究对象：电动机（包括定子
y
ω
O1
a2
e ωt
xC
m1xC1 m2 xC2 m1 m2
m1xC1 m2 e cost xC1
m1 m2
0
xC1
m2e m1
cost
m2
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理 例题 11-4
yC
m1 yC1 m2 yC 2 m1 m2
m1h m2 h e sint
11.1 质点系动量定理
2.质点系动量定理
质点系动量守恒
v P
常矢量
Px 常量
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理 例题 11-1
例 11-2 火炮（包括炮车与炮筒）
的质量是 m1，炮弹的质量是 m2， 炮弹相对炮车的发射速度是 vr，炮
筒对水平面的仰角是 （图a）。设
A
x
vcos = vrcos v1
（2）
B
FA m1g FB
vsin = vrsin
（3）
(a)
联立求解上列三个方程，即得
v1
m2 m1 m2
vr
cos
v
1
(2m1 m2)m2 (m1 m2)2
cos 2
vr
v vr
ve
(b)
tan (1 m2 )tan
m1
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
Pz miviz mvCz mI vICz
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理
1.质点系的动量
P mivi
PmBvBmNvC mAvA
P mI vIC P mIAv1A mBvB
mAv A
mBvB
m mvC
v P
mvvC
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理
1.质点系的动量
v
P v P
mi mvvC
vvi
质点系的动量等于各质点动量矢量和； 质点系的动量等于质心的动量。
v
P
N
mI vvIC
质点系的动量等于各部分质心的动量矢量和。
I 1
Px mivix mvCx mI vICx
Py miviy mvCy mI vICy
O2
x
m2g
m1g
和转子）
受力分析：如图所示
由质心运动定理
N mI avIC
v F
e
I 1
m2a2 cost Fx
( 1)
m2a2 sin t Fy m1g m2g
( 2)
求得 Fx = m2eω2cosωt
Fy = (m1 + m2)g m2eω2sinωt
Fy Fx
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
例11-4 电动机置于光滑水平面上，定子质
量为 m1，质心 C1与转子转轴重合 ；转子质 xC1 y
量为 m2 ，偏心距 C1C2 = e。初始静止。
C
C2
求：当转子以等角速度旋转时，定子
质心C1在水平方向的运动规律及电动
C
m1g1
m2g
机跳起的条件
解：取电机作为研究对象
x
受力分析如图所示
Fy
Q Fxe 0，且vCx 0 xC 常量
面的仰角是 （图b）。 p0x = 0 = px = m2vcos m1v1
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理 例题 11-1
px = m2vcos m 1v1 = 0 （1） y
vr
对于炮弹应用速度合成定理，可得
α
va = ve + vr
v1
m2g
其中：va=v， ve = v1
d
dt
Py
Fye
v v
P2 P1
t2 t1
v
Fiedt
t2 t1
v Fie
dt
v
d
dt
Pz
Fze
Ie
v v P2 P1
v Ie
P2 P2
x y
P1x P1 y
I
e x
I
e y
P2z P1z
I
e z
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理
vC1x 0
xC1 xC 2 常量
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理
3.质心运动定理 实例分析：汽车的启动与制动
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理
3.质心运动定理 实 例 分 析
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理 例题 11-4
=20m/s沿水平方向射入一直角的光滑叶片上如图所示。
水的密度为1000kg/m3。试求水柱对叶片的附加动压力。
解：研究对象：管出口至1-1之间的流体。
1
受力分析：如图所示
v0x v； v0 y 0 v1x 0； v1y v
v
x
y
1
Fx
Fy
Fx qv(v1x v0x )
d 2 v(0 v)
b b1
q A v A v 将令d因Ft动q内为Fv(为W量d质管P流定F量内a体理改静流FbPW )在应变动a约1qbv单用1量是(vF束位b于为稳FPv时aa所a力定)db间研m的FqF内究P，vbb流的qbd1(vt过质v时q附bdP截点v间taa加面系1间v(的v，a动隔)b体则内压积有质v力流a点)量F系，动"ρ量为设别缩的密变度截为流v化。面A体为因a和的a为a流a与A连体b，ab续不b由的性可压不面定b缩可积律，b压分知所以
11.1 质点系动量定理
思考
圆轮半径为R，质量m，地面光滑，初始静止，经
过△t，以下3种情况，哪个轮心C速度快?
F
M=FR
F
C
C
C
（a）
（b）
（c）
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.2 质点系动量矩定理
1.质点系的动量矩
v
LO
v MO
(mi
vvi
)
(rvi mivvi )
Lz Mz (mivvi )
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理
质心 —质点系质量分布的中心
质心位置：rvC
mirvi mi
mi rvi m
其中： mi m —质点系总质量
z
C mi
rC
xC
mi xi m
ri
O
y
yC
mi yi m
x
zC
mi zi m
mrvC mirvi
地球附近：质心与重心重合 mvvC mrv&C mirv&i mivvi
v [LO ]z Lz
转动刚体对转轴的动量矩
Lz Mz (mivvi ) mivi ri
质点系对某点O的动 量矩在过该点的轴上 的投影等于质点系对 该轴的动量矩
动力学
第11章 质点系动量 定理与动量矩定理
第11章西安质点交系通动大量学定理城与市动学量院矩定理
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1
质点系动量定理
11.2
质点系动量矩定理
质点系以外质点对质点系内第i质点的作用力合力Fie —质点系外力
质点系以内其它质点对第i质点的作用力合力Fii —质点系内力
变量为
dm qvdt
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理 例题 11-2
解：因为管内流动是稳定的，
dt 时间间隔内质点系动量
的变化为
vv v v v
dP
Pqav1b1 dtP(avbvbPbvvb1a)
Paa1
va Fa
a
a1
a a1
FW
b b1Fb
vb
b b1
将动量定理应用于所研究的质点系
m1g m2 g
m2e
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理
例11-5 电动机的外壳用螺栓固 定在水平基础上，定子的质量是 m1，转子的质量是 m2，转子的轴 线通过定子的质心 O1。制造和安 装的误差，使转子的质心 O2对它 的轴线有一个很小的偏心距 e （图中有意夸张）。求转子以匀
v dP dt
qv
(vvb
vva
wk.baidu.com
)
v W
v Fa
v Fb
v F
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理
讨论
v2
不可压缩的流体以某一额定
流量流经图示两种弯角不同
的等直径水平弯管时，管道
在两法兰处的受力大小是否
相等？为什么？
v1
(a)
v1
v2
(b)
令d因t q内F为v为质管F(W流量内体F改流a 静在F变动Wb)约单量是qv束位为稳(Fvb力时a定vFa间)的dFm内b，流dt过qq附时vv截加间d(面动tv间b的压隔体力内v积aF质)"流点量系，动ρ量为设别缩的密截为流变度化。面A体为因a和a的为a与A连流b体，b续b不由的性可面不定压缩积可律，分压知所以
将动量d定P理应P用a1b1F于所Pa研b q究v的Pbb(质1v点b P系aav1，a则) 有
qv Aava Abvb
dP dt
qv (vb
va)
W
Fa
Fb
F
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理 例题 11-3
例11-3 水管的出口直径d =25mm，喷射出的水柱以速度v
例 11-2 流体在变截面弯管中流动, 设流体不可压缩,且是定常流动.求管 壁的附加动约束力.
解：研究对象：管中截面aa与bb之
间的流体。
受力分析：如图所示
令qv为流体在单位时间内流过截 面的体积流量，ρ为密度。因为
va Fa
a
a1
a a1
FW
b b1Fb
vb
b b1
流体不可压缩，所以dt 内质量改
11.1 质点系动量定理
1.质点系的动量
lAB = lDE = lBD = l
mAB = mDE = mBD = m
v
P
3
mI vvIC = mABvvC1 + mDEvvC2 + mBDvvC3
I=1
A
vC1 C1
B
C3
vC3
D
vC 2 C2
E
Px
=
3 I=1
mI vICx
=
m
l 2
+
m
l 2
火炮放在光滑水平面上，且炮筒与
炮车相固连，试求火炮的后坐速度
y
v1
A B
FA m1g FB
vr
α
m2g x
和炮弹的发射速度。
(a)
解：研究对象：火炮和炮弹系统（包括炸药）。 v
vr
受力分析：图(a)示。外力 Fix = 0。 运动分析：设火炮的反座速度是 ve
(b)
v1，炮弹的发射速度是 v，对水平
v dP dt
qv
(vvb
vva
)
v W
v Fa
v Fb
v F
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理 例题 11-2
解：研究对象：管中截面aa与bb之间的流体。
受力分析：如图所示 经过时间间隔dt，流到截面a1a1与b1b1之间。
va Fa
a
a1
a a1
FW
b b1Fb
vb
mvvC
mavC
v
Fe
mmaaCCyx
mxC myC
Fx e Fye
maCz
mzC
Fze
v
P
N
mI vvIC
I 1
N mI avIC
v Fe
I 1
v
Fe 0
v
Fxe 0
质心运动守恒 vvC2 vvC1 常矢量
vvC1 0
质心位置守恒
rvC1 rvC 2 常矢量
vC2x vC1x 常量
+
ml
= 2ml
3
Py = mI vICy = 0 I=1
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理
2.质点系动量定理
第i质点：作用内力 Fii ；外力 Fie ；动量 mivi
质点系：
d dt
mi vi
Fii
0
Fie
d
dt
Px
Fxe
d dt
mi vvi
d dt
v P
v
Fe
2.质点系动量定理
第i质点：作用内力 Fii ；外力 Fie ；动量 mivi
质点系：
d dt
mi vi
Fii
0
Fie
d
dt
Px
Fxe
d dt
mi vvi
d dt
v P
v
Fe
d
dt
Py
Fye
v
d
dt
Pz
Fze
Fe 0
Fxe 0
质点系动量守恒
v P
常矢量
Px 常量
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理
讨论
y
tan (1 m2 )tan
u
m1
A
B
FA m1g FB
由上式可见，v与vr方向不同，θ＞α。 (a)
vr
α
m2g x
当m1 >>m2 时，θ≈α。但在军舰或车上
时，应该考虑修正量 m2/m1。
ve
v vr
(b)
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理 例题 11-2
4
0.0252 201000(0 20)
4
196.25N
Fy qv (v1y v0y )
d 2 v(v 0)
4
0.0252 209800(20 0)
4
196.25N
第11章 质点系动量定理与动量矩定理
11.1 质点系动量定理
3.质心运动定理
v P
mvvC
d dt
P
F
e
d dt
m1 m2
xC1 y
&y&C
aCy
m2e2 sint
m1 m2
由maCy Fye
C
C2
yC
C
m1g1
m2g
m2e2sint Fy m1g m2g
x
Fy m1g m2g m2e2sint
当偏心转子质心C2运动到最上方时， t =/2, Fy
电动机跳起的条件为：
Fy m1g m2g m2e2 0