离散数学课件-15-欧拉图与哈密顿图
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(1) G 不含割边； (2) 对 ∀u,v ∈V (G)，存在圈 C，使 u,v 均在 C 上。 证明 (1) G，欧拉图 G ⇒ G 存在欧拉回路 C′ 设 C′=v1v2…vnv1。
任取 e∈E(G)，因 C′包含 G 的所有边，故存在 vi,vi+1∈V(G)，使 e=(vi,vi+1)(或 e=〈vi,vi+1〉)。此时
C′-e=vi+1vi+2"vnv1v2"vi 是 G-e 的欧拉通路，故 G-e 连通，即 e 不是割边。
(2) 任取 u,v∈V(G)，因 G 连通，故存在(u,v)- 路 径 P。由(1)，G 无割边，故 G-E(P)仍连通 ⇒ 其中 存在(u,v)-路径 P′。因 P 与 P′边不重，故 P∪P′=C 即是简单回路，且包含 u,v。
0 =
∞
取定 v1∈V，求 v1 到其它顶点 vi 的最短路径。
10
对每个顶点 vi 进行标号：
P 标号：li∗ = v1到vi 最短路径的长 永久性标号 T 标号：li = v1到vi 最短路径长的上界 临时性标号
初始化：v1获 P 标号l1∗ = 0Leabharlann Baidu v j ( j > 1)获 T 标号 l j = w1 j ，P0={v1},T0=V-P0
例
V1={v1,v3} p(G-V1)=4 > |V1|=2 ⇒ 此图不是哈密顿图和半哈密顿图
例 有割点或割边的无向连通图不是哈密顿图。
6
定理 设 G 是一个 n 阶简单无向图，若 G 中任 意不相邻顶点 u,v 均满足 d(u)+d(v)≥n-1，则 G 是半 哈密顿图。
推论 设 G 是一个 n 阶简单无向图，若 G 中任 意不相邻顶点 u,v 均满足 d(u)+d(v)≥n，则 G 是哈密 顿图。
8
解 构造 8 阶无向图 G=〈V,E〉，V={8 个人}， ∀u,v ∈V , (u,v)∈ E ⇔ u 与 v 可交谈
由假设，对 ∀u,v ∈V ，若 u 与 v 不相邻，则 d(u)+d(v)≥8。于是，G 是哈密顿图，存在哈密顿回 路 C=v1v2"v8v1，按 C 的顺序安排 8 个人座次。
定理 设 G=〈V,E〉是一个无向哈密顿图，则对 ∀V1 ⊂ V , V1 ≠ ∅，均有 p(G-V1) ≤ |V1|。
5
证明 设 C 是 G 的哈密顿回路，则 p(C-V1)≤|V1|
因为 C 是 G 的生成子图，故 p(G-V1) ≤ p(C-V1) ≤|V1|
推论 设 G=〈V,E〉是一个无向半哈密顿图，则 对∀V1 ⊂ V , V1 ≠ ∅，均有 P(G-V1) ≤ |V1|+1。
例
4
P0=v2, G0=G P1=v2e2v3, G1=G-{e2} P2=v2e2v3e3v4, G2=G-{e2,e3} P3=v2e2v3e3v4e11v9, G3=G-{e2,e3,e11} P4=v2e2v3e3v4e11v9e10v2, G4=G-{e2,e3,e11,e10} P5=v2e2v3e3v4e11v9e10v2e1v1,
③v0v1v2v4,
4
④v0v1v2v4v3,
7
⑤v0v1v2v4v3v5, 9
12
定义 设 D=〈V,E,W〉是一个简单有向带权图： 不含有向回路，每条边的权非负，存在一个入度为
0 的顶点（发点 v1）和一个出度为 0 的顶点（收点 vn），则从发点到收点的权最大的路径称为关键路 径。
最早完成时间 TE(vi)：
14
③ 缓冲时间： TS(v1)=TS(v3)=TS(v7)=TS(v8)=0 TS(v2)=1,TS(v4)=2,TS(v5)=2,TS(v6)=2 由此得关键路径为 v1v3v7v8
15
{ } TE(v1 ) = 0, TE(vi ) = max TE(v j ) + wij , i = 2, 3,", n
v
j
∈
Γ
− D
(vi
)
最晚完成时间 TL(vi)：
{ } TL(vn ) = TE(vn ),TL(vi ) = min TL(v j ) + wij
i = n − 1, n − 2,", 2,1,
例
是哈密顿图（正二十面体），
是半哈密顿图。
9
§3 带权图，最短路径，关键路径
定义 给定图 G=〈V,E〉，设 W：E→R，对任意 e∈E，称 W(e)为边 e 上的权。把 W(e)标记在 e 上， 则称 G 为带权图，记为 G =〈V，E，W〉。
注 ① 若 e=(vi,vj) 或 e =〈vi,vj〉，则记 W(e)=wij
② 对 G′⊆G，记 W(G′)= ∑ W (e)，称为子图 e∈E (G′ )
G′的权。
定义 设 G=〈V,E,W〉是一个无向带权图，每 条边上的权均非负，则称 G 中权最小的(u,v)-路径为 u 到 v 的最短路径。
标记法：
G
=〈V,E,W〉
⎧∀e ⎨⎩(ui
∈ ,v
E, j)∉
W (e) ≥ E, wij
对有向图和无向图，有一个公共的性质： 定理：非平凡连通图 G 是欧拉图充要条件为 G 是圈的边不重并。 例
v9
G=C1∪C2∪C3 C1：v1v2v3v4v5v6v7v8v1 C2：v2v4v6v8v2 C3：v2v9v6v2 C4：v4v9v8v4
2
例 设 G 是一个非平凡不含环的无向欧拉图， 则
第十五章 欧拉图与哈密顿图
§1 欧拉图
定义：通过图的全部边及全部顶点的简单通路 （简单回路）称为欧拉通路（欧拉回路）；有欧拉回 路（欧拉通路）的图称为欧拉图（半欧拉图）。
定理 设 G 是一个无向图，则 G 是欧拉图的充 要条件是 G 连通且无奇度点。
推论 设 G 是一个无向图，则 G 是半欧拉图的 充要条件是 G 连通且恰有两个奇度点。
3
例 寻找欧拉回路的 Fleury 算法： 设 G 是非平凡无向欧拉图 (1) v0∈V(G)，令 P0=v0 (2) 设已得 Pi=v0e1v1e2"eivi，在 E(G)-{e1,",ei} 中选 ei+1： (i) ei+1 与 vi 关联 (ii)除非别无选择，否则 ei+1 不能是 Gi=G-{e1, ",ei}中的割边 (3) 重复过程(2)，当无法进行时，算法停止。 最后得到的 Pm=v0e1v1e2…emvm(=v0)必是欧拉回 路。
③ Pr=Pr-1∪{vj}，Tr=Tr-1-{vj}
重复上述过程，直到所有顶点都获得 P 标号为 止。
11
例
顶点 v0 v1 v2 v3 v4 v5
步数
0 0 1 4 ∞∞∞
1
1/v0 3 8 6 ∞
2
3/v1 8 4 ∞
3
7 4/v2 10
4
7/v4
9
5
9/v3
①v0v1,
1
②v0v1v2,
3
定理 设 G 是一个 n 阶无向图，u,v∈V(G)。若 u 与 v 不相邻且 d(u)+d(v)≥n，则 G 是哈密顿图的充要 条件是 G+(u,v)是哈密顿图。
证明 “⇒”G 是哈密顿图⇒有哈密顿回路 C ⇒C 也是 G+(u,v)的哈密顿回路 ⇒G+(u,v)是哈密顿图
“⇐”G+(u,V)是哈密顿图⇒有哈密顿回路 C ① C 不含边(u,v)⇒C 是 G 的哈密顿回路 ⇒G 是哈密顿图 ② C 含边(u,v)⇒P=C-(u,v)是 G 的哈密顿通路
中间结果：已获 P 标号顶点集 Pr-1，已获 T 标 号顶点集 Tr-1=V-Pr-1
修正：
① 设 l j = min{li | vi ∈ Tr−1}，将 vj 的 T 标号改
为
P
标号
l
∗ j
=
lj
② 对∀vi ∈ Tr−1 , i ≠ j ，把 vi 的 T 标号改为
min{li , l∗j + w ji }
一笔画问题由此解决，哥尼斯堡七桥问题由此 解决。
定理 设 D 是一个有向图，则 D 是欧拉图的充 要条件是 G 连通且每个顶点的出度都与入度相等。
定理 设 D 是一个有向图，则 D 是半欧拉图的 充要条件是 D 连通且存在 u,v∈V(D)，使
1
d+(u)= d − (u)+1，d − (v)=d+(v)+1 而对 ∀w = V (D) − {u,v}，均有 d+(w)=d − (w)。
v
j
∈
Γ
+ D
(vi
)
缓冲时间：ES(vi)=TL(vi)-TE(vi), i=1,2,…,n 关键路径上各顶点的缓冲时间均为 0
13
例
① 最早完成时间： TE(v1) = 0 TE (v2) = max{0+1}=1 TE (v3) = max{0+2,1+0}=2 TE (v4) = max{0+3,2+2}=4 TE (v5) = max{1+3,4+4}=8 TE(v6)= max{2+4,8+1}=9 TE(v7)= max{1+4,2+4}=6 TE(v8)= max{9+1,6+6}=12 ② 最晚完成时间： TL(V8)=12，TL(v7)=min{12-6}=6 TL(v6)= min {12-1}=11，TL(v5)= min {11-1}=10 TL(v4)= min {10-4}=6， TL(v3)= min {6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2， TL(v1)= min {2-1,2-2,6-3}=0
d(u)+d(v)=d(v1)+d(vn) ≤ k+[(n-2)-(k-1)]=n-1< n 矛盾 设 vn 与vir −1相邻 (2≤ r ≤ k)，则
C = v1v2 "vir −1vnvn−1 "vir v1 是 G 的哈密顿回路，因此 G 是哈密顿图。
例 8 人参加会议，任意两个无法交谈的人中每 个人与其它可交谈的人数之和不小于 8，问能否将 这 8 人排在圆桌旁，使相邻的人都可交谈？
G5=G-{e2,e3,e11,e10,e1} P6=v2e2v3e3v4e11v9e10v2e1v1e8v8,
G6=G-{e2,e3,e11,e10,e1,e8} 构成 P7 时，可选 e7 或 e14，但不能选 e9，因为 e9 是 割边。
§2 哈密顿图
定义 经过图的所有顶点的路径（圈）称为哈密 顿通路（哈密顿回路或哈密顿圈）；有哈密顿回路（哈 密顿通路）的图称哈密顿图（半哈密顿图）。
7
P=v1v2"vn, v1=u,vn=v 设 v1 与vi1 , vi2 ,", vik 相邻，这里 2=i1<i2<"<ik<n 则 k ≥ 2，否则
d(u)+d(v)=d(v1)+d(vn)=1+d(vn) ≤ 1+(n-2)=n-1< n 矛盾 此时，vn 至少与vi2 −1,vi3 −1,", vik −1之一相邻，否 则
任取 e∈E(G)，因 C′包含 G 的所有边，故存在 vi,vi+1∈V(G)，使 e=(vi,vi+1)(或 e=〈vi,vi+1〉)。此时
C′-e=vi+1vi+2"vnv1v2"vi 是 G-e 的欧拉通路，故 G-e 连通，即 e 不是割边。
(2) 任取 u,v∈V(G)，因 G 连通，故存在(u,v)- 路 径 P。由(1)，G 无割边，故 G-E(P)仍连通 ⇒ 其中 存在(u,v)-路径 P′。因 P 与 P′边不重，故 P∪P′=C 即是简单回路，且包含 u,v。
0 =
∞
取定 v1∈V，求 v1 到其它顶点 vi 的最短路径。
10
对每个顶点 vi 进行标号：
P 标号：li∗ = v1到vi 最短路径的长 永久性标号 T 标号：li = v1到vi 最短路径长的上界 临时性标号
初始化：v1获 P 标号l1∗ = 0Leabharlann Baidu v j ( j > 1)获 T 标号 l j = w1 j ，P0={v1},T0=V-P0
例
V1={v1,v3} p(G-V1)=4 > |V1|=2 ⇒ 此图不是哈密顿图和半哈密顿图
例 有割点或割边的无向连通图不是哈密顿图。
6
定理 设 G 是一个 n 阶简单无向图，若 G 中任 意不相邻顶点 u,v 均满足 d(u)+d(v)≥n-1，则 G 是半 哈密顿图。
推论 设 G 是一个 n 阶简单无向图，若 G 中任 意不相邻顶点 u,v 均满足 d(u)+d(v)≥n，则 G 是哈密 顿图。
8
解 构造 8 阶无向图 G=〈V,E〉，V={8 个人}， ∀u,v ∈V , (u,v)∈ E ⇔ u 与 v 可交谈
由假设，对 ∀u,v ∈V ，若 u 与 v 不相邻，则 d(u)+d(v)≥8。于是，G 是哈密顿图，存在哈密顿回 路 C=v1v2"v8v1，按 C 的顺序安排 8 个人座次。
定理 设 G=〈V,E〉是一个无向哈密顿图，则对 ∀V1 ⊂ V , V1 ≠ ∅，均有 p(G-V1) ≤ |V1|。
5
证明 设 C 是 G 的哈密顿回路，则 p(C-V1)≤|V1|
因为 C 是 G 的生成子图，故 p(G-V1) ≤ p(C-V1) ≤|V1|
推论 设 G=〈V,E〉是一个无向半哈密顿图，则 对∀V1 ⊂ V , V1 ≠ ∅，均有 P(G-V1) ≤ |V1|+1。
例
4
P0=v2, G0=G P1=v2e2v3, G1=G-{e2} P2=v2e2v3e3v4, G2=G-{e2,e3} P3=v2e2v3e3v4e11v9, G3=G-{e2,e3,e11} P4=v2e2v3e3v4e11v9e10v2, G4=G-{e2,e3,e11,e10} P5=v2e2v3e3v4e11v9e10v2e1v1,
③v0v1v2v4,
4
④v0v1v2v4v3,
7
⑤v0v1v2v4v3v5, 9
12
定义 设 D=〈V,E,W〉是一个简单有向带权图： 不含有向回路，每条边的权非负，存在一个入度为
0 的顶点（发点 v1）和一个出度为 0 的顶点（收点 vn），则从发点到收点的权最大的路径称为关键路 径。
最早完成时间 TE(vi)：
14
③ 缓冲时间： TS(v1)=TS(v3)=TS(v7)=TS(v8)=0 TS(v2)=1,TS(v4)=2,TS(v5)=2,TS(v6)=2 由此得关键路径为 v1v3v7v8
15
{ } TE(v1 ) = 0, TE(vi ) = max TE(v j ) + wij , i = 2, 3,", n
v
j
∈
Γ
− D
(vi
)
最晚完成时间 TL(vi)：
{ } TL(vn ) = TE(vn ),TL(vi ) = min TL(v j ) + wij
i = n − 1, n − 2,", 2,1,
例
是哈密顿图（正二十面体），
是半哈密顿图。
9
§3 带权图，最短路径，关键路径
定义 给定图 G=〈V,E〉，设 W：E→R，对任意 e∈E，称 W(e)为边 e 上的权。把 W(e)标记在 e 上， 则称 G 为带权图，记为 G =〈V，E，W〉。
注 ① 若 e=(vi,vj) 或 e =〈vi,vj〉，则记 W(e)=wij
② 对 G′⊆G，记 W(G′)= ∑ W (e)，称为子图 e∈E (G′ )
G′的权。
定义 设 G=〈V,E,W〉是一个无向带权图，每 条边上的权均非负，则称 G 中权最小的(u,v)-路径为 u 到 v 的最短路径。
标记法：
G
=〈V,E,W〉
⎧∀e ⎨⎩(ui
∈ ,v
E, j)∉
W (e) ≥ E, wij
对有向图和无向图，有一个公共的性质： 定理：非平凡连通图 G 是欧拉图充要条件为 G 是圈的边不重并。 例
v9
G=C1∪C2∪C3 C1：v1v2v3v4v5v6v7v8v1 C2：v2v4v6v8v2 C3：v2v9v6v2 C4：v4v9v8v4
2
例 设 G 是一个非平凡不含环的无向欧拉图， 则
第十五章 欧拉图与哈密顿图
§1 欧拉图
定义：通过图的全部边及全部顶点的简单通路 （简单回路）称为欧拉通路（欧拉回路）；有欧拉回 路（欧拉通路）的图称为欧拉图（半欧拉图）。
定理 设 G 是一个无向图，则 G 是欧拉图的充 要条件是 G 连通且无奇度点。
推论 设 G 是一个无向图，则 G 是半欧拉图的 充要条件是 G 连通且恰有两个奇度点。
3
例 寻找欧拉回路的 Fleury 算法： 设 G 是非平凡无向欧拉图 (1) v0∈V(G)，令 P0=v0 (2) 设已得 Pi=v0e1v1e2"eivi，在 E(G)-{e1,",ei} 中选 ei+1： (i) ei+1 与 vi 关联 (ii)除非别无选择，否则 ei+1 不能是 Gi=G-{e1, ",ei}中的割边 (3) 重复过程(2)，当无法进行时，算法停止。 最后得到的 Pm=v0e1v1e2…emvm(=v0)必是欧拉回 路。
③ Pr=Pr-1∪{vj}，Tr=Tr-1-{vj}
重复上述过程，直到所有顶点都获得 P 标号为 止。
11
例
顶点 v0 v1 v2 v3 v4 v5
步数
0 0 1 4 ∞∞∞
1
1/v0 3 8 6 ∞
2
3/v1 8 4 ∞
3
7 4/v2 10
4
7/v4
9
5
9/v3
①v0v1,
1
②v0v1v2,
3
定理 设 G 是一个 n 阶无向图，u,v∈V(G)。若 u 与 v 不相邻且 d(u)+d(v)≥n，则 G 是哈密顿图的充要 条件是 G+(u,v)是哈密顿图。
证明 “⇒”G 是哈密顿图⇒有哈密顿回路 C ⇒C 也是 G+(u,v)的哈密顿回路 ⇒G+(u,v)是哈密顿图
“⇐”G+(u,V)是哈密顿图⇒有哈密顿回路 C ① C 不含边(u,v)⇒C 是 G 的哈密顿回路 ⇒G 是哈密顿图 ② C 含边(u,v)⇒P=C-(u,v)是 G 的哈密顿通路
中间结果：已获 P 标号顶点集 Pr-1，已获 T 标 号顶点集 Tr-1=V-Pr-1
修正：
① 设 l j = min{li | vi ∈ Tr−1}，将 vj 的 T 标号改
为
P
标号
l
∗ j
=
lj
② 对∀vi ∈ Tr−1 , i ≠ j ，把 vi 的 T 标号改为
min{li , l∗j + w ji }
一笔画问题由此解决，哥尼斯堡七桥问题由此 解决。
定理 设 D 是一个有向图，则 D 是欧拉图的充 要条件是 G 连通且每个顶点的出度都与入度相等。
定理 设 D 是一个有向图，则 D 是半欧拉图的 充要条件是 D 连通且存在 u,v∈V(D)，使
1
d+(u)= d − (u)+1，d − (v)=d+(v)+1 而对 ∀w = V (D) − {u,v}，均有 d+(w)=d − (w)。
v
j
∈
Γ
+ D
(vi
)
缓冲时间：ES(vi)=TL(vi)-TE(vi), i=1,2,…,n 关键路径上各顶点的缓冲时间均为 0
13
例
① 最早完成时间： TE(v1) = 0 TE (v2) = max{0+1}=1 TE (v3) = max{0+2,1+0}=2 TE (v4) = max{0+3,2+2}=4 TE (v5) = max{1+3,4+4}=8 TE(v6)= max{2+4,8+1}=9 TE(v7)= max{1+4,2+4}=6 TE(v8)= max{9+1,6+6}=12 ② 最晚完成时间： TL(V8)=12，TL(v7)=min{12-6}=6 TL(v6)= min {12-1}=11，TL(v5)= min {11-1}=10 TL(v4)= min {10-4}=6， TL(v3)= min {6-2,11-4,6-4}=2 TL(v2)=min{2-0,10-3,6-4}=2， TL(v1)= min {2-1,2-2,6-3}=0
d(u)+d(v)=d(v1)+d(vn) ≤ k+[(n-2)-(k-1)]=n-1< n 矛盾 设 vn 与vir −1相邻 (2≤ r ≤ k)，则
C = v1v2 "vir −1vnvn−1 "vir v1 是 G 的哈密顿回路，因此 G 是哈密顿图。
例 8 人参加会议，任意两个无法交谈的人中每 个人与其它可交谈的人数之和不小于 8，问能否将 这 8 人排在圆桌旁，使相邻的人都可交谈？
G5=G-{e2,e3,e11,e10,e1} P6=v2e2v3e3v4e11v9e10v2e1v1e8v8,
G6=G-{e2,e3,e11,e10,e1,e8} 构成 P7 时，可选 e7 或 e14，但不能选 e9，因为 e9 是 割边。
§2 哈密顿图
定义 经过图的所有顶点的路径（圈）称为哈密 顿通路（哈密顿回路或哈密顿圈）；有哈密顿回路（哈 密顿通路）的图称哈密顿图（半哈密顿图）。
7
P=v1v2"vn, v1=u,vn=v 设 v1 与vi1 , vi2 ,", vik 相邻，这里 2=i1<i2<"<ik<n 则 k ≥ 2，否则
d(u)+d(v)=d(v1)+d(vn)=1+d(vn) ≤ 1+(n-2)=n-1< n 矛盾 此时，vn 至少与vi2 −1,vi3 −1,", vik −1之一相邻，否 则