《正弦定理》PPT课件
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6.4.3 第2课时 正弦定理PPT课件(人教版)
sin
=
sin
cos
=
;
,则角 C=
答案:(1)4 (2)45°
解析:(1)因为
=
,
sin
sin
sin
4
所以
= = =4;
sin
(2)因为sin = sin,又因为sin
=
所以 sin C=cos C,所以 C=45°.
,
cos
.
课前篇自主预习
一
1
1
2
2
= acsin B= bcsin A.
(3)三角形面积公式的其他形式:
①S△ABC= 4 ,其中 R 为△ABC 的外接圆半径;
②S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中 R 为△ABC 的外接圆半径;
1
③S△ABC=2(a+b+c)r,其中 r 为△ABC 的内切圆半径;
2
2 +2 -
-·
2
2
·b=
+2 -2
-·
2
·a,
整理,得(a2+b2-c2)b2=(a2+b2-c2)a2,即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0,∴
a2+b2-c2=0 或 a2=b2.∴a2+b2=c2 或 a=b.故△ABC 为直角三角形或等
腰三角形.
解法二根据正弦定理,原等式可化为(sin A-sin Ccos B)sin B=(sin
A,b=2Rsin B,c=2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径);② = sin , =
人教版高中数学必修2《正弦定理》PPT课件
2．正弦定理的常见变形：
(1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(2)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR(R 为△ABC 外接圆的半径)．
(3)三角形的边长之比等于对应角的正弦比，即 a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C.
题型一 已知两角及一边解三角形
【学透用活】
[典例 1] (1)在△ABC 中，c＝ 3，A＝75°，B＝60°，则 b 等于 ( )
32 A. 2
3 B.2 2
3
6
C.2
D. 2
(2)在△ABC 中，已知 BC＝12，A＝60°，B＝45°，则 AC＝_________.
[解析] (1)因为 A＝75°，B＝60°，
[方法技巧] 判断三角形的形状，就是根据题目条件，分析其是不是等腰三角形、直角
三角形、等边三角形、等腰直角三角形、锐角三角形、钝角三角形等．利用正
弦定理判断三角形形状的方法如下：
(1)化边为角，走三角变形之路，常用的转化方式有：①a＝2Rsin A，b＝2Rsin
B，c＝2Rsin
C(R
为△ABC
＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为
()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
解析：由射影定理得 bcos C＋ccos B＝a，则 a＝asin A，于是 sin A＝ 1，即 A＝90°，所以△ABC 的形状为直角三角形．
答案：B
[应用二] 设△ABC 的内角 A，B，C 所对应的边分别为 a，b，c.已知 bcos
形，故选 D.
答案：D
正弦定理课件.ppt
解三角形。
已知两边和其中一边 的对角,求其他边和角
解：由正弦定理 a b
sin A sin B
C
得sin B bsin A 16 3 sin30 3
16 3 16
16
a
16
2
A 300
所以Ｂ＝60°,或Ｂ＝120°
B
B 83
当Ｂ＝60°时 C=90° c 32.
当Ｂ＝120°时 C=30°
Ｃ ba
Ｃ ba
Ｃ
b
a
Ａ
Ａ Ｂ Ａ B2 B1Ａ
Ｂ
a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b a≥b
无解
一解
两解
一解
2.Ａ为钝角
Ｃ
a
b
Ａ
Ｂ
Ｃ
a
b Ａ
a>b 一解
a≤b 无解
Ａ为直角时，与Ａ为钝角相同， a>b时，一解； a≤b时，无解.
问题2 如图①所示，在Rt△ABC中，斜边AB是 △ABC外接圆的直径（设Rt△ABC外接圆的半 径为R），因此
如图:作AB上的高是CD,根
C
椐三角形的定义,得到
aE
b
CD asin B,CD bsin A
所以 a sin B bsin A B
D
A
得到 a b
c
sin A sin B
同理,作AE BC.有 b c
sin B sin C
a
b
c
sin A sin B sin C
1.1.1 正弦定理
(2)当 ABC是钝角三角形时,以上等式是否 仍然成立?
1.1 正弦定理
2.定理的推导
6.4.3第二课时 正弦定理PPT课件(人教版)
则△ABC的形状是
()
A．直角三角形
B．等腰三角形
C．等腰直角三角形
D．等边三角形
解析：由3b＝2 3asin B，得sinb B＝2 33a，根据正弦定理，
得sinb B＝sina A，所以sina A＝2 33a，即sin A＝ 23.又角A是锐
角，所以A＝60°. 又cos B＝cos C，且B，C都为三角形的内
由已知得，C＝180°－45°－75°＝60°，
c＝b·ssiinn CB＝2×ssiinn 4650°°＝ 6.
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第二课时 正弦定理
[思考发现]
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理只适用于锐角三角形；
②正弦定理不适用于钝角三角形；
③在某一确定的三角形中，各边与它的对角的正弦的比是定值；
④在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
其中正确的个数是
()
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：正弦定理适用于任意三角形，故①②均不正确；由 正弦定理可知，三角形一旦确定，则各边与其所对角的正 弦的比就确定了，故③正确；由比例性质和正弦定理可推 知④正确．故选B. 答案：B
由sina A＝sinc C得，c＝assiinnAC＝8×sinsin457°5°
8× ＝
2＋ 4 2
6 ＝4(
3＋1)．所以A＝45°，c＝4(
3＋1)．
2
已知任意两角和一边，解三角形的步骤 (1)求角：根据三角形内角和定理求出第三个角； (2)求边：根据正弦定理，求另外的两边． 已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以 上步骤求解．
高中数学人教A版_正弦定理(15张PPT)
结论
LsinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相 等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事 实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方 法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方 法吗?
利用三角形的高证明正弦定理(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求出边BC吗?[提示] 不能。(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝 角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的 夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的 夹 角
也即asin C=csin A,即因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。
LsinA=s nB= sin C
文字叙述
在一个三角形中，各边和它所对角的_正弦的比相 等
正弦定理
以上我们利用向量方法获得了正弦定理。事 实上，探索和证明这个定理的方法很多，有些方 法甚至比上述方法更加简洁。你还能想到其他方 法吗?
利用三角形的高证明正弦定理(1)当△ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD, 根据锐角三角 函数的定义，有CD=asin B,CD=bsin A。
6.4平面向量的应用 6.4.3第二讲正弦定理
(1)在△ABC 中，若A=30°,B=45° ,AC=4, 你还能直接运用余弦定理求出边BC吗?[提示] 不能。(2)在直角三角形中，边与角之间的关系是什么?
因此我们由那视频可以得出：
B
C
定理推导
又因为sin C=sin 90°=1
同理，过点C 作与CB垂直的单位向量m, 可
【提示】 成立，如图，当△ABC为钝角三角形时，不妨设A为钝 角。过点A作与AC 垂直的单位向量j,则j与AB 的夹角为A; 与CB 的 夹角为 C.仿照上述方法，同样可得：
在钝角三角形中的这个边角关系成立吗?
条件
在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c
如图，△ABC 为锐角三角形，过点A 作与AC 垂直的单位向量j, 则j 与AB 的夹角 ,j 与CB的 夹 角
也即asin C=csin A,即因
因为AC+CB=AB, 所以 j·(AC+CB)=j·AB. 由分配律，得j·AC+j·CB=j·AB,
利用向量法证明正弦定理
4, 请你用正弦定理来求出
练一练
B
在一个三角形中，各边和它 所对角的正弦的比相等。
9.1.1正弦定理 课件(共36张PPT)
基础预习初探
1.回顾直角三角形中的边与角的关系: a , b , c 是否为定值?
sin A sin B sin C
提示:如图,直角三角形ABC中,C=90°,c=2R,R为△ABC外接圆的半径,显然有 a b c =2R(定值).
sin A sin B sin C
2.在锐角或钝角三角形中边与角的关系: a , b , c 是否为定值?
sin A sin C
得sin C= csin A 3，
a2
又0°<C<180°,得C=60°或C=120°.
当C=60°时,B=75°,sin75°= b= csin B 2 6;
sin C
6 2， 4
当C=120°时,B=15°,sin15°= b=csin B 6－ 2.
sin C
sin A sin B sin C
sin A sin B sin C
提示:如图,锐角三角形的外接圆的半径为R,直径为CD=2R,连接
BD,∠A=∠D,∠CBD=90°,
所以 a =aCD=2R,
sin A sin D
同理 b=2R, =c2R.
sin B
sin C
得 a b =2Rc(定值).
sin A sin B sin C
同理,在钝角三角形中,上述等式仍然成立.
2
可得B<60°,即可求得B.
2.由A+B+C=180°求角B,再由正弦定理求边长.
【解析】1.选C.因为A=60°,a=4 3,b=4,
由正弦定理 a ,得b sin B=
sin A sin B
bsin A 4 sin60 1 .
a
43 2
因为a>b,所以B<60°,所以B=30°.
正弦定理PPT课件
定理应用，解决引例
在ABC中，BC 54，B 45，C 60.求边长AB.
A
定义：
B
C
一般地，把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c
叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他的元素的过程叫
做解三角形。
学以致用
1：在ΔABC中，已知A 30 , B 45 , a 2,求C、b、c.
解：由正弦定理 a b 得： sin A sin B
sin B bsin A 2 3 sin 45 3
a
22
2
B 0，180
B 60或120
当B 60时，C 75
c
Hale Waihona Puke a sin C sin A
2
2 sin 75 sin 45
2
2 sin 30 45 sin 45
6
2
当B 120时，C 15
2R sin CDB a sin A
2R
a b 2R sin A sin B
同理： a b c 2R sin A sin B sin C
C
O
A
B
D
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
a b sin A sin B
已知三角形的任意两个角与一边，求其它两边和一角.
定理应用总结
正弦定理（law of sines）
任意ΔABC中，设BC a, AC b, AB c abc
sin A sin B sin C
sin A a sin B b
已知三角形的任意两边与其中一边的对角，求其他两和一边.
正弦定理-教学PPT课件
AA CCDD
CCDD bb
,,
ssiinn
BB
bb ssiinn AA aa
CCDD aa ssiinn BB
C
b
a
所以有：
A
Dc
B
同理可证：
（也可以由等面积法得到）
(3)在钝角△ABC中,有：
ssiinn
AA
CCDD bb
,,ssiinn((
BB))
CCDD aa
即即::CCDD bbssiinn AA aassiinnBB
C
16 3
16
16
A 300 B
B
(1)当 Ｂ＝60°时, C=90°, c 32.
(2)当Ｂ＝120°时,
C=30°,
c asinC 16. sin A
练习：
变式2: a=20, b=40, A=45°解三角形.
解：由正弦定理
得 sin B b sin A 40 sin 45 2
a
5.一个三角形最少有2个锐角
3.定理推导
探究：在任意三角形中角与它所对的边之间在 数量上有什么关系？
(1)在Rt△ABC中,有：
sin A a ,sin B b
cn B
A
b
c
因为sinC=1，所以有：
C
aB
(2)在锐角△ABC中,有：
ssiinn 即 即 ::
此时无解．
课堂小结： （1）三角形面积公式：
（2）正弦定理： （3）正弦定理适用范围：
•
感 谢 阅
读感 谢 阅
读
2R
（3）
解三角形的定义： 一般地，把三角形的三个角A，B，C和它
们的对边a,b,c叫做三角形的元素，已知三角形 的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形.
正弦定理 课件
6 4 2
2 =
3 +1.
2
已知△ABC中,a=20,A=30°,C=45°,求B,b,c.
解:因为 A=30°,C=45°, 所以 B=180°-(A+C)=105°,
由正弦定理得 b= a sin B = 20sin105 sin A sin 30
=40sin(45°+60°)
=10( 6 + 2 );
6 =4(
3 +1).
2
所以 A=45°,c=4( 3 +1).
题后反思 已知三角形的两角和任一边解三角形,基本思路是: (1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一角所对边,再由三角形 内角和定理求出第三个角. (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求出第三个角,再 由正弦定理求另外两边.
所以 cos A = cos B = cosC . sin A sin B sin C
即 sin A = sin B = sin C .所以 tan A=tan B=tan C. cos A cos B cosC
又因为 A、B、C∈(0,π),所以 A=B=C.所以△ABC 为等边三角形.
在△ABC中,已知(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),试判断△ABC的形状.
解:由已知有 a2sin(A-B)+b2sin(A-B)=a2sin(A+B)-b2sin (A+B), 即 2a2cos Asin B-2b2cos Bsin A=0, 所以 a2cos Asin B-b2sin Acos B=0. 由正弦定理, 上式可化为 sin2Acos Asin B-sin2Bsin Acos B=0, 即 sin Asin B(sin Acos A-sin Bcos B)=0, 因为 sin A≠0,sin B≠0, 所以 sin Acos A-sin Bcos B=0,即 sin 2A=sin 2B,
正弦定理课件ppt
提习题
要点一
提升习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c， 且sin(A+C)=2sinBcosA，求证：b²=ac。
要点二
提升习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c ，且cosB=1/3，b=3，求边长a和c的值。
综合习题
综合习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sin²A+sin²B-sinA=sin²C ，求证：三角形ABC是直角三角形。
确定三角形形状
通过正弦定理，我们可以 判断三角形的形状，例如 是否为直角三角形、等腰 三角形等。
求解三角形角度
已知三角形的两边及其夹 角，可以使用正弦定理求 出其他角度。
求解三角形边长
已知三角形的两角及其夹 边，可以使用正弦定理求 出其他边长。
在三角函数中的应用
求解三角函数值
已知三角形的两边及其夹角，可 以使用正弦定理求出三角函数值 。
VS
三角函数的和差公式
利用正弦定理推导出三角函数的和差公式 ，例如sin(α+β)和sin(α-β)的公式。
05
CHAPTER
习题与解答
基础习题
基础习题1
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且A=60°，a=3，b=4，求角C。
基础习题2
已知三角形ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且sinA=2sinBcosC，求证：三角形ABC是 等腰三角形。
正弦定理是解决三角形问题的重要工具之一，可以用于解决 各种与三角形相关的数学问题。
02
CHAPTER
正弦定理的证明
利用三角形的面积证明正弦定理
正弦定理优秀课件
02 sin A sin B sin小C结 ： 正弦定理
例1.在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和正弦边定理b应.用一：
B已知1两8角0和任意( A C解) ：105
一边，求其余两
b边和一角 c sin B sin C You try
5 b c sin B 10sin105
得到 a b sin A sin B
B
Dc
A
同理,作AE BC.有 b c sin B sin C
a b c sin A sin B sin C
ABC
(2)当
是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
B
A
C
b
c
a
01
正弦定理 在 一个三角形中， 各边和它所 对角的正弦的 比相等，即
02
03
正弦 C定 理10B应50 用 6 0二c0 或：12a0s0 in C 34
6 4
2 2
32
而可已求 知C其两它边7的5和0边或其和1中5角0 一。cs边in（对Aa要s角in注，C 意求 4另可223一3能边有的6两4对解角2）， 8进 8 3
sin A
2
3
2
课堂练习:
1.在ABC中
2
2
2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45 , 求A。
点拨：已知两边和其中一边的 对角解三角形时,通常要用到三 角形内角定理和定理或大边对 大角定理等三角形有关性质.
2.在ABC中 (1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
No Image
例1.在ABC中， 已知c 10, A 45,C 30.
求角B和正弦边定理b应.用一：
B已知1两8角0和任意( A C解) ：105
一边，求其余两
b边和一角 c sin B sin C You try
5 b c sin B 10sin105
得到 a b sin A sin B
B
Dc
A
同理,作AE BC.有 b c sin B sin C
a b c sin A sin B sin C
ABC
(2)当
是钝角三角形时,以上等式是否仍然成立?
B
A
C
b
c
a
01
正弦定理 在 一个三角形中， 各边和它所 对角的正弦的 比相等，即
02
03
正弦 C定 理10B应50 用 6 0二c0 或：12a0s0 in C 34
6 4
2 2
32
而可已求 知C其两它边7的5和0边或其和1中5角0 一。cs边in（对Aa要s角in注，C 意求 4另可223一3能边有的6两4对解角2）， 8进 8 3
sin A
2
3
2
课堂练习:
1.在ABC中
2
2
2.在ABC中
(1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
(2)已知a 2 3, b 2 2, B 45 , 求A。
点拨：已知两边和其中一边的 对角解三角形时,通常要用到三 角形内角定理和定理或大边对 大角定理等三角形有关性质.
2.在ABC中 (1)已知b 3, c 1, B 60 ,求a, 和A，C;
No Image
第五章第六节正弦定理和余弦定理课件共58张PPT
A，bsin
C＝csin
B，
cos
C＝a2＋2ba2b－c2
2.三角形中常用的面积公式
(1)S＝12 ah(h 表示边 a 上的高)；
(2)S＝12
1
1
bcsin A＝___2__a_c_s_in_B____＝__2__a_b_si_n_C___；
(3)S＝12 r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径).
解析： 在△ABC 中， 由余弦定理及 a＝2 2 ，b＝5，c＝ 13 ，有 cos
C＝a2＋2ba2b－c2
＝
2 2
π .又因为 C∈(0，π)，所以 C＝ 4
.
π 在△ABC 中，由正弦定理及 C＝ 4 ，a＝2 2 ，c＝ 13 ，可得 sin A＝
a sin C c
＝2 1313
.
答案：
π 4
变形
(1)a＝2R sin A，b＝_2_R_s_in_B___，c＝ __2_R_s_in_C___；
cos A＝b2＋2cb2c－a2
；
(2)a∶b∶c＝_si_n_A_∶__s_i_n_B_∶__s_in_C___； cos B＝c2＋2aa2c－b2 ；
(3)asin B＝bsin asin C＝csin A
考点·分类突破
⊲学生用书 P84
利用正弦、余弦定理解三角形
(1)(2020·全国卷Ⅲ)在△ABC 中，cos C＝23 ，AC＝4，BC＝3，则
tan B＝( )
A． 5
B．2 5
C．4 5
D．8 5
(2)(2020·广东省七校联考)若△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，
b，c，已知 2b sin 2A＝3a sin B，且 c＝2b，则ab 等于( )
《正弦定理说》课件
印度数学家婆什迦罗二世：对三角函数进行了深入研究，提出了正弦、 余弦等概念
中世纪欧洲：三角函数在欧洲得到了广泛应用，如航海、天文等领域
17世纪：牛顿、莱布尼茨等数学家对三角函数进行了深入研究，提出了 微积分等数学工具，为三角函数的发展奠定了基础
19世纪：三角函数在电磁学、光学等领域得到了广泛应用，如麦克斯韦 方程组、傅里叶变换等
添加标题
添加标题
添加标题添加标题来自计算力的合成和分解：利用正弦 定理可以计算力的合成和分解， 从而解决力学问题。
计算力的作用点：利用正弦定理 可以计算力的作用点，从而解决 力学问题。
正弦定理在解三角形中的应用
正弦定理在解三角形中的具体 应用
正弦定理在解三角形中的注意 事项
正弦定理在解三角形中的常见 错误及解决方法
•
正弦定理在十六边形中的应用
•
正弦定理在十七边形中的应用
•
正弦定理在十八边形中的应用
•
正弦定理在十九边形中的应用
•
正弦定理在二十边形中的应用
•
正弦定理在二十一边形中的应用
•
正弦定理在二十二边形中的应用
•
正弦定理在二十三边形中的应用
•
正弦定理在二十四边形中的应用
•
正弦定理在二十五边形中的应用
向量：正弦定理可以用于计算向量的长度和角度 解析几何：正弦定理可以用于计算解析几何中的角度和长度 应用实例：正弦定理在解析几何中的应用实例 推广：正弦定理在向量和解析几何中的推广和应用
正弦定理：在任意三角形中，任意一边的 对边与斜边的比等于该边的正弦值与斜边 的正弦值的比
应用：正弦定理的推广可以用于解决多边 形的面积、周长等问题
推广：正弦定理可以推广到任意多边形 中，即任意多边形的任意一边的对边与 斜边的比等于该边的正弦值与斜边的正 弦值的比
中世纪欧洲：三角函数在欧洲得到了广泛应用，如航海、天文等领域
17世纪：牛顿、莱布尼茨等数学家对三角函数进行了深入研究，提出了 微积分等数学工具，为三角函数的发展奠定了基础
19世纪：三角函数在电磁学、光学等领域得到了广泛应用，如麦克斯韦 方程组、傅里叶变换等
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添加标题添加标题来自计算力的合成和分解：利用正弦 定理可以计算力的合成和分解， 从而解决力学问题。
计算力的作用点：利用正弦定理 可以计算力的作用点，从而解决 力学问题。
正弦定理在解三角形中的应用
正弦定理在解三角形中的具体 应用
正弦定理在解三角形中的注意 事项
正弦定理在解三角形中的常见 错误及解决方法
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正弦定理在十六边形中的应用
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正弦定理在二十五边形中的应用
向量：正弦定理可以用于计算向量的长度和角度 解析几何：正弦定理可以用于计算解析几何中的角度和长度 应用实例：正弦定理在解析几何中的应用实例 推广：正弦定理在向量和解析几何中的推广和应用
正弦定理：在任意三角形中，任意一边的 对边与斜边的比等于该边的正弦值与斜边 的正弦值的比
应用：正弦定理的推广可以用于解决多边 形的面积、周长等问题
推广：正弦定理可以推广到任意多边形 中，即任意多边形的任意一边的对边与 斜边的比等于该边的正弦值与斜边的正 弦值的比
《正弦定理》人教版高二数学下册PPT课件
[解] ∵b ＝a co s C ，
由正弦定理，得
sin B ＝sin A co sC ．
(*)
∵B ＝π－(A ＋C )，
∴sin B ＝sin (A ＋C )，从而(*)式变为
sin (A ＋C )＝sin A co s C .
∴co s A sin C ＝0.
又∵A ，C ∈(0，π)，
π
∴co s A ＝0，A ＝ ，即△A B C 是直角三角形．
∴A 是直角，B ＋C ＝9 0 °
，
∴2 sin B co s C ＝2 sin B co s(9 0 °
－B )＝2 sin 2 B ＝sin A ＝1 ，
2
∴sin B ＝
2
.
∵0 °
< B < 9 0°
，∴B ＝4 5 °
，C ＝4 5 °
，
∴△A B C 是等腰直角三角形．
02
跟踪训练
法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，
c
，sin C ＝ 把
2R
2R
sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C 转化为三角形三边的关系，从而判定出角 A ，然后再利
用 sin A ＝2sin B co s C 求解．
02
跟踪训练
a
[解]
b
c
法一：
(利用角的互余关系)根据正弦定理，
得
＝
＝
，
sin A sin B sin C
∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，∴a 2 ＝b 2 ＋c2 ，
02
基础自测
1．思考辨析
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．(
)
由正弦定理，得
sin B ＝sin A co sC ．
(*)
∵B ＝π－(A ＋C )，
∴sin B ＝sin (A ＋C )，从而(*)式变为
sin (A ＋C )＝sin A co s C .
∴co s A sin C ＝0.
又∵A ，C ∈(0，π)，
π
∴co s A ＝0，A ＝ ，即△A B C 是直角三角形．
∴A 是直角，B ＋C ＝9 0 °
，
∴2 sin B co s C ＝2 sin B co s(9 0 °
－B )＝2 sin 2 B ＝sin A ＝1 ，
2
∴sin B ＝
2
.
∵0 °
< B < 9 0°
，∴B ＝4 5 °
，C ＝4 5 °
，
∴△A B C 是等腰直角三角形．
02
跟踪训练
法二：(利用角的互补关系)根据正弦定理，
c
，sin C ＝ 把
2R
2R
sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C 转化为三角形三边的关系，从而判定出角 A ，然后再利
用 sin A ＝2sin B co s C 求解．
02
跟踪训练
a
[解]
b
c
法一：
(利用角的互余关系)根据正弦定理，
得
＝
＝
，
sin A sin B sin C
∵sin 2 A ＝sin 2 B ＋sin 2 C ，∴a 2 ＝b 2 ＋c2 ，
02
基础自测
1．思考辨析
(1)正弦定理只适用于锐角三角形．(
)
正弦定理课件：(比赛用)PPT)
正切定理与正弦定理的关系
正切定理描述了三角形中两边的比值与它们所对的角的正 切值之间的关系。具体来说，正切定理指出在任何三角形 ABC中，边BC与角A的正切值的乘积等于边AC与角B的正 切值的乘积，以此类推。
正切定理与正弦定理之间存在密切的联系。正弦定理可以 通过三角恒等式转化为正切定理的形式，反之亦然。这种 关系表明，正弦定理和正切定理在解决三角形问题时可以 相互补充。
角度与边长关系
在任意三角形ABC中，角度A、B、C的正弦值与对应的边长a、 b、c之比都相等，即$sin A = frac{a}{c}$，$sin B = frac{b}{c}$，$sin C = frac{c}{a}$。
三角形的角度与边长的关系
角度与边长关系
在任意三角形ABC中，角度A、B、C的正弦值与对应的边长a、b、c之比都相等，即 $sin A = frac{a}{c}$，$sin B = frac{b}{c}$，$sin C = frac{c}{a}$。
正弦定理在几何学中的应用
正弦定理是解决三角形问题的基本工具之一，它在几何学中有着广泛的应用。例 如，利用正弦定理可以计算三角形的面积、解决三角形中的角度问题、判断三角 形的形状等。
正弦定理在几何学中的应用不仅限于三角形本身。例如，它可以用来解决与圆、 椭圆、抛物线等其他几何图形相关的问题。通过结合其他几何定理和性质，正弦 定理可以用于解决各种复杂的几何问题。
三角形的解法
三角形的解法概述
解决三角形问题需要利用三角形的边 角关系，通过代数运算和三角函数计 算来求解。
常见的三角形解法
常见的三角形解法包括余弦定理、正 弦定理、勾股定理等，这些解法在解 决三角形问题时具有广泛的应用。
Hale Waihona Puke 三角形的面积计算三角形面积的计算公式
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∵A、C∈(0，π)，∴cos A＝0，∴A＝π2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：(从边的关系判断) ∵b＝acos C， 由余弦定理，得 b＝a·a2＋2ba2b－c2. 化简，得 b2＋c2＝a2. ∴△ABC 为直角三角形．
1．判断三角形形状时，应围绕三角形的边角关系，利用正弦或余弦定理进行边角互 化，要么把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系，要么把边转化为角，通 过三角变换找出角之间的关系，当然也可以边角同时考虑． 2．在解题中，若出现关于边的齐次式(方程)，或关于角的正弦的齐次式(方程)可通过 正弦定理，进行边角互化．
6．4 平面向量的应用 6．4.3 余弦定理、正弦定理
第二课时 正弦定理
内容标准
学科素养
1.了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理 及其变形． 2.能够利用正弦定理解三角形，并会判断三角形的形状.
数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算
课前 • 自主探究 课堂 • 互动探究 课后 • 素养培优 课时 • 跟踪训练
一、“剪不断，理还乱”——忽略大边对大角致错 ►直观想象、逻辑推理、数学运算 [典例 1] 在△ABC 中，已知 a＝2 3，b＝2，A＝60°，则 B＝__________.
[解析] 由正弦定理，得 sin B＝b·sina A＝2×si2n 630°＝12. ∵a>b，∴A>B.又∵0°<B<180°，∴B＝30°.
探究三 判断三角形的形状 [例 3] 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 b＝acos C，试判定△ ABC 的形状．
[解析] 法一：(从角的关系判断) ∵b＝acos C， 由正弦定理，得 sin B＝sin A·cos C. ∵B＝π－(A＋C)，∴sin (A＋C)＝sin A·cos C. 即 sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， ∴cos Asin C＝0.
又 c＝ 2，a＝ 6，∵c<a，
∴C<A，故在△ABC 中，C＝30°，
∴B＝180°－(A＋C)＝90°.
由正弦定理得sinb B＝sina A，
∴b＝as·sininAB＝ 6×3 1＝2 2. 2
∴C＝30°，B＝90°，b＝2 2.
(2)由正弦定理，
得 sin A＝asibn B＝
3sin 45°＝ 2
①a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ；
a
b
c
②sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R ；
③a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C
[自主检测]
1．在△ABC 中，a＝2，b＝3，则ssiinn AB＝( )
3
2
A.2
B.3
2
C.5
解析：法一：由sina A＝sinb B＝sinc C 得sinb B＝cobs B，sinc C＝cocs C， ∴sin B＝cos B，∴tan B＝1，又 0°<B<180°， ∴B＝45°，同理，C＝45°. ∴A＝180°－B－C＝90°. ∴△ABC 为等腰直角三角形．
法二：由sina A＝cobs B＝cocs C 得sina A＝cobs B＝cocs C，① 把 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C 代入①， 得 2R＝2Rtan B＝2Rtan C， ∴tan B＝tan C＝1， 又 0°<B<180°，0°<C<180°， ∴B＝C＝45°，A＝90°， ∴△ABC 为等腰直角三角形．
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b
解的个数 一解
两解
a≥b 一解
a>b 一解
[典例 2] 在△ABC 中，已知 a＝2 3，b＝6，A＝30°，求 B、C 和 c.
[解析]
由正弦定理得
sin
B＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，又
a＝2
3，b＝6，a<b
∴B＝60°或 120°.
[提示] ①C＝90°，B＝60°，a＝csin 30°＝1，b＝ccos 30°＝ 3. ②由①知，sina A＝sin130°＝2，sinb B＝sin 630°＝2，sinc C＝sin290°＝2，∴sina A＝sinb B ＝sinc C＝2.
③如图，△ABC 为任意的一个直角三角形， ∵sin A＝ac，sin B＝bc， ∴sina A＝c，sinb B＝c. 又sinc C＝sinc90°＝c，∴sina A＝sinb B＝sinc C＝c. 故对任意的直角三角形也有(2)中的结论．
D.3
解析：由正弦定理，得sina A＝sinb B，
故ssiinn AB＝ab＝23.
答案：B
2．在△ABC 中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则 b＝( )
A．5 2
B．10 2
C．10 6
D．5 6
解析：由正弦定理sina A＝sinb B得 b＝assiinnAB＝10s×insi4n5°30°＝5 2.
6－ 2
2 .
利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角， 进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据 “三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．
本例(1)改为“A＝30°，c＝ 6，a＝ 2”，结果又怎样？
解析：由正弦定理sina A＝sinc C，
[提示] 这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径 2R，即sina A＝sinb B＝sinc C＝2R， 其中 R 是该三角形外接圆的半径．
知识梳理 (1)正弦定理的推论：设 R 是△ABC 外接圆的半径，则sina A＝sinb B＝sinc C
＝2R.
(2)正弦定理的变形(R 是△ABC 外接圆的半径)
当 B＝60°时，C＝90°，c＝assiinnAC＝2 s3insi3n09°0°＝4 3；
当 B＝120°时，C＝30°，c＝assiinnAC＝2 s3insi3n03°0°＝2 3. ∴B＝60°，C＝90°，
c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
探究一 已知两角和一边解三角形 [例 1] 在△ABC 中，已知 A＝60°，B＝45°，c＝2，解三角形．
[解析] 在△ABC 中，C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.
sin 75°＝sin (45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°
∴sin C＝c·sian A＝
6×12＝ 2
23，
又 c＝ 6，a＝ 2，∵c>a，∴C>A，
又 C 为△ABC 的内角，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝180°－A－C＝90°， ∴b＝ a2＋c2＝2 2， 当 C＝120°时，B＝180°－A－C＝30°， 此时△ABC 为等腰三角形，则 b＝a＝ 2. 综上可知，C＝60°，B＝90°，b＝2 2， 或 C＝120°，B＝30°，b＝ 2.
答案：A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3．在△ABC 中，若 A＝30°，a＝2，b＝2 3，则此三角形解的个数为( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．不能确定
解析：∵在△ABC 中 A＝30°，a＝2，b＝2 3， ∴bsin A＝2 3×12＝ 3，而 3＜a＝2＜b＝2 3， ∴三角形解的个数为 2，故选 C.
答案：C
[答案] 30°
[素养提升] 在同一三角形中，大边对大角，反过来，大角对大边，由此，在利用正 弦定理解三角形时，要对三角形解的个数进行判断，防止产生增根．
二、火眼金睛识别三角形解的情况 ►直观想象、逻辑推理、数学运算
在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况 A 为锐角
A 为钝角或直角
或直角图形
1．在△ABC 中，若 a＝2，cos A＝25 5，cos B＝－14，则 b＝________.
解析：∵cos A＝2 55，∴sin A＝
1－cos2A＝
5 5.
∵cos B＝－14，∴sin B＝
1－cos2B＝
15 4.
由正弦定理sina
A＝sinb
B得
b＝assiinnAB＝2×
15 4 ＝5 5
2．已知在△ABC 中，bsin B＝csin C，且 sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC 的形状． 解析：由正弦定理sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 得 sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR. ∵bsin B＝csin C，∴b·2bR＝c·2cR， ∴b2＝c2，∴b＝c. ∵sin 2A＝sin 2B＋sin 2C， ∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2， ∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°， ∴△ABC 为等腰直角三角形．
3 2.
∵0°<A<180°，
∴A＝60°或 A＝120°.
当 A＝60°时，C＝75°，
∴c＝bssiinnBC＝
s2isnin457°5°＝
6＋ 2
2；
当 A＝120°时，C＝15°，
∴c＝bssiinnBC＝
sin 2sin
4155°°＝
6－ 2
2 .
∴A＝60°，C＝75°，c＝
6＋ 2
2或 A＝120°，C＝15°，c＝
同理，过点 C 作与C→B垂直的单位向量 m，可得sinc C＝sinb B. 因此sina A＝sinb B＝sinc C. 在钝角三角形中的这个边角关系也成立．