数列的概念与通项公式

数列的概念与通项公式 【基本概念】

1．数列、数列的项

按照一定顺序排列着的一列数叫做数列，数列中的每个数叫做这个数列的项．

2．数列的通项公式 数列{a n }的第n 项与序号n 之间的关系可以用一个公式表示，这个公式叫做这个数列的通项公式．

3．数列与函数的关系

数列可以看作是一个定义域为正整数集N *或它的有限子集{1,2,3，…，n }的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值．

4．数列可用图象来表示

在直角坐标系中，以序号为横坐标来表示一个数列．图象是一些相应的项为纵坐标来描点画图孤立的点，它们位于 第一象限、第四象限或x 轴的正半轴.

5．数列的递推公式

如果已知数列{a n }的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1 (或前几项)(n ≥2，n ∈N *)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．

6．通项公式与递推公式的区别与联系

区别 联系 通项公式

项a n 是序号n 的函数式a n ＝f (n ) 都是数列的一种表示方法， 可求出数列中任意一项

递推公式 已知a 1及相邻项间的关系式 1.数列的有关概念与分类

例1 已知下列数列：

（1）2019,2019,2019,2019；

（2）0，12，23，…，n －1n

，…； （3）1，12，14，…，12

n －1，…； （4）1，－23，35，…，－1n －

1·n 2n －1

，…； （5）1,0，－1，…，sin nπ2，…. 其中，有穷数列是________，无穷数列是______，递增数列是_______，递减数列是________，

摆动数列是_______，周期数列是________．(将合理的序号填在横线上)

2.观察法求数列的通项公式

例2 写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： （1）11×2，－12×3，13×4，－14×5； （2） 22－12，32－13，42－14，52－15

； （3）112，223，334，445

； （4）9，99，999，9999. 3.数列通项公式的应用

例3 （1）已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2

n 2＋1

，试判断0.7是不是数列{a n }中的一项？ 若是，是第几项？

（2）已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3－2cos nπ2

.求证：a m ＋4＝a m . 4.根据数列的递推公式写出数列的前几项，并归纳通项公式

例4 根据下列条件，写出数列的前四项，并归纳猜想它的通项公式．

（1）a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋2n －1 (n ∈N *)

（2）a 1＝1，a n ＋1＝a n ＋a n n ＋1

. （3）a 1＝2，a 2＝3，a n ＋2＝3a n ＋1－2a n (n ∈N *)

【总结提升】

1．数列的通项公式

如果数列的第n 项a n 与n 之间的关系可以用一个函数式a n ＝f (n )来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．

注意：数列的通项与通项公式是有区别的，前者是函数值，后者是一个函数的解析式．

2．数列与函数的关系

对任一数列{a n }，每一项的序号n 与这一项a n 的对应关系，可以看成序号集合到另一个数的集合的映射．因此，从映射、函数的观点看，数列可以看成是一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数，即当自变量从小到大依次取值时对应的函

数值(右图)，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．反过来，对于函数y ＝f (x )，如果f (i )(i ＝1,2,3，…，n ，…)有意义，那么可以得到一个数列f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )，….

3．数列的表示法

从函数观点看，数列除了可以用通项公式表示外，还有如下表示方法：

(1)列表法(又称列举法)，即通过列举数列的前n 项来表示数列的方法．

(2)图象法，由于数列是定义在正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })上的函数，因此，数列的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点．

4．通项公式和递推公式的区别

通项公式直接反映a n 和n 之间的关系，即a n 是n 的函数，知道任意一个具体的n 值，通过

通项公式就可以求出该项的值a n；而递推公式则是间接反映数列的式子，它是数列任意两个(或多个)相邻项之间的推导关系，不能由n直接得出a n.

5．如何用递推公式给出一个数列

用递推公式给出一个数列，必须给出

①“基础”——数列{a n}的第1项或前几项；

②递推关系——数列{a n}的任一项a n与它的前一项a n－1(或前几项)之间的关系，并且这个关系可以用一个公式来表示．