概率论第四章

一、选择题

1.设二维随机变量（X,Y）满足E(XY)=EXEY,则X与Y

（A）相关（B）不相关（C）独立（D）不独立

2.将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于

（A）-1（B）0（C）（D）1

3.对于任意二维随机变量X和Y，与命题“X和Y不相关”不等价的是

（A）EXY=EXEY（B）Cov（X，Y）=0

（C）ＤＸＹ＝DXDY（D）D（X+Y）=DX+DY

4.假设随机变量X在区间【-1，1】上均匀分布，则U=arcsinX和V=arccosX的相关函数等于

（A）-1（B）0（C）0.5（D）1

5.设随机变量X1，X2，…，Xn（n>1）独立同分布，且方差>0，记=，则~与的相关系数为

（A）-1（B）0（C）（D）1

6.设随机变量X的方差存在，并且满足不等式P||X-EX|3|，则一定有

（A）DX=2（B）P||X-EX|3|

（C）DX2（D）P||X-EX|3|

7.设随机变量，，…，相互独立同分布，其密度函数为偶函数，且D=1,…,n,则对任意，根据切比雪夫不等式直接可得

（A）P{||<}（B）P{||<}

（C）P{||<}（D）P{||<}

二、填空题

1.两名射手个向自己的靶射击，直到有一次命中时该射手才（立即）停止射击，如果第i

名射手每次命中概率为(0<,i=1,2)，则两射手均停止射击时脱靶（未命中）总数的数学期望为。

2.将长度为L德邦随机折成两段，则较短段的数学期望为。

3.设随机变量X和Y的相关系数为0.9，若Z=2X-1，则Y与Z的相关系数为。

4.设随机变量X与Y的相关系数为0.5，EX=EY=0,E=E=2，则E=。

5.设随机变量X与Ｙ相互独立，且Ｘ～Ｂ（５,０．８），Ｙ～Ｎ（１,１），则Ｐ｛０＜Ｘ

＋Ｙ＜１０｝

三、计算题与应用题

1.设某网络服务器首次失效时间服从E（λ），先随机购得4台，求下列事件的概率：

（I）事件A：至少有一台的寿命（首次失效时间）等于此类服务器的平均寿命；

（II）事件B：有且仅有一台寿命小于此类服务器期望寿命。

2.设随机变量X服从（0,1）上的均匀分布，求下列的数学期望和方差：

（I）=(II)=-2(III)=(IV)=

3.设X和Y是相互独立的随机变量，其概率密度分别为

)=

其中λ>0,是常数，引入随机变量

Z=

求E（Z）和D（Z）

4.设随机变量X，Y互相独立，已知X在[0,1]上服从均匀分布，Y服从参数为1的指数分布，

求（I）随机变量Z=2X+Y的密度函数；（II）Cov(Y,Z)，并判断X与Z的独立性。

5.设二维随机变量（U，V）~N（2,2；4,1；），记X=U-bV，Y=V。

（I）问当常数b为何值时，X与Y独立？

（II）求（X，Y）的密度函数f(x,y).

6.设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为

f(x,y)=

试求：（I）数学期望EX，EY；（II）方差DX，DY；（III）协方差Cov(X，Y)，D（5X-3Y）

7.设二维随机变量（X,Y）在区域D={（x,y）|0}上服从均匀分布，令Z=min(X,Y),求EZ与DZ。

8.设,,,…是取自总体X的一个简单随机样本，EX=，DX=，记=+….+，=+…..+，求与的相关系

数。

9.写了n封信，但信封上的地址是以随机的次序写的，设Y表示地址恰好写对的信得数目，

求EX及DY。

10.设随机变量X和Y独立，并且都服从正态分布N（），求随机变量Z=min(X，Y)的数学期

望。

11.将一颗骰子重复掷n次，随机变量X表示出现点数少于3的次数，Y表示点数不小于3

的次数。求3X+Y与X-3Y的相关系数。

12.设随机变量U服从二项分布B（2，），随机变量

X=Y=

求随机变量X-Y与X+Y的方差和X与Y的协方差。

13.设二维连续型随机变量（X,Y）在区域D={（X，Y）|}上服从均匀分布。（I）问X与Y是

否互相独立；（II）求X与Y的相关系数。