特殊的平行四边形菱形含答案

难度：中等

详细信息

已知：如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC的中点，连接DE．AF∥BC，

且AF=BC，连接DF．

（1）求证：四边形AFDE是平行四边形；

（2）如果AB=AC，∠BAC=60°，求证：AD⊥EF．

（1）通过证明边DE平行且等于对边AF，即可证明四边形AFDE是平行四边形；

（2）由题意得△ABC是等边三角形，故有AC=BC，又点E是AC的中点，可得出DE=AE，四边形AFDE是菱形，再根据菱形的对角线互相垂直平分得证．

证明：（1）∵D、E分别是边AB、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线，

即得 DE∥BC，．…（2分）

∵AF∥BC，，

∴DE∥AF，DE=AF．…（2分）

∴四边形AFDE是平行四边形．…（1分）

（2）∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形，即得：AC=BC．…（1分）

于是，由点E是AC的中点，得．…（1分）

又∵四边形AFDE是平行四边形，

∴四边形AFDE是菱形．…（1分）

∴AD⊥EF．…（1分）

难度：压轴

详细信息

已知，如图①，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，点P从点A沿AB以每秒2cm的速度向点B运动，点Q从点C以每秒1cm的速度向点A运动，设点P、Q分别从点A、C同时出发，运动时间为t（秒）（0＜t＜6），回答下列问题：

（1）直接写出线段AP、AQ的长（含t的代数式表示）：AP=______，

AQ=______；

（2）设△APQ 的面积为S，写出S与t的函数关系式；

（3）如图②，连接PC，并把△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，那么是否存在某一时间t，使四边形PQP′C为菱形？若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由．

（1）根据∠A=60°，AB=12cm，得出AC的长，进而得出AP=2t，AQ=6-t．

（2）过点P作PH⊥AC于H．由AP=2t，AH=t，得出PH=t，从而求得S与t的函数关系式；（3）过点P作PM⊥AC于M，根据菱形的性质得PQ=PC，则可得出PN=QM=CM，求得t即可．【解析】

（1）∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，

∴AC=6，

∴由题意知：AP=2t，AQ=6-t，

（2）如图①过点P作PH⊥AC于H．

∵∠C=90°，∠A=60°，AB=12cm，

∴∠B=30°，

∴∠HPA=30°，

∵AP=2t，AH=t，

∴PH=t，

∴S=×AQ×PH=×t×（6-t）=-t2+3t；

（3）当t=4时，四边形PQP′C是菱形，

证明：如图②过点P作PM⊥AC于M，

∵CQ=t，由（2）可知，AM=AP=tcm，

∴QC=AM，当PC=PQ时，即CM=MQ=AQ=AC=2时，

∴四边形PQP′C是菱形，

即当t=4时，四边形PQP′C是菱形．

题型：填空题

难度：中等

详细信息

一个平行四边形的一边长是9，两条对角线的长分别是12和6 ，则此平行四边形的面积为．

题型：填空题

难度：困难

详细信息

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，且AB=AD，连接BD，过A点作BD的垂线交BC于E，如果CE=3cm，CD=4cm，那么BD= cm．

连接DE，因为AB=AD，AE⊥BD，AD∥BC，可证四边形ABED为菱形，从而得到BE、BC的长，继而根据勾股定理求出BD的长．

【解析】

连接DE．

在直角三角形CDE中，根据勾股定理，得DE=5．

∵AB=AD，AE⊥BD，

∴AE垂直平分BD，∠BAE=∠DAE．

∴DE=BE=5．

∵AD∥BC，

∴∠DAE=∠AEB

．∴∠BAE=∠AEB

∴AB=BE=5

∴BC=BE+EC=8，

在直角三角形BCD中，根据勾股定理，得BD=4．

故答案为：4．

难度：压轴

详细信息

如图，△ABC中，点D、E分别是边BC、AC的中点，过点A作AF∥BC交线段DE 的延长线相交于F点，取AF的中点G，如果BC=2AB．

求证：（1）四边形ABDF是菱形；

（2）AC=2DG．

（1）首先根据三角形的中位线定理，得DE∥AB，结合AF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判断该四边形是平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；（2）根据菱形的性质可以进一步得到△FGD≌△FEA，则GD=AE，即可证明结论．

证明：（1）∵点D、E分别是边BC、AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线（三角形中位线的定义），

∴DE∥AB，DE=AB（三角形中位线性质）．（1分）

∵AF∥BC，

∴四边形ABDF是平行四边形（平行四边形定义）．（1分）

∵BC=2AB，BC=2BD，

∴AB=BD．（1分）

∴四边形ABDF是菱形．（1分）

（2）∵四边形ABDF是菱形，

∴AF=AB=DF（菱形的四条边都相等）．

∵DE=AB，

∴EF=AF．（1分）

∵G是AF的中点．

∴GF=AF，

∴GF=EF．（1分）

∴△FGD≌△FEA，（1分）

∴GD=AE，

∵AC=2EC=2AE，

∴AC=2DG．（1分）