[大一轮2020]专题6.5 数列的综合应用(讲)(解析版)

专题6.5 数列的综合应用

1.理解等差数列、等比数列的概念,掌握等差数列、等比数列的通项公式与前 n 项和公式及其应用.

2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.

3.会用数列的等差关系或等比关系解决实际问题

.

知识点一 等差数列和等比数列比较

等差数列

等比数列

定义

1n n

a a +-＝常数

1

n n a a +＝常数

通项公式

1(1)n a a n d

=+-

)

0(111≠⋅⋅=-q a q a a n n

判定方法

(1)定义法； (2)中项公式法：

212+++=n n n a a a ()

n N ∈*⇔

{}

n a 为等差数列；

(3)通项公式法：

n a pn q =+(,p q

为常

数,n N ∈*)⇔ {}

n a 为等差数列；

(4)前n 项和公式法：

2n S An Bn =+(,A B 为常数, n N ∈*)⇔ {}n a 为等差数列；

(5)

{}

n a 为等比数列,且

n a >,

那么数列

{log }

a n a (0a >,且

1a ≠)为等差数列

(1)定义法 (2)中项公式法：

2

1

2++=n n n a a a

()n N ∈* (0n a ≠)⇔ {}n a 为等比数列

(3)通项公式法：

n

n a cq = (,c q 均是不为0的常数,n N ∈*)⇔{}

n a 为等比数

列

(4)

{}

n a 为等差数列⇔

{}n

a A (n

a A

总有意义)为等比数列

知识点二 数列求和

1. 等差数列的前n 和的求和公式：11()(1)

22n n n a a n n S na d +-=

=+.

2．等比数列前n 项和公式 一般地,设等比数列

123,,,,,n a a a a L L

的前n 项和是

=n S 123n

a a a a ++++L ,当1

≠q 时,

q q a S n n --=

1)1(1或11n n a a q

S q -=-；当1q =时,1na S n =（错位相减法）. 3. 数列前n 项和

①重要公式：（1）1

n

k k ==

∑123n ++++=L 2)1(+n n

（2）1

(21)n

k k =-=∑()13521n ++++-=L 2

n

（3）

3

1n

k k ==∑2

3

33)1(2121⎥

⎦⎤⎢⎣⎡+=+++n n n Λ （4）2

1

n

k k

==∑)12)(1(61

3212222++=

++++n n n n Λ

②等差数列中,

m n m n S S S mnd

+=++；

③等比数列中,

n m m n n m m n

S S q S S q S +=+=+.

考点一 数列在数学文化与实际问题中的应用

【典例1】（河北衡水中学2019届模拟）中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关,初行健步不为难,次日脚痛减一半,六朝才得到其关,要见次日行里数,请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路,第一天健步行走,从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半,走了6天后到达目的地．”则此人第4天和第5天共走了( )

A ．60里

B ．48里

C ．36里

D ．24里

【答案】C

【解析】由题意知,此人每天走的里数构成公比为1

2的等比数列{a n },

设等比数列的首项为a 1,则a 1⎝⎛⎭

⎫1－1261－12＝378,

解得a 1＝192,所以a 4＝192×18＝24,a 5＝24×1

2

＝12,

则a 4＋a 5＝24＋12＝36,即此人第4天和第5天共走了36里． 【方法技巧】

将已知条件翻译成数学语言,将实际问题转化成数列问题,并分清数列是等差数列还是等比数列 【变式1】（江苏常州高级中学2019届模拟）我国古代数学名著《九章算术》中有如下问题：“今有蒲生一日,长三尺．莞生一日,长一尺．蒲生日自半,莞生日自倍．问几何日而长等?”意思是：“今有蒲草第一天长高3尺,莞草第一天长高1尺．以后,蒲草每天长高前一天的一半,莞草每天长高前一天的2倍．问第几天蒲草和莞草的高度相同?”根据上述的已知条件,可求得第________天时,蒲草和莞草的高度相同(结果采取“只入不舍”的原则取整数,相关数据：lg 3≈0.477 1,lg 2≈0.301 0)．

【答案】3

【解析】由题意得,蒲草的高度组成首项为a 1＝3,公比为1

2的等比数列{a n },设其前n 项和为A n ；莞草的高

度组成首项为b 1＝1,公比为2的等比数列{b n },设其前n 项和为B n .则A n ＝3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12,B n ＝2n

－1

2－1,令3⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝

2n －12－1

,化简得2n ＋62n ＝7(n ∈N *),解得2n ＝6,所以n ＝lg 6lg 2＝1＋lg 3

lg 2≈3,即第3天时蒲草和莞草高度相同.