高一数学求函数解析式方法总结
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解得： f x 11 x
22
PPT课件
17
解方程组法
例3 已知 f(x)+f( x-1 )=1+x (x≠0, 1), 求 f(x).
x
解: 记题中式子为①式,
用
x-1 x
代替①中的
x,
整理得:
f(
x-1 x
)+f(
1 1-x
)=
2x-1 x
②,
再用
1 代替①中的 x, 1-x
整理得:
f(
1 1-x
PPT课件
9
1 练习.已知f（ x ）=x2+5x,则f(x)=
1 5x x2
(x
0)
.
解析 x 0,令1 t,即x 1(t 0),
x
t
f
(t)
(1)2 t
5·1 t
15t t2
(t
0),
故f
(x)
15x x2
(x
0).
PPT课件
10
三.待定系数法
已知函数模型（如：一次函数，二 次函数，等）求解析式，首先设出 函数解析式，根据已知条件代入求 系数
PPT课件
6
已 f(x 知 1 ) x 2 3 x 2 ,求 f(x )
令t=x+1，则x=t-1 ∴f（t）=f（x+1）=(t-1)2-3（t-1）+2
=t2-2t+1-3t+3+2 =t2-5t+6 ∴f(x)=x2-5x+6
PPT课件
7
二、换元法
例2.已知 f(x1)x22x2，求
f(3)及 fx,fx3
12
练习：1. 若 f(f(x) )4x1,求一f次 (x)的 函 解 数
设：f（x）=ax+b，
则f（f（x))=a(ax+b)+b
=a2x+ab+b=4x-1
∴a2=4,ab+b=-1
∴a=2,b=
1 3
或a=-2，b=1
f（x）=2x- 1 或f（x）=-2x+1
3
PPTFra Baidu bibliotek件
13
2.已知函数 f ( x) 是一次函数，且经过(1，2)， （2，5）求函数 y f(x)的解析式
解： f(x1)x22x2 x22x11 (x1)2 1
f(x)x21 f 3 10
y fx 3 (x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
PPT课件
3
练习：1.已知f(x+1)=x-3, 求f(x) 2.若 f( x1)x2 x，求 f (x)
的解析式
1）f（x+1）=x-3 2）f ( x 1) x2 x
=x+1-4 ∴f（x）=x-4
x2 x 11 ( x 1)2 1
∴f（x）=x2-1，
（x≥1）
PPT课件
4
例1 已知 f(
x+1 x
)=
x2+1 x2
+
1 x
,
求 f(x).
解: ∵f(
x+1 x
)=
x2+1 x2
+
1 x
=1+
1 x2
+
1 x
=(
1 x
+1)2-(
1 x
+1)+1
=(
x+1 )2-( x
f
x2f
1 x
3x
解:令 x 1
x
f(1)2f(x)31
x
x
联立方程，得：
f (x) 2 f ( 1 ) x
f ( 1 ) 2 f (x)
3x 3
x
x
解得 f(x)x 2 x
PPT课件
16
练习：若3f(x)+f(-x)=2–x,求f(x).
解:令x=-x,则3f（-x）+f（x）=2+x 联立方程组，得：33ff((x)x)f(f(xx))22xx
分析：这是含有未知函数f(x)的等式，比较抽象。由函数 f(x)的定义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件 下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对
函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。
解：方法一：f(x1)x22x2
x22x11 (x1)2 1
配凑法
f(x)x21
f 3 10
x+1)+1 并且 x
x+1 x
≠1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
评注: 若在给出的函数关系式中
x2+1 x2
+
1 x
与
x+1 x
的关系
不明显时, 要通过恒等变形寻P找PT课二件 者的关系.
5
二.换元法
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的 可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出 f(t)可得f（x）的解析式。换元后要确 定新元t的取值范围。
y fx 3 (x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
PPT课件
8
方法二：令tx1,则 xt1
f tf x1x22x2 t122t12t21，
f xx21. f 3 10. y fx 3 ( x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
换元法
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围.
)+f(x)=
2-x 1-x
③,
解由 ①, ②, ③ 组成的方程组, 得:
f(x)=
x3-x2-1 2x(x-1)
.
PPT课件
18
例4.设f(x)满足关系式 求函数的解析式.
f
x2f
1 x
3x
• 分么析该：等如式果即将可题看目作所二给元的方程f ，x 那, f么 1x必 定看还成需两再个找变一量个，关那于
设f（x）=ax+b， 由题知：f（1）=2，f（2）=5 即a+b=2,2a+b=5 ∴a=3，b=-1 ∴f（x）=3x+b
PPT课件
14
四.方程组法
求抽象函数的解析式，往往通过变 换变量构造一个方程，组成方程组 ，利用消元法求f（x）的解析式
PPT课件
15
例3.设f(x)满足关系式 求函数的解析式
求函数的解析式
PPT课件
1
一.配凑法
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析 式的右端整理成只含有g(x)的形式，再 把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公 式。
已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解 析式,
PPT课件
2
已知 f(x1)x22x2，求
f(3)及 fx,fx3
PPT课件
11
例2 已知f(x)是二次函数，且
f(x 1 )f(x 1 ) 2 x 2 4 x 4 求 f (x).
解：设 f(x)a2xb xc(a 0)
f( x 1 ) f( x 1 ) 2 a 2 x 2 b 2 x a 2 c 2x24x4
a1,b2,c1
f(x)x22xP1PT课件
它们的方程，那么交换 x与1/x形成新的方程
解 ： 设 F x
f
x
2
f
1 x
3x
(1 )
F
1 x
f
1 x
2
f
1 1 x
3
1 x
f
1 x
2
f
x
3 x
(2 )
有 （1） （ 2） 得 f x 2 x x 0
PPT课件
x
19
【练习】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，
且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为
2 2 ，求f(x)的解析式；
22
PPT课件
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解方程组法
例3 已知 f(x)+f( x-1 )=1+x (x≠0, 1), 求 f(x).
x
解: 记题中式子为①式,
用
x-1 x
代替①中的
x,
整理得:
f(
x-1 x
)+f(
1 1-x
)=
2x-1 x
②,
再用
1 代替①中的 x, 1-x
整理得:
f(
1 1-x
PPT课件
9
1 练习.已知f（ x ）=x2+5x,则f(x)=
1 5x x2
(x
0)
.
解析 x 0,令1 t,即x 1(t 0),
x
t
f
(t)
(1)2 t
5·1 t
15t t2
(t
0),
故f
(x)
15x x2
(x
0).
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10
三.待定系数法
已知函数模型（如：一次函数，二 次函数，等）求解析式，首先设出 函数解析式，根据已知条件代入求 系数
PPT课件
6
已 f(x 知 1 ) x 2 3 x 2 ,求 f(x )
令t=x+1，则x=t-1 ∴f（t）=f（x+1）=(t-1)2-3（t-1）+2
=t2-2t+1-3t+3+2 =t2-5t+6 ∴f(x)=x2-5x+6
PPT课件
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二、换元法
例2.已知 f(x1)x22x2，求
f(3)及 fx,fx3
12
练习：1. 若 f(f(x) )4x1,求一f次 (x)的 函 解 数
设：f（x）=ax+b，
则f（f（x))=a(ax+b)+b
=a2x+ab+b=4x-1
∴a2=4,ab+b=-1
∴a=2,b=
1 3
或a=-2，b=1
f（x）=2x- 1 或f（x）=-2x+1
3
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2.已知函数 f ( x) 是一次函数，且经过(1，2)， （2，5）求函数 y f(x)的解析式
解： f(x1)x22x2 x22x11 (x1)2 1
f(x)x21 f 3 10
y fx 3 (x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
PPT课件
3
练习：1.已知f(x+1)=x-3, 求f(x) 2.若 f( x1)x2 x，求 f (x)
的解析式
1）f（x+1）=x-3 2）f ( x 1) x2 x
=x+1-4 ∴f（x）=x-4
x2 x 11 ( x 1)2 1
∴f（x）=x2-1，
（x≥1）
PPT课件
4
例1 已知 f(
x+1 x
)=
x2+1 x2
+
1 x
,
求 f(x).
解: ∵f(
x+1 x
)=
x2+1 x2
+
1 x
=1+
1 x2
+
1 x
=(
1 x
+1)2-(
1 x
+1)+1
=(
x+1 )2-( x
f
x2f
1 x
3x
解:令 x 1
x
f(1)2f(x)31
x
x
联立方程，得：
f (x) 2 f ( 1 ) x
f ( 1 ) 2 f (x)
3x 3
x
x
解得 f(x)x 2 x
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16
练习：若3f(x)+f(-x)=2–x,求f(x).
解:令x=-x,则3f（-x）+f（x）=2+x 联立方程组，得：33ff((x)x)f(f(xx))22xx
分析：这是含有未知函数f(x)的等式，比较抽象。由函数 f(x)的定义可知，在函数的定义域和对应法则f不变的条件 下，自变量变换字母，以至变换为其他字母的代数式，对
函数本身并无影响，这类问题正是利用这一性质求解的。
解：方法一：f(x1)x22x2
x22x11 (x1)2 1
配凑法
f(x)x21
f 3 10
x+1)+1 并且 x
x+1 x
≠1,
∴f(x)=x2-x+1(x≠1).
评注: 若在给出的函数关系式中
x2+1 x2
+
1 x
与
x+1 x
的关系
不明显时, 要通过恒等变形寻P找PT课二件 者的关系.
5
二.换元法
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的 可用换元法，具体为：令t=g(x),在求出 f(t)可得f（x）的解析式。换元后要确 定新元t的取值范围。
y fx 3 (x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
PPT课件
8
方法二：令tx1,则 xt1
f tf x1x22x2 t122t12t21，
f xx21. f 3 10. y fx 3 ( x 3 ) 2 1 x 2 6 x 1 0
换元法
注意点：注意换元的等价性，即要求出 t 的取值范围.
)+f(x)=
2-x 1-x
③,
解由 ①, ②, ③ 组成的方程组, 得:
f(x)=
x3-x2-1 2x(x-1)
.
PPT课件
18
例4.设f(x)满足关系式 求函数的解析式.
f
x2f
1 x
3x
• 分么析该：等如式果即将可题看目作所二给元的方程f ，x 那, f么 1x必 定看还成需两再个找变一量个，关那于
设f（x）=ax+b， 由题知：f（1）=2，f（2）=5 即a+b=2,2a+b=5 ∴a=3，b=-1 ∴f（x）=3x+b
PPT课件
14
四.方程组法
求抽象函数的解析式，往往通过变 换变量构造一个方程，组成方程组 ，利用消元法求f（x）的解析式
PPT课件
15
例3.设f(x)满足关系式 求函数的解析式
求函数的解析式
PPT课件
1
一.配凑法
把形如f(g(x))内的g(x)当做整体，在解析 式的右端整理成只含有g(x)的形式，再 把g(x)用x代替。 一般的利用完全平方公 式。
已知f(g(x))的解析式,求f(h(x))的解 析式,
PPT课件
2
已知 f(x1)x22x2，求
f(3)及 fx,fx3
PPT课件
11
例2 已知f(x)是二次函数，且
f(x 1 )f(x 1 ) 2 x 2 4 x 4 求 f (x).
解：设 f(x)a2xb xc(a 0)
f( x 1 ) f( x 1 ) 2 a 2 x 2 b 2 x a 2 c 2x24x4
a1,b2,c1
f(x)x22xP1PT课件
它们的方程，那么交换 x与1/x形成新的方程
解 ： 设 F x
f
x
2
f
1 x
3x
(1 )
F
1 x
f
1 x
2
f
1 1 x
3
1 x
f
1 x
2
f
x
3 x
(2 )
有 （1） （ 2） 得 f x 2 x x 0
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x
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【练习】 （1）设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2)，
且图象在y轴上的截距为1，被x轴截得的线段长为
2 2 ，求f(x)的解析式；