3.3常用离散型随机变量分布

例3-12
若随机变量X的分布律为 k
P{ X k } k! e
医药数理统计方法
( k 0, 1, 2, )
其中>0是常数，则称X服从参数为的泊松分布， 记为X～π().试求其方差D(X).
解： E ( X ) ,
DX E X

2
( EX )
2
k
k 1 k

2

k
k!
2
e


2

[ k ( k 1) k ]
k 1

k!
e


k ( k 1)

k
k 1
k!
e

k
k 1

k
k!
e


2
DX E X
2
( EX )
k
k!

2
医药数理统计方法



医药数理统计方法
例如某实验中小白鼠染毒后死亡概率P为0.8,则 生存概率为q=1-P=0.2，故对一只小白鼠进行实验的 结果为：死（概率为P）或生（概率为1-P）。 (1)独立重复性：试验在相同条件下重复进行， 每次试验结果互不影响； (2)对立性：每次试验只能是两个相互独立的结 果之一，A或 A 出现，且每次试验中A事件发 生的概率都是p，即P(A)=q，则有q=1-p。
k k
20 k
,
k 0, 1, 2..., n
医药数理统计方法
二项分布
0 0 20
(1)有人未治愈的概率
P { X 1} 1 P { X 0} 1 C 20 0.2 0.8
1 0.8
20
0.98847
(2)恰有2例未治愈的概率
2 P { X 2} C 20 0.2 2 0.8 18 0.13690

a bxdx ( ax b
x
2 x
2
)
2 0
1
E(X )

xf ( x )dx
b 2 3

2 0
x ( a bx )dx ( a
1 2 .
2
b
x
3
3
)
2 0

2 3
2a
8 3
a 1, b
例3-14
随机变量X 的概率密度为
a bx f ( x) 0
1 p q q p C 2 p q1 =1)的概率：
C2 p q
1
21
=0)的概率：q
k n k
2
0 C 2 p q C 2 p 0 q 2 0 0 0 2
P {X k } C p q
n k
,q 1 p
医药数理统计方法
医药数理统计方法
(1)若X 是离散型随机变量，则Y(X)的数学期望为
E Y E g X
g x p
k k 1

k
P { X x k } pk
k 1, 2,
(2)若X 是连续型随机变量，则Y(X)的数学期望为
E Y E g X
2
ab 2
, DX EX ( EX )



2 x f ( x )dx

b a
x3 b 2 x dx ba ba 3 a
1
1
b3 a3 1 2 2 ( a ab b ) ba 3 3 1
例3-13
医药数理统计方法
对于二项分布，还可通过附表1直接查得 P ( X k ) 这里：n=20,p=0.2
P1 P { X 1} 0.98847
P2 P { X 2} P { X 2} P { X 3}
0.93082 0.79392 0.13690
P3 P { X 2} 1 P { X 3} 1 0.79392 0.20608
2
2
( ) 3 3 9
2
4
D (3 X 2) 3 D ( X ) 9
2 9
2.
医药数理统计方法
若已知随机变量X的均值E(X)和方差D(X)时，可对
X进行标准化
X
*
X E(X ) D( X )
对于标准化随机变量X*，其数学期望等于0，其方
差等于1。
X E(X ) E(X ) E D( X )


g xf
x dx .
f ( x ) 为X密度函数
四、方差与标准差
X
E X
医药数理统计方法
定义：设随机变量 X，如果数学期望E(X)存在，且
2 的数学期望也存在，则称 E ( X E X ) 2
的值为随机变量X的方差，记为：D(X)或Var(X),
分析：A={该病人未被治愈} 满足独立重复性和对立性。
p P ( A ) 0.2,
n 20, q 1 0.2 0.8
解：X={20人中未被治愈的人数}
P { X k } C 0.2 0.8
k 20 k 20 k
,
k 0,1, 2..., n
P { X k } C 20 0.2 0.8
2
1 3
2
( a ab b )
2 2 2
DX EX ( EX )

1
3 1
( a ab b )
(a b ) 4
2
12
b a
2
.
医药数理统计方法
方差的性质:
(1)
(2) (3) (4)
D(c)=0（c为常数）;
D(CX)=C2D(X) (C为常数）；
D(aX+b)=D(X)（b为常数） 若X与Y 是两个独立的随机变量，则
—— n重伯努利试验
医药数理统计方法
如某实验中小白鼠染毒后死亡概率P为0.8,则 生存概率为q=1-P=0.2，故 一只：死的概率：p，生的概率在：q=1-p。 二只： ①均死(X=2)的概率：p C 2 p q C 2 p q
2
2
2
0
2
2
2 2
②仅死一只(X ④均未死(X
* *
1 D( X )
E ( X ) E ( X ) 0
X E(X ) 1 D( X ) D( X ) D D X E ( X ) 1. D( X ) D( X ) D( X )
医药数理统计方法
第三章 随机变量及其分布
第三节 常用离散型随机变 量的分布
主要内容
*一、二项分布 *二、泊松分布
三、超几何分布
一、二项分布
1.伯努利试验
医药数理统计方法
在医学卫生领域的许多实验或观察中，人们感兴 趣的是某事件是否发生。如用白鼠做某药物的毒性实 验，关心的是白鼠是否死亡；某种新疗法临床实验观 察患者是否治愈；观察某指标的化验结果是否呈阳性 等。将我们关心的事件A出现称为成功，不出现称为 失败，这类试验就称为成-败型实验。
均匀分布
a xb x a或 x b
医药数理统计方法
若随机变量X的概率密度函数为:
1 f (x) b a 0
试求其方差D(X)。
2 2
解： E ( X )
EX
2
ab 2

, DX EX ( EX )
2


2

x f ( x )dx
3
医药数理统计方法
101 0.2 102 0.15
2
2 2 D ( X ) E [( X E ( X )) ] E [( X 100) ]
( x k 100) p k
k 1
2
(99 100) 0.2 (100 100) 0.6 (1 01 100) 0.2 0.4
(3)未治愈的不超过2例的概率
P { X 2} P { X 0} P { X 1} P { X 2}
C 20 0.2 0.8
0 0 20
C 20 0.2 0.8
1 1
19
C 20 0.2 0.8
2 2
18
0.01153 0.05765 0.13691 0.20609
2 2
2 D (Y ) E [(Y E (Y )) ] E [(Y 100) 2 ]
( y k 100) p k
2 k 1
2
5
(98 100) 0.15 (102 100) 0.1 5 1.6
2
医药数理统计方法
E(X)=E(Y)=100
即方差： D ( X ) E [( X E ( X )) 2 ] 标准差： ( X )
DX
方差刻画了X的取值偏离其均值的分散程度。
医药数理统计方法
例、有甲、乙两台药品自动装瓶机，每瓶标准重量为 100g。 若以X、Y表示这两台药品自动装瓶机所装的 每瓶重量，由以往装瓶结果可知，X、Y的分布列为
e

e e
2


e
2
例3-13
均匀分布
a xb x a或 x b
医药数理统计方法
若随机变量X的概率密度函数为:
1 f (x) b a 0
试求其方差D(X)。
2 2
解： E ( X )
EX
X 99 100 101
P Y
P
0.2 98
0.15
0.6 99
0.2
0.2 101
0.2
100
0.3
102
0.15
问哪台自动装瓶机性能更好？ E(X)=E(Y)=100
E(X)=E(Y)=100
X P Y P 98 0.15 99 0.2 99 0.2 100 0.6 100 0.3 101 0.2
D(X+Y)= D(X)+D(Y)
例3-14
随机变量X 的概率密度为
a bx f ( x) 0
2 0
医药数理统计方法
0 x2 其他
2
已知E(X)=2/3，试求方差D(X)和D(3X+2)。 解： f ( x )dx
2a 2b 1

复习：
1、离散型随机变量X的数学期望(均值)
E(X )
医药数理统计方法
x
k 1

k
pk ,
P { X x k } pk
k 1, 2,
2、连续型随机变量X的数学期望(均值)
E(X )


xf ( x ) dx ,
f ( x ) 为X密度函数
复习：
3、随机变量X的函数Y(X)的数学期望
X P Y P 98 0.15 99 0.2 99 0.2 100 0.6 100 0.3 101 0.2 101 0.2 102 0.15
D ( X ) 0.4 D (Y ) 1.6
说明甲的装瓶性能优于乙的装瓶性能。
医药数理统计方法
计算方差的一个简化公式 D(X)=E(X2)-[E(X)]2 证：D(X)=E[(X-E(X))2 ] =E[X2-2XE(X)+[E (X)]2] =E(X2)-2[E(X)]2+[E(X)]2 =E(X2)-[E(X)]2 这是方差运算中一个常用的公式。
1 2
医药数理统计方法
0 x2 其他
已知E(X)=2/3，试求方差D(X)和D(3X+2)。 解： a 1, b
E(X )
2
, E(X )
2
2 3
.


x f ( x )dx
2 2

2 0
x (1
2
1 2
2
x )dx
2 3
D ( X ) E ( X ) [ E ( X )]
定理：在n重伯努利试验中，设 X={n重伯努利试验中事件A发生的次数} 事件A恰好发生k次的概率为
P {X k } C p q
k n k
nk
k 1, 2, 3..., n; p( A ) p q 1 p
医药数理统计方法
例3-15.某药治某病的治愈率为80%，今用该药治病20 例。试求(1)有人未治愈的概率；(2)恰有2例未治愈 的概率；(3)未治愈的不超过2例的概率。
医药数理统计方法
2.两点分布
定义:若随机变量X的分布律为
P { X 1} p , P { X 0} q , (0 p 1, q 1 p )
则称X服从参数为p的两点分布或0-1分布， 记为：X ~ B (1, p ).

k ( k 1)
e

k 1
k
k 1

k
k!
e


2
( k 2) ! e
k2
k

பைடு நூலகம்k
( k 1) !

e


2
k 1
e

2
( k 2) !
k2
k2
e


2

k 1
( k 1) !
2

2
k 1