初等数学分析教学大纲

《初等数学研究》教学大纲

Elementary Mathematics Research

一、本大纲适用专业

数学与应用数学。

二、课程性质与目的

1. 课程目标

（1）使学生了解初等数学的研究对象，明确初等数学在数学学科中的地位、作用以及本课程与中学数学的联系；

（2）使学生理解初等数学中的概念、原理、法则、方法等；

（3）使学生掌握初等数学的理论体系和结构以及初等数学中的重要的思想方法；

（4）使学生学会运用高等数学的理论和观点分析研究初等数学，熟练地运用重要的思想方法解决初等数学中的问题；

（5）使学生对中学数学新课程改革的基本思想和容的设置有个较为全面地了解和认识，并产生自己的思考；

（6）使学生提高分析、认识和处理中学数学教材的水平，培养学生独立思考、探索研究、分析和解决问题的能力，以及养成数学的思维习惯；

（7）为学生今后从事数学教师职业提供必要的专业训练和知识准备，以及辅导中学生研究数学问题所需的基本方法。

2. 与其它课程的关系

《初等数学研究》是在学习了《数学分析》、《高等代数》、《解析几何》等专业基础课的基础上开设的，并且与后继课程《现代教育学》、《教育心理学》、《数学课程与教学论》、《数学方法论与数学史》等教育理论，《几何画板与flash 制作》、《竞赛数学》等紧密结合。

3. 开设学期

按培养方案规定的学期开设。

三、教学方式及学时分配

四、教学容、重点

第一章数系

1. 教学目标

（1）了解数系扩展的两种形式及其所遵循的原则；

（2）掌握自然数的基数理论及整数环的构造；

（3）理解自然数集扩充到有理数集的有关概念，弄清自然数、整数运算的概念及其运算律，掌握有理数大小比较的法则、有理数的运算法则和有理数域的性质；

（4）理解无理数、实数概念，掌握实数大小比较的法则、实数的运算法则和实数域的性质；

（5）理解复数概念，掌握复数的两种表示形式、复数的运算和复数域的性质。

2. 教学容

（1）数的概念的扩展：数的概念的扩展；有理数，实数，复数理论；

（2）自然数的序数理论；

（3）整数环；

（4）数域：有理域；实数域；复数域；

（5）实数的运算；实数集的性质；复数的三角形式；复数的运算。

3. 教学方法

讲授法。

4. 本章重点

序数理论；整数环；实数的运算；复数的运算。

5. 本章难点

序数理论。

第二章解析式

1. 教学目标

（1）了解解析式的概念及其分类；

（2）了解多项式概念，掌握待定系数法和多项式的因式分解方法；

（3）了解分式的概念和定理；掌握分式恒等变形；

（4）掌握根式的运算和变形；

（5）掌握不等式的基本性质、解法和证明；

（6）熟悉几个著名的不等式。

2. 教学容

（1）解析式的基本概念，解析式的恒等变形；

（2）多项式：多项式的恒等定理；

（3）分式：分式恒等变形；

（4）实数域上的根式：根式的化简和计算；

（5）不等式：解不等式（组）；不等式的证明；几个著名的不等式。

3. 教学方法

讲授法。

4. 本章重点

待定系数法；因式分解方法；分式恒等变形；根式的化简和计算；不等式的证明；著名的不等式。

5. 本章难点

不等式的证明。

第三章方程与函数

1. 教学目标

（1）掌握各种代数方程中的同解理论（弄清增、失根原因及检验方法）及基本解法；

（2）掌握特殊的高次方程的解法；

（3）掌握简单的分式方程、无理方程和超越方程的解法；

（4）了解函数概念的发展与几种定义方式；

（5）掌握初等函数的基本性质。

2. 教学容

（1）方程与方程组的概念及分类；

（2）方程与方程组的同解性：一元n次方程的根的有关性质；一元三次和四次方程的解法；倒数方程的解法；

（3）整式方程、分式方程、无理方程和超越方程：分式方程、无理方程、超越方程的解法；

（4）方程组的解法；

（5）函数概念的概述：初等函数及其分类；初等函数图象的作法，基本初

等函数，初等超越函数超越性的证明；

（6）初等函数性质的判定。

3. 教学方法

讲授法。

4. 本章重点

方程（组）通解定理；倒数方程的解法；分式方程、无理方程、超越方程的解法；方程组的解法；初等函数性质的判定。

5. 本章难点

倒数方程的解法；超越方程的解法。

第四章数列

1. 教学目标

（1）掌握求数列通项的方法；

（2）熟练掌握等差与等比数列的综合题；

（3）了解高阶等差数列、斐波那契数列、分群数列；

（4）熟练掌握数学归纳法的各种形式的应用；

（6）了解数列的母函数。

2. 教学容

（1）数列概述；

（2）等差数列与等比数列；

（3）几种特殊的数列：k阶差分数列、简单递推数列、数列求和；

（4）数学归纳法；

（5）数列的母函数。

3. 教学方法

讲授法。

4. 本章重点

等差数列与等比数列；数学归纳法。

5. 本章难点

几种特殊的数列。

第五章排列与组合

1. 教学目标

（1）理解加法和乘法两个基本的计数原理；

（2）掌握无重排列、可重复排列、圆排列；无重组合、相异元素的重复组合的计算公式；

（3）熟练应用容斥原理解题。

2. 教学容