初三数学二次函数专题

二次函数图象与性质(1) 【学习目标】

1 •理解二次函数的定义及解析式的三种形式；

2•了解二次函数图像与字母系数的关系•并巩固二次函数的性质•3•了解二次函数的平移，能够根据条件确定二次函数的解析式

【知识梳理】

1 •二次函数的定义：形如y ax2bx c的函数叫做二次函数。

2.二次函数解析式的几种形式

(1)一般式：y ax2bx c，其中a、b、c 为常数，a 0 .

2

(2)顶点式：y a(x h) k ,其中a、h、k为常数，a 0 .

(3)两根式(交点式)：y a(x xj(x X2)，其中a工0且X1、X2

是 _____________________ •

2

5•二次函数与一元二次方程的关系

△> 0 抛物线与 x 轴 ________ ; △= 0 抛物线与 x 轴 _________ ; △< 0 物线与 x

轴 ______ •

6•二次函数图像的平移规律

2 2

从y ax 到y a （x h ） k ，抓住顶点从（0, 0）至U （ h ，k ）.

【考点解析】 考点一：二次函数的性质

例1.（长沙）如图，关于抛物线 y （X 1）2 2，下列说法错误的是

A .顶点坐标为（1, 2）;

B .对称轴是直线 x=1;

例2. （2014?莱芜）已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象如下图所示.下列结论： ①abc >0; ②2a- b v 0;③4a - 2b+c v 0;④（a+c ） 2< b 2。其中正确的个数有（

）

II A .1 跟踪练

习： B . 2 C . 3 D . 4 1. （2014?孝感）抛物线y=ax 2+bx+c 的顶点为D （- 1, 2），与x 轴的一个交点 A

在点（-3, 0）和（-2, 0）之间，其部分图象如图， 则以下结论：①b 2- 4ac < 0;

②a+b+c < 0;③c - a=2;④方程ax 2+bx+c - 2=0有两个相等的实数根.其中正确结论的个

考点三：根据条件确定二次函数的解析式

C .开口方向向上;

D .当x>1时, 跟踪练习：1. （2014?新疆）对于二次函数 y 随x 的增大而减小。 y= （x - 1） 2+2 的图

F 列说法正确的是 （ A.开口向下 B.对称轴是x= - 1

C.顶点坐标是（1 , 2）

D.与x 轴有两个交点。

2. (2014?毕节地区)抛物线 y=2x 2, y= - 2x 2,

1 2

二■共有的性质是（）

A.开口向下

B.对称轴是y 轴

C.都有最低点

D. y 随x 的增大而减小

1个

\・ 例2题

图-

B . 2个

C . 3个

D . 4个

3. （2014?青岛）函数 k

2

y=—与y= - kx +k （ k 和）在同一直角坐标系中的图象可能是（

)

考点二：抛物线y=ax 2+bx+c 的图象与a 、b 、c 之间的关系

例3.（广东）已知二次函数y x2 bx c的图象如图所示，

它与x轴的一个交点坐标为（一1, 0），与y轴的交点坐标为（0, 3）

（1）求出b, c的值，并写出此二次函数的解析式；

（2）根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围.

跟踪练习：1. （2014?温州）如图，抛物线y=-X2+2X+C与x轴交于A, B两点，它的对称轴与x轴交于点N，过顶点M作ME丄y轴于点E，连结BE交MN于点F，已知点A的坐标

为（-1，0）.

（1）求该抛物线的解析式及顶点M的坐标.

（2）求厶EFM 与厶BFN的面积之比。

2. （2014?毕节地区）如图，抛物线y=ax2+bx+c （a工0的顶点为A （- 1，- 1），与x轴交点M （1，0）. C为x轴上一点，且/ 有

点 F （- 1，0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）求直线A C的解析式及B点坐标;

3. （2014?浙江宁波）如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过A （2，0），B （0，- 1）和 C （4，5）三点.（1）求二次函数的解析式；

（2）设二次函数的图象与x轴的另一个交点为D，求点D的坐标；

（3）在同一坐标系中画出直线y=x+1，并写出当x在什么范围内时，一次函数的值大于二次函数的值.

考点四：二次函数图像的平移

例4.(广元)在平面直角坐标系中，如果抛物线

y = 3x 2不动，而把x 轴、y 轴分别向上、

向右平移3个单位，那么在新坐标系中此抛物线的解析式是(

)

A . y = 3(x — 3)2+ 3

B . y = 3(x — 3)2- 3

C . y = 3(x + 3)2+ 3

D . y = 3(x + 3)2— 3

跟踪练习：1.( 2014?哈尔滨)将抛物线 y= - 2x 2+i 向右平移1个单位，再向上平移 2个单 位后所得到的抛物线为(

)

A . y=- 2 (x+1 ) 2 - 1

B . y - 2 ( x+1) 2+3

C . y= - 2 (x - 1) 2+1

D . y= - 2 ( x - 1) 2+3 2. (2014?湖北荆门)将抛物线y=x 2 - 6x+5向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长 度后，得到的抛物线解析式是(

)

A . y= ( x - 4) 2 - 6

B . y= (x - 4) 2 - 2

C . y= ( x - 2) 2- 2

D . y= (x - 1) 2 -3 2

3. (2014?丽水)在同一平面直角坐标系内， 将函数y=2x +4x - 3的图象向右平移 2个单位，

再向下平移1个单位得到图象的顶点坐标是( ) A . ( - 3,- 6) B . (1,- 4)

C . (1 , - 6)

【基础演练】 一 •选择题：

1. ( 2014?广东)二次函数 y=a/+bx+c (a 工0的大致图象如图, 关于该二次函数，下列说法错误的是( )

A .函数有最小值；

B.对称轴是直线x= | ;

13

C.当x v 1 , y 随x 的增大而减小；

D.当-1 v X V 2时，y >0.

2

2. ( 2014?广西贺州)已知二次函数 y=ax 2+bx+c( a, b, c 是常数，且a ^O

3. (2014年四川资阳 出下列四个结论：①

(am + b ) +b v a (m ^- 1),其中正确结论的个数是(

A . 4个

B . 3个

C . 2个

D . 1个

4. (2014年天津市)已知二次函数 y=ax 2+bx+c (a ^0的图象如图，且关于 x 的一元二次方 程ax 2+

D . (- 3,- 4)

的图象如图所示，则一次函数 系内的大致图象是(

)二次函数y=ax 2+bx+c ( a ^0的图象如图，给 4ac - b 2v 0;②4a+c v 2b :③ 3b+2c v 0 :④ m )

y=cx )

B . D .

与反比例函数y=」在同一坐标

A .