2020-2021学年数学人教A版必修2学案：3.1.1倾斜角与斜率

第三章直线与方程
3.1直线的倾斜角与斜率
3．1.1倾斜角与斜率
[目标] 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握它们之间的关系；
2.掌握过两点的直线的斜率计算公式，及其简单的应用．
[重点] 倾斜角与斜率的定义；直线的斜率公式；利用斜率公式解答有关问题．
[难点] 倾斜角与斜率的定义及它们关系的理解．
知识点一直线的倾斜角
[填一填]
1．当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．特别地，当直线l与x 轴平行或重合时，规定α＝0°.因此，直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.
2．倾斜角表示平面直角坐标系内一条直线的倾斜程度．
3．确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角．
[答一答]
1．每一条直线都有唯一的倾斜角吗？
提示：直线的倾斜角是分两种情况定义的：第一种是与x轴相交的直线；第二种是与x轴平行或重合的直线，此时构不成角，所以定义为0°，作了这样的定义之后，就可以使平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角了．
2．若0°≤α<180°，任给定一个角α，有多少条直线与之对应？ 提示：有无数条，这无数条直线互相平行． 知识点二 直线的斜率
[填一填]
1．定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，记为k ，即k ＝tan α.
2．斜率与倾斜角的对应关系
3.经过两点的斜率公式
直线经过两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)(x 1≠x 2)，其斜率k ＝y 2－y 1x 2－x 1
.
[答一答]
3．是否所有直线都有斜率，斜率的几何意义是什么？
提示：当直线与x 轴垂直时，直线不存在斜率，斜率决定直线相对于x 轴的倾斜程度．
4．直线的倾斜角越大，直线的斜率也越大，这句话对吗？ 提示：这句话不对，当倾斜角α＝0°时，k ＝0，当0°<α<90°时，k >0，
并且随α的增大，k 也增大，当α＝90°时，k 不存在；当90°<α<180°时，k <0，并且随α的增大，k 也增大．
5．斜率公式与所选取的两点的顺序是否有关？为什么？ 提示：斜率公式与所选取的两点的顺序都无关，即两点的横坐标和纵坐标在公式中的次序可以同时调换，即k ＝y 1－y 2x 1－x 2(x 1≠x 2)，但只颠
倒其中一个的顺序是不行的．
6．过两点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的所有直线都有斜率吗？ 提示：不是，当x 1＝x 2，y 1≠y 2时，直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为90°.
类型一 直线的倾斜角 [例1] 给出下列结论：
①任意一条直线有唯一的倾斜角； ②一条直线的倾斜角可以为－30°； ③倾斜角为0°的直线只有一条，即x 轴； ④若直线的倾斜角为α，则sin α∈(0,1)；
⑤若α是直线l 的倾斜角，且sin α＝2
2，则α＝45°. 其中正确结论的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
[解析] 任意一条直线有唯一的倾斜角，倾斜角不可能为负，倾斜角为0°的直线有无数条，它们都垂直于y 轴，因此①正确，②③错误．④中当α＝0°时，sin α＝0，故④错误．⑤中α有可能为135°，故⑤错误．
[答案] A
根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，然后根据定义找直线向上的方向与x轴的正向的夹角即为直线的倾斜角.画图时一般要分情况讨论，讨论时要做到不重不漏，讨论的分类主要有0°角、锐角、直角和钝角四类.
[变式训练1](1)直线l经过第二、四象限，则直线l的倾斜角α的范围是(C)
A．0°≤α<90°B．90°≤α<180°
C．90°<α<180°D．0°≤α<180°
解析：如图所示，α为钝角，即90°<α<180°.
(2)如图，已知直线l1的倾斜角为30°，直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为120°.
类型二直线的斜率
命题视角1：直线斜率的定义
[例2]已知直线l1与l2向上的方向所成的角为100°，若l1的倾斜角为20°，求直线l2的斜率．
[分析]结合题作图分析，求l2的倾斜角后利用k＝tanα可求．
[解]如图，设直线l2的倾斜角为α，斜率为k，则α＝100°＋20°＝120°，
∴k＝tanα＝tan120°＝－ 3.
∴直线l2的斜率为－ 3.
直线的斜率k随倾斜角α增大时的变化情况：
①当0°≤α<90°时，随α的增大，k在[0，＋∞)范围内增大；
②当90°<α<180°时，随α的增大，k在(－∞，0)范围内增大.
[变式训练2]如图，设直线l1，l2，l3的斜率分别为
k1，k2，k3，则k1，k2，k3的大小关系为(D)
A．k1<k2<k3
B．k3<k1<k2
C．k3<k2<k1
D．k1<k3<k2
解析：直线l2，l3的倾斜角为锐角，且直线l2的倾斜角大于直线l3的倾斜角，所以0<k3<k2.直线l1的倾斜角为钝角，斜率k1<0，所以k1<k3<k2.
命题视角2：直线的斜率公式
[例3]求经过下列两点的直线的斜率(如果存在)和倾斜角，其中
a ，
b ，
c 是两两不相等的实数．
(1)(a ，c )，(b ，c )； (2)(a ，b )，(a ，c )； (3)(a ，a ＋b )，(c ，b ＋c )．
[分析] 先确定斜率，再由公式k ＝tan α确定倾斜角，当两点的横坐标相等时，斜率不存在．
[解] (1)k ＝c －c
b －a ＝0，倾斜角为0°.
(2)∵直线所经过的两点的横坐标相同， ∴此直线的斜率不存在，倾斜角为90°. (3)k ＝(b ＋c )－(a ＋b )c －a
＝1，倾斜角为45°.
只有倾斜角不是90°的直线才有斜率，因此运用斜率公式时，要注意两点的横坐标是否相等.
[变式训练3] (1)已知M (1，3)，N (3，3)，若直线l 的倾斜角是直线MN 的倾斜角的一半，则直线l 的斜率为( A )
A.33
B.3
C.3
2 D ．1
解析：设直线MN 的倾斜角为α，则tan α＝3－3
3－1＝3，∴α＝60°，
故直线l 的倾斜角为α2＝30°.由tan30°＝33，得直线l 的斜率为3
3.
(2)直线l 过点P (1,0)，且与以A (2,1)，B (0，3)为端点的线段有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．
解析：如图，∵k AP ＝1－0
2－1
＝1，
k BP ＝
3－00－1
＝－3，
∴直线l 的斜率k ∈(－∞，－3]∪[1，＋∞)． 命题视角3：斜率公式的应用
[例4] 已知实数x ，y 满足y ＝－2x ＋8，且2≤x ≤3，求y
x 的最大值和最小值．
[解] 如图所示，由于点(x ，y )满足关系式2x ＋y ＝8，且2≤x ≤3，可知点P (x ，y )在线段AB 上移动，并且A ，B 两点的坐标可分别求得为A (2,4)，B (3,2)．由于y
x 的几何意义是直线OP 的斜率，且k OA ＝2，k OB ＝23，所以可求得y x 的最大值为2，最小值为23.
[变式训练4] 点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈[2,5]时，则y ＋1x ＋1
的取值范围是[－16，53]．
解析：如图，设P 坐标(－1，－1)，A ，B 坐标分别为(2,4)，(5，－2)，
k P A ＝4－(－1)2－(－1)
＝53，
k PB ＝－2－(－1)5－(－1)
＝－16，
所以y ＋1x ＋1的取值范围是[－16，53]．
1．已知直线l 的倾斜角α＝30°，则其斜率k 的值为( B ) A ．0 B.3
3 C. 3
D ．1
解析：k ＝tan30°＝33.
2．若直线l 经过点M (2,3)，N (2，－1)，则直线l 的倾斜角为( D )
A ．0°
B ．30°
C ．60°
D ．90°
解析：M ，N 的横坐标相同，所以l 的倾斜角为90°.
3．已知直线l 的斜率k 满足－1≤k <1，则它的倾斜角α的取值范围是( D )
A ．－45°<α<45°
B ．－45≤α<45°
C ．0°<α<45°或135°<α<180°
D ．0°≤α<45°或135°≤α<180°
4．已知点P (3,2)，点Q 在x 轴上，若直线PQ 的倾斜角为150°，则点Q 的坐标为(3＋23，0)．
解析：设Q (x,0)，则由tan150°＝－2
x －3
＝－33可求之．
5．如下图，已知△ABC 三个顶点坐标A (－2，1)，B (1,1)，C (－2，4)，求三边所在直线的斜率，并根据斜率求这三条直线的倾斜角．
解：由斜率公式知直线AB 的斜率k AB ＝
1－1
1－(－2)＝0.
直线BC 的斜率k BC ＝
4－1
－2－1
＝－1. 由于点A ，C 的横坐标均为－2，所以直线AC 的倾斜角为90°，其斜率不存在．
又∵α∈[0°，180°)时，tan0°＝0，∴AB 的倾斜角为0°， ∴tan135°＝－tan45°＝－1，∴BC 的倾斜角为135°.
∴直线AB 的斜率为0，倾斜角为0°；直线BC 的斜率为－1，倾斜角为135°；直线AC 的斜率不存在，倾斜角为90°.
——本课须掌握的两大问题
1．倾斜角
理解倾斜角的概念，需注意以下三个方面：①角的顶点是直线与x 轴的交点；②角的一条边的方向是指向x 轴正方向；③角的另一边的方向是由顶点指向直线向上的方向．
2．斜率公式
(1)直线的斜率与两点的顺序无关，即两点的纵坐标和横坐标在公式中的次序可以同时调换．这就是说，如果分子是y 2－y 1，分母必须是x 2－x 1；反过来，如果分子是y 1－y 2，分母必须是x 1－x 2，即k ＝y 1－y 2
x 1－x 2＝
y 2－y 1
x 2－x 1(x 1≠x 2
)． (2)用斜率公式时要一看，二用，三求值．一看，就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在，若不相等，则进行第二步；二用，就是将点的坐标代入斜率公式；三求值，就是计算斜率的值，尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式时要对参数进行讨论．。