【高中数学课件】抛物线的几何性质1 ppt课件
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抛物线的性质ppt课件
x
p
2
P1
l
p
p
端点为
(
, p )
特别地, 当x1 x2 时, AB 2 p, 此时 AB 为抛物线的通径.
2
2
y
y
设P ( x0 , y0 )，
l
P
P1
F
P
O
l
则由抛物线的定义，
|PF| | P1 P | x0
p
2
设P ( x0 , y0 )，
P1
x
O
则由抛物线的定义，
p
y k ( x 1)
联立 2
得k 2 x 2 (2k 2 4) x k 2 0(k 0).
y 4x
4
4
x1 x2 2 2 . PQ PF QF x1 x2 2 4 2 8.
k
k 2 1. k tan [1,0) (0,1].
(1)若直线l的倾斜角为60, 求 AB 的值.
(2)若 AB 9, 求线段AB的中点M到准线的距离.
3
3
解 : (1) F ( ,0), l : y 3 ( x )
2
2
3
9
y 3( x ) 2
联立
2 得x 5 x 0. 设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ).
F
B
p
AF AA' p AF cos AF (1 cos ) p AF
1 cos
p
BF p BF cos BF
1 cos
上－下+
为直线的倾斜角.
高中数学抛物线的几何性质总结课件
开口大小与函数值随x变化的幅度有关，开口越小，函数值变化幅度越小；开口 越大，函数值变化幅度越大。
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
开口方向与开口大小的关系
开口方向与开口大小的相互影响
开口方向和开口大小是相互影响的，一般来说，向上开口的抛物线开口会逐渐变小，向下开口的抛物线开口会逐 渐变大。
特殊情况下的关系
当a=0时，抛物线退化为一条直线，此时开口方向和大小无法定义。
04 抛物线的对称性
抛物线的对称轴
抛物线关于其对称轴对称，对称轴是 一条垂直于x轴的直线。
对称轴是抛物线几何性质的一个重要 特征，它决定了抛物线的形状和位置 。
对于标准形式的抛物线 y=ax^2+bx+c，其对称轴的方程是 x=-b/2a。
抛物线的对称中心
抛物线的对称中心是其顶点的位 置，顶点坐标可以通过二次函数 的顶点式y=a(x-h)^2+k得到。
抛物线上的任意一点 到焦点的距离等于该 点到准线的距离。
抛物线的标准方程
开口向右的抛物线方程为 $y^2 = 2px$，其中 $p$ 是焦 距。
开口向左的抛物线方程为 $y^2 = -2px$，其中 $p$ 是 焦距。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
抛物线的标准方程可以根据焦 点和准线的位置进行变换。
抛物线的几何性质
01
02
03
开口方向与函数值变化趋势
开口方向与函数值随x的变化趋势一致，向上开口时函数值随x增大而增大，向 下开口时函数值随x增大而减小。
抛物线的开口大小
开口大小与二次项系数的绝对值大小
开口大小由二次项系数的绝对值|a|决定，|a|越大，抛物线开口越小；|a|越小，抛 物线开口越大。
开口大小与函数值变化幅度的关系
3.3.2抛物线的简单几何性质第1课时PPT课件(人教版)
（2）关于y轴对称，准线经过点E(5,-5)；
（3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16 的点P，且FP平行于准线.
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线 相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为 F (1，0)， 所以直线 AB 的方程为 y 0 1 ( x 1) ，即 y x 1 ， ①
p y＝ 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1.范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0 x 0
p0
所以抛物线的范围为 x 0
o F ( p ,0) x
2
2.对称性 视察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p＞0)
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
作业：课本136页练习1,2,3,4
2.4.2抛物线的简单几 何性质(1)
1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.归纳、对照四种方程所表示的抛物线的几何性质.
1.数学抽象：抛物线的几何性质 2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质 3.数学运算：抛物线几何性质的简单应用
1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的准线 .
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
（3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16 的点P，且FP平行于准线.
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点，与抛物线 相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
解：方法一：由抛物线的标准方程可知，抛物线焦点的坐标为 F (1，0)， 所以直线 AB 的方程为 y 0 1 ( x 1) ，即 y x 1 ， ①
p y＝ 2
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R
开口方向
向右
向左
向上
向下
如何研究抛物线y2 =2px（p>0）的几何性质?
1.范围
y
由抛物线y2 =2px（p>0）
有 2 px y2 0 x 0
p0
所以抛物线的范围为 x 0
o F ( p ,0) x
2
2.对称性 视察图象，不难发现，抛物线 y2 = 2px (p＞0)
x（p>0）
2
y p 2
y ≤0 x∈R
y轴
作业：课本136页练习1,2,3,4
2.4.2抛物线的简单几 何性质(1)
1.掌握抛物线的简单几何性质. 2.归纳、对照四种方程所表示的抛物线的几何性质.
1.数学抽象：抛物线的几何性质 2.逻辑推理：运用抛物线的方程推导其几何性质 3.数学运算：抛物线几何性质的简单应用
1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫 做抛物线.点F叫做抛物线的 焦点 ，直线l叫做抛物线的准线 .
x p 2
x≥0 y∈R
x轴
yl
FO
抛物线的几何性质 教学课件(共46张PPT)高中数学人教B版(2019)选择性必修第一册
2
5.已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点坐标为 F(1,0) ，则抛物线上的动点 P 到点
C M (3p,0) 的距离 MP 的最小值为( )
A.2
B.4
C. 2 5
D.4 5
解析：由题意，得抛物线的标准方程为 y2 4x .设抛物线上动点 P 的坐标为
x0, y0 ，则 y02 4x0 .由 M (6, 0) ，得| MP |2 x0 62 y02 x02 12x0 36 4x0 x0 42 20 .因为 x0 0 ，所以当 x0 4 时，| MP |2 取得最小值 20，即| MP |2 20 ，
y2
4ty
4s
0
.
则 y1 y2 4t ， y1 y2 4s .
OA OB ，OAOB 0 ，即 x1x2 y1y2 0 ，
即
y12 4
y22 4
y1 y2
0
，化简，得
y1 y2
16
解析： 抛物线 y 4x2 的标准方程为 x2 1 y ， 其准线方程为 y 1 .
4
16
直线 y 1 关于 y x 对称的直线的方程为 x 1 ，
16
16
所求的抛物线的准线方程为 x 1 . 16
9.抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，过抛物线上一点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴 于点 M，抛物线的准线交 x 轴于点 N，四边形 PMNF 为平行四边形，则点 P 到 x
所以| MP | 2 5 ，即动点 P 到点 M (3p,0) 的距离的最小值为 2 5 .故选 C.
6.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，且| AB | 16 . 3
D 若 AF t FB （其中t 1），则实数 t 的值为( )
5.已知抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点坐标为 F(1,0) ，则抛物线上的动点 P 到点
C M (3p,0) 的距离 MP 的最小值为( )
A.2
B.4
C. 2 5
D.4 5
解析：由题意，得抛物线的标准方程为 y2 4x .设抛物线上动点 P 的坐标为
x0, y0 ，则 y02 4x0 .由 M (6, 0) ，得| MP |2 x0 62 y02 x02 12x0 36 4x0 x0 42 20 .因为 x0 0 ，所以当 x0 4 时，| MP |2 取得最小值 20，即| MP |2 20 ，
y2
4ty
4s
0
.
则 y1 y2 4t ， y1 y2 4s .
OA OB ，OAOB 0 ，即 x1x2 y1y2 0 ，
即
y12 4
y22 4
y1 y2
0
，化简，得
y1 y2
16
解析： 抛物线 y 4x2 的标准方程为 x2 1 y ， 其准线方程为 y 1 .
4
16
直线 y 1 关于 y x 对称的直线的方程为 x 1 ，
16
16
所求的抛物线的准线方程为 x 1 . 16
9.抛物线 y2 2 px( p 0) 的焦点为 F，过抛物线上一点 P 作 x 轴的平行线交 y 轴 于点 M，抛物线的准线交 x 轴于点 N，四边形 PMNF 为平行四边形，则点 P 到 x
所以| MP | 2 5 ，即动点 P 到点 M (3p,0) 的距离的最小值为 2 5 .故选 C.
6.过抛物线 y2 4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A，B 两点，且| AB | 16 . 3
D 若 AF t FB （其中t 1），则实数 t 的值为( )
抛物线的简单几何性质ppt课件
所以开口向左，焦点坐标为
1 2
,
0
，准线为
x
1 2
，对称轴为
x
轴，
即 D 正确，ABC 错误.
2.若抛物线 y2 4x 过焦点的弦被焦点分成长为 m 和 n 两部分，则 m 与 n 的关系式
为( C )
A. m n 4
B. mn 4
C. 1 1 1 mn
D. 1 1 2 mn
解析：令过焦点的弦为 x ky 1，与抛物线交点分别为 A、B，
下面介绍另一种方法——数形结合的方法
在图中，设 A x1, y1 ， B x2, y2 .由抛物线的定义可知， AF 等于点 A 到准线的
距离 AA' .由 p
2， p 2
1 ，得 AA'
x1
BF
BB '
x2
p 2
x2 1 ，于是得 AB
p 2
x1
AF
1 .于是 AF x1 1 ，同理， BF =x1+x2 +p x1+x2 +2 .
4.已知抛物线 y2 8x 上一点 P 到准线的距离为 d1 ，到直线l : 4x 3y 12 0 的距离
D 为 d2 ，则 d1 d2 的最小值为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析：由抛物线 y2 8x 知，焦点 F 2,0 ，准线方程为l : x 2 ，根据题意作图如下；
点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 的距离为 PA ，到准线l1 : x 2 的距离为 PB ， 由抛物线的定义知： PB PF ， 所以点 P 到直线 l : 4x 3y 12 0 和准线l1 : x 2 的距离之和为 PF PA ，
高二数学抛物线的简单几何性质1省公开课金奖全国赛课一等奖微课获奖PPT课件
PF QF
PF QF 0 即( p, y1) ( p, y2 ) 0
p2 y1 y2 0
即y1 y2 p2
易得：x1x2
p2 4
Py A
O •F
x
Q
B
12/15
例5、正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外 两个顶点在抛物线y2 2 px（p 0）上，求这个 正三角形的边长.
K.
OF
x
－－抛物线标准方程
2/15
2、抛物线标准方程：
标准方程 y2 2 px( p 0) y2 2 px( p 0) x2 2 py( p 0) x2 2 py( p 0)
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F ( p ,0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
8/15
三、例题选讲：
例1. 顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,而且过点
M(2, 2 2 )抛物线有几条,求它标准方程.
当焦点在x[或y]轴上,开口方向不定时, 设为y2=mx(m ≠0) [或x2=my (m≠0)],可 防止讨论！
1.抛物线只位于半个坐标平面内,即使它能够无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线; 4.抛物线离心率是确定e=1; 5.抛物线标准方程中p对抛物线开口影响.
3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件-高二上学期数学人教A版(2019)选择性必修第一册
3
4
y＝ （x－1），
3
与抛物线方程联立，得
消去 y，
y2＝4x，
整理得 4x 2－17x＋4＝0.
17
25
由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p＝
＋2＝
.
4
4
25
所以线段 AB 的长为
.
4
典例剖析
[方法提升] 求过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长：
(1)焦点弦长公式；
(2)两点间距离公式；
2
法三：
y
2
p
p
AFx1 , BFx2 ,
2
2
AB AFBFx1 x2 p.
o
’
l
F
B
x
典例剖析
题型一：抛物线几何性质的应用
例 1：已知 A，B 是抛物线 y2＝2px(p＞0)上两点，O 为
坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的
焦点 F，求直线 AB 的方程.
复习导入
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线 ( 不
H
经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
┑
d
P
F
l
图形
复
习
导
入
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y2=2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x
y2=-2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x2=2py
(p＞0)
p
F (0, )
4
y＝ （x－1），
3
与抛物线方程联立，得
消去 y，
y2＝4x，
整理得 4x 2－17x＋4＝0.
17
25
由抛物线的定义可知，|AB|＝x 1＋x 2＋p＝
＋2＝
.
4
4
25
所以线段 AB 的长为
.
4
典例剖析
[方法提升] 求过抛物线焦点的直线与抛物线相交弦长：
(1)焦点弦长公式；
(2)两点间距离公式；
2
法三：
y
2
p
p
AFx1 , BFx2 ,
2
2
AB AFBFx1 x2 p.
o
’
l
F
B
x
典例剖析
题型一：抛物线几何性质的应用
例 1：已知 A，B 是抛物线 y2＝2px(p＞0)上两点，O 为
坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△ABO 的垂心恰是此抛物线的
焦点 F，求直线 AB 的方程.
复习导入
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F 和一条定直线 ( 不
H
经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
┑
d
P
F
l
图形
复
习
导
入
标准方程
焦点坐标
准线方程
x
y2=2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x
y2=-2px
(p＞0)
p
F ( , 0)
2
p
x
2
x2=2py
(p＞0)
p
F (0, )
抛物线的简单几何性质 PPT教学课件(高二数学人教A版 选必修一)
国家中小学：XX
日期：XX年XX月XX日
问题1：在椭圆、双曲线中我们研究了它们哪些几何性
质？用什么方法研究的？
标准方程
2
2
+
2
2
2
−
2
2
=1
1
O
2
x
y
=1
> 0, > 0
高中数学
性质
研究方法
y
>>0
2
图象
1
O
2
x
范围、对称性、
顶点、离心率
谢谢观看
祝同学们学习生活愉快！
高中数学
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
y
A
那么 还等于 1 + 2 + 吗？
+
= 1 + + 2 +
2
2
= 1 + 2 + >
高中数学
O
F
x
B
小结：
解
法
特
点
联立直线与抛物线
1
方程，解方程组
直接，
具有一般性
计算量大
2 应用根与系数关系
简化计算
需要掌握技巧
3 用抛物线定义转化
运算极简
适用有局限
日期：XX年XX月XX日
问题1：在椭圆、双曲线中我们研究了它们哪些几何性
质？用什么方法研究的？
标准方程
2
2
+
2
2
2
−
2
2
=1
1
O
2
x
y
=1
> 0, > 0
高中数学
性质
研究方法
y
>>0
2
图象
1
O
2
x
范围、对称性、
顶点、离心率
谢谢观看
祝同学们学习生活愉快！
高中数学
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
追问2：此题选择哪种抛物线的标准方程呢？
高中数学
问题3：已知抛物线关于 轴对称，它的顶点在原点，并
且经过点 2， − 2 2 ，求它的标准方程.
y
A
那么 还等于 1 + 2 + 吗？
+
= 1 + + 2 +
2
2
= 1 + 2 + >
高中数学
O
F
x
B
小结：
解
法
特
点
联立直线与抛物线
1
方程，解方程组
直接，
具有一般性
计算量大
2 应用根与系数关系
简化计算
需要掌握技巧
3 用抛物线定义转化
运算极简
适用有局限
3.3.2抛物线的简单几何性质(第1课时)课件(人教版)
关于x轴
对称
( x, y )
O
•
F
(
p
,0)
2
若点(x,y)在抛物线上, 即满足y2 = 2px，
则 (-y)2 = 2px
即点(x,-y) 也在抛物线上,
故抛物线y2 = 2px(p>0)关于x轴对称.
x
3.顶点
定义：抛物线与它的对称轴的交
y
点叫做抛物线的顶点.
y2
= 2px (p>0)中，
叫做抛物线的焦半径.
y
焦半径公式：
p
MF x0
2
H
y2 = 2px
d
M (x0,y0)
O
•
F( p ,0) x
2
方程 y2 = 2px y2 = -2px x2 = 2py x2 = -2py
图
形
y
l
M
O F
M
x
F
y
y
l
O
F M
x
O
l
焦半
径
y
x
O
F
l
M x
p
p
p
p
MF x0
MF
例4.斜率为1的直线 l 经过抛物线
且与抛物线相交于A、B两点,求线段AB的长.
解:F(1,0),直线l:y=x-1
y x 1
由 2
消y得：x 2 6 x 1 0
y 4xyA来自oFB
法2：设A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 )
x1 x2 6
x1 x2 1
由 2
y 4x
高中抛物线通用课件
02 抛物线的焦点和准线是相互垂直的，且距离为 $|p|$。
抛物线的开口方向与大小
抛物线的开口方向由焦点的位置 决定，焦点在 $x$ 轴正半轴上 时，开口向右；焦点在 $x$ 轴
负半轴上时，开口向左。
抛物线的开口大小由焦距 $p$ 的绝对值决定，$|p|$ 值越大， 开口越大；$|p|$ 值越小，开口
04
抛物线的作图与计算
抛物线的作图方法
直接作图法
通过抛物线的定义，利用 直尺、圆规等工具直接画 出抛物线。
参数法
引入参数方程，通过参数 的变化来绘制抛物线。
坐标法
利用抛物线的标准方程， 通过坐标变换和函数图像 绘制抛物线。
抛物线的计算方法
标准方程法
利用抛物线的标准方程， 求出焦点、准线等几何量 。
越小。
当 $p = 0$ 时，抛物线退化为 一条直线，即 $y = 0$。
03
抛物线的应用
抛物线在几何图形中的应用
抛物线与椭圆、双曲线的比较
通过比较抛物线与椭圆、双曲线的定义和性质，理解抛 物线的几何特性。
抛物线与直线的位置关系
研究抛物线与直线相交、平行和垂直的条件，以及这些 条件下的几何意义。
抛物线在实际问题中的应用
01
抛物线与物理学
理解抛物线在物理学中的应用，如斜抛运动、光 线的反射和折射等。
02
抛物线与经济学的关系
探讨抛物线在经济学中的运用，如需求曲线、成 本曲线等。
抛物线与其他数学知识的综合应用
抛物线与三角函数
结合三角函数的知识，研究抛物线的周期性和对 称性。
抛物线与导数
利用导数研究抛物线的极值点和切线斜率，解决 实际问题中的最优化问题。
当 $p > 0$ 时，抛物线开口向右；当 $p < 0$ 时 02 ，抛物线开口向左。
高中数学抛物线的几何性质总结课件
准线上的点到抛物线焦点的距离相等 。
抛物线的离心率与焦距的关系
01
02
03
04
离心率
抛物线的离心率等于1。
焦距
抛物线的焦距等于2p，其中p 是抛物线的准线到焦点的距离
。
关系
离心率与焦距之间存在直接关 系，离心率越大，焦距越小；
离心率越小，焦距越大。
应用
了解离心率与焦距的关系有助 于解决一些与抛物线相关的几
将直线方程代入抛物线方 程，得到一元二次方程， 利用判别式非负求出交点 。
参数方程法
设定参数表示交点的坐标 ，代入抛物线方程和直线 方程，解出参数。
交点的性质
对称性
抛物线与直线交点的对称 性取决于抛物线的对称性 和直线的斜率。
唯一性
当直线与抛物线相切时， 交点唯一；当直线与抛物 线相交时，交点可能有两 个。
02
抛物线的几何性质
抛物线的对称性
总结词
抛物线具有对称性，其对称轴是 抛物线的准线。
详细描述
抛物线关于其准线对称，这意味着 对于抛物线上的任意一点P，其关 于准线的对称点也在抛物线上。
数学表达
如果点P(x,y)在抛物线上，那么点 P'(-x,-y)也在抛物线上。
抛物线的范围
01
总结词
抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的。
何问题。
THANK YOU
感谢各位观看
02 03
详细描述
对于开口向上的抛物线，其顶点是最低点，对于开口向下的抛物线，其 顶点是最高点。抛物线在x轴上方的部分是连续且封闭的，形成一个完 整的图形。
数学表达
对于标准形式的抛物线y=ax^2+bx+c，当a>0时，顶点为最低点；当 a<0时，顶点为最高点。
3.3.2抛物线的简单几何性质课件(人教版)(1)
于是 AB AF BF x1 x2 + 2.
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p
(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
直线 l 的斜率为1，且过焦点F (1,0), 所以直线AB 的方程为
y x 1
①
例4 斜率为1的直线l 经过抛物线y2=4x的焦点F，且与
抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长．
y
l
AF d A x1 + 1, BF d B x2 + 1,
性质。
三、例题讲授：
例3 已知抛物线关于x轴对称, 它的顶点在原点, 并且
经过点M(2, -2 )，求它的标准方程 .
解：因为抛物线关于x轴对称，它的顶点在原点，并且
经过点M(2, -2 )，所以，可设它的标准方程为
y 2 px ( p 0),
2
因为点M在抛物线上，所以
(-2 2) = 2 p 2,
2
2
2
2p
p
- y0
2
抛物线的焦点弦性质
过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的一条直线和
抛物线相交, 两交点为A(x1, y1)、B(x2, y2), 则
(1)|AB|=x1+x2+p
(2)通径长为2
p
(3)x1x2= ;
y1y2=-p2;
(4)若直线AB的倾斜角为θ,则|AB|=2p/sin2 θ
(5)以AB为直径的圆与准线相切.
(6)焦点F对A、B在准线上射影的张角为90o。
1
1
2
(7)
+
=
AF BF
p
F
抛物线上的点M(x, y)，x≥0，y∈R．
当x>0时，抛物线在y轴的右侧，开口方向与x轴正向
3.3.2抛物线的简单几何性质1课件-高二上学期数学人教A版选择性必修第一册
思考：完成P136练习题2，思考抛物线标准方程中的p对抛物线开口有何影响？
y2=4x
4 3 2 1
-2 -1 -2 -3 -4 -5
y2=2x y2=x1 y2= 2 x
2
4
6
8
10
2p越大，抛物线张口越大. P越大,开口越开阔
y2 = 2px
y2 = -2px
x2 = 2py
x2 = -2py
y
l A
F
O
B
B
A
x
P136练习题3、4
课堂小结
方程
抛
图
物
线
形
的
范围
简
单
对称性
几
顶点
何
性
焦半径
质
焦点弦
的长度
y2 = 2px （p＞0）
y2 = -2px （p＞0）
x2 = 2py （p＞0）
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0
关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
（0,0）
p 2
x0
思考 如果直线 l 不经过焦点 F ，AB 的长还等于 x1 x2 2 吗？
分析：如图，设 A(x1, y1) ，B(x2 , y2 ) ．由抛物
线的定义可知， AA 同理得 BF BB
x2
p
AF p
x1
2
2 x2 1
x1
AB AF BF x1 x2 2．
经过点 M (2, 2 2) ，所以可设它的标准方程为y2 2 px( p 0). 因为点 M 在抛物线上，所以 (2 2)2 2 p 2，
解得 p 2，因此，所求抛物线的标准方程是 y2 4x ．
抛物线的几何性质(一)精选教学PPT课件
我有这两位母亲，虽然我的人生很不幸，但我有她们给我的无私的爱，我永远是幸福的，她们对我的爱我永存心里。在美国西雅图的一所著名教堂里，有一位德高望重的牧师――戴尔·泰勒。有一天，他向教会学校一个班的学生们先讲了下面这个故事。 那年冬天，猎人带着猎狗去打猎。猎人一枪击中了一只兔子的后腿，受伤的兔子拼命地逃生，猎狗在其后穷追不舍。可是追了一阵子，兔子跑得越来越远了。猎狗知道实在是追不上了，只好悻悻地回到猎人身边。猎人气急败坏地说：“你真没用，连一只受伤的兔子都追不 到！” 猎狗听了很不服气地辩解道：“我已经尽力而为了呀！” 再说兔子带着枪伤成功地逃生回家了，兄弟们都围过来惊讶地问它：“那只猎狗很凶呀，你又带了伤，是怎么甩掉它的呢？” 兔子说：“它是尽力而为，我是竭尽全力呀！它没追上我，最多挨一顿骂，而我若不竭尽全力地跑，可就没命了呀！” 泰勒牧师讲完故事之后，又向全班郑重其事地承诺：谁要是能背出《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容，他就邀请谁去西雅图的“太空针”高塔餐厅参加免费聚餐会。 《圣经·马太福音》中第五章到第七章的全部内容有几万字，而且不押韵，要背诵其全文无疑有相当大的难度。尽管参加免费聚餐会是许多学生梦寐以求的事情，但是几乎所有的人都浅尝则止，望而却步了。 几天后，班中一个11岁的男孩，胸有成竹地站在泰勒牧师的面前，从头到尾地按要求背诵下来，竟然一字不漏，没出一点差错，而且到了最后，简直成了声情并茂的朗诵。 泰勒牧师比别人更清楚，就是在成年的信徒中，能背诵这些篇幅的人也是罕见的，何况是一个孩子。泰勒牧师在赞叹男孩那惊人记忆力的同时，不禁好奇地问：“你为什么能背下这么长的文字呢？” 这个男孩不假思索地回答道：“我竭尽全力。” 16年后，这个男孩成了世界著名软件公司的老板。他就是比尔·盖茨。 泰勒牧师讲的故事和比尔·盖茨的成功背诵对人很有启示：每个人都有极大的潜能。正如心理学家所指出的，一般人的潜能只开发了2－8左右，像爱因斯坦那样伟大的大科学家，也只开发了12左右。一个人如果开发了50的潜能，就可以背诵400本教科书，可以学完十几所大 学的课程，还可以掌握二十来种不同国家的语言。这就是说，我们还有90的潜能还处于沉睡状态。谁要想出类拔萃、创造奇迹，仅仅做到尽力而为还远远不够，必须竭尽全力才行。
数学人教A版选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质课件(1)
由抛物线 = ( > )
有 2 px y 2 0
p0
x 0
所以抛物线的范围为 x 0, y R
2.对称性
问题2 视察抛物线y2=2px (p>0)的图像，它的对称性如何？
以−代，方程 = ( > )不变，
所以抛物线关于轴对称．
把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴.
距离的比
，叫做抛物线的离心率，用e表示．
由抛物线的定义可知， = .
5.焦半径
抛物线的焦半径：
连接抛物线任意一点与焦点的线段.
思考: 如图 , 是抛物线上任意一点，
焦点为，如何求焦半径 ？
p
焦半径公式： MF x0
2
6.焦点弦
过抛物线的焦点的线段，叫做抛物线的焦点弦.
长度为2p
利用抛出抛物线的草图.
p
, p
2
2p
O
l
F
p
, p
B 2
x
方程
y2 = 2px
y
y
图形
对称性
x
x≥0, y∈R
焦点弦
通径
l
x
x≤0, y∈R
y
F
O
l
O F
x
l
x∈R, y≥0
x
x∈R, y≤0
关于y轴对称
关于x轴对称
【课本】例4 斜率为1的直线经过抛物线 = 的焦点，且与抛物线
相交于、两点，求线段的长.
解: (法3)由题可知，焦点的坐标为(，)，准线方程为 = −.
如果直线不经过
如图，设( , ) ， ( , )
人教版高中数学课件-抛物线的简单几何性质(1)
x p
y02
2 p
.
2p 2
联立可得点B的纵坐标为y
p2
.
y0
DB
所以DB// x轴。
例4.已知拋物線y=x2,動弦AB的長為2，求AB中 點縱坐標的最小值。
y
M
AF
o
解：设A(x , y ), B(x y ), AB中点M (x, y)
11
22
B
2 MN
AD BC ,
MN
p y 1 y,
证明：以抛物线的对称 轴为x轴，它的顶点为原点，
建立直角坐标系。设抛 物线的方程为 y2 2 px,
点A的坐标为( y02 2p
抛物线的准线是
, y0),则直线OA的方程为y x p
2p y0
x,
y
A
2 联立可得点D的纵坐标为y
p2
.
因为点F的坐标是(
p
y0
,0),所以直线A
F的
2
OF
x
方程为 y y0
焦點F，且與拋物線相交於A，B兩點，求線 段AB的長。
解这题,你有什么方法呢?
法一:直接求两点坐标,计算弦长(运算量一般较大);
法二:设而不求,运用韦达定理,计算弦长(运算量一般);
法三:设而不求,数形结合,活用定义,运用韦达定理,计 算弦长.
例2、已知過拋物線 y2 2 px( p 0) 的焦點F的
直線交拋物線於 A(x1, y1)、B(x2, y2)兩點。
（1）x1 x2 是否為定值？y1 y2 呢？
（2）|
1 FA
|
|
1 FB
|
是否為定值？
y
A ( x1, y1)
1抛物线的几何性质 人教版高中数学第三册课件
标准方程:x为 2 8y
2020/7/2
练习2 求过点A（-3，2）的抛物线的标准方程。
解：当抛物线的焦点在y轴 的正半轴上时，把A（-3，2）
代入x2 =2py，得p= 9 4
当焦点在x轴的负半轴上时，
把A（-3，2）代入y2 = -2px，
2
得p=
3
∴抛物线的标准方程为x2
=
9
2
2020/7/2
焦点坐标
准线方程
（1） （2） （3） （4）
（5，0） （0，—18 ） （- —5 ，0）
8
（0，-2）
x= -5
y= - —1
8
x= —5
8
y=2
2020/7/2
新授内容
一、抛物线的范围: y2=2px
Y
•X 0 X •y取全体实数
2020/7/2
新授内容
二、抛物线的对称性 y2=2px
则｜AF｜＝｜AD｜，｜BF｜＝｜BC｜
∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜ y
＝｜AD｜＋｜BC｜=2｜EH｜C
B
所以EH是以AB为 直径的圆E的半径， 且EH⊥l，因而圆E 和准线l相切．
H
E
OF
x
DA
2020/7/2
练习 求满足下列条件的抛物线的方程
（1）顶点在原点，焦点是（0，－4）
x2 16y
2020/7/2
例．过抛物线y2=2px的焦点F任作一
条直线m，交这抛物线于A,B两点，求
证：以AB为直径的圆和这抛物线的准
线相切．
y
C
B
分析：运用
抛物线的定 H
E
义和平面几
OF
《数学抛物线》PPT课件
物理学中的抛体运动轨迹
01
02
03
抛体运动的定义
物体以一定的初速度抛出 后，在仅受重力的作用下 所做的运动称为抛体运动。
抛体运动的轨迹
在忽略空气阻力的情况下， 抛体运动的轨迹是一条抛 物线。
抛体运动的应用
利用抛体运动的规律，可 以研究炮弹的射程、运动 员的跳远距离等问题。
工程技术中的最优化问题
01
04 两边成比例且夹角相等， 则两个三角形相似
解析几何中直线与圆锥曲线关系
直线与抛物线的位置关系
相切、相交、相离
直线与抛物线的交点个数及判定方法
通过联立直线和抛物线方程求解，根据判别式判断交点个数
切线性质
切线与抛物线在切点处的切线斜率相等，且切线过抛物线焦点
微积分在抛物线研究中的应用
定积分在求抛物线面积中的应用
03 抛物线在生活中 的应用举例
建筑设计中的抛物线元素
1 2
抛物线型拱门和桥梁 利用抛物线的形状和结构特性，设计出具有优美 曲线和良好承重性能的拱门和桥梁。
抛物线型屋顶 抛物线型屋顶具有良好的排水性能和独特的视觉 效果，被广泛应用于现代建筑设计。
3
抛物线型幕墙 在建筑外立面上采用抛物线型幕墙，可以增加建 筑的层次感和立体感，提高建筑的美观性。
焦点、准线及离心率
抛物线的焦点
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其焦点坐标为（p/2，0）；对于 x^2=2py（p>0）的抛物线，其
焦点坐标为（0，p/2）。
抛物线的准线
对于y^2=2px（p>0）的抛物线， 其准线方程为x=-p/2；对于
x^2=2py（p>0）的抛物线，其 准线方程为y=-p/2。
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-1
因为点M在-2 抛物线上，所以 (2 2)2 2p•2
-3
即: p=2. -4 因此所求抛物线的方程为 y2=4x.
-5
将方程变形为 y 2 x，.
思考x 题0：抛1 物2 线3y2=42px…中 的py对图0 形2有2影.8 响3.5 吗4？…
.A 抛物线的通径
o.
.
F
x
B
对称轴方程 y= 0
(0, 0)
y=0
(0 , 0)
x= 0
(0,0)
x=0
§8.6抛物线的简单几何性质
例1:已知抛物线关于 坐x 标轴轴 对称y，2=它4的x 顶点在坐标原点，并且
经过解点：M因(为2抛,4321物2 线2 关) ，于求x轴它对的称标，准它y方yy222的=程==2顶x，12x点并x在用原描点点，法画出图形. 并且过-2M（ 2,2 2 2 ）4，所以6 可设8 它的10 标准方程为y2=2px(p>0)
抛物线y2=2px(p>0)的顶点是坐标原点（0，0）. 4.离心率
抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离的比叫做离心率.
抛物线y2=2px(p>0)的离心率为 1.
§8.6抛物线的简单几何性质
图形 y
oF x
y F ox
y F ox y o Fx
范围 x≥0 x≤0 y≥0
y≤0
顶点坐标 (0, 0)
【高中数学课件】抛物线的几 何性质1 ppt课件
复习
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y
oF
x
y2=2px(p>0)
（ P ，0 ） 2
xP 2
y F ox
y
y2= -2px(p>0) （ P ，0）
2
x P 2
F
x2=2py(p>0)
ox
（ 0 ，P ） 2
yP 2
y 天Fo马行空官x方博客x：2=htt-p2://pt.qyq.(cpom>/t0m)xk_do（ cin ；0Q， Q:1318P2241） 189；QQ群：y1755696P232
§8.6抛物线的简单几何性质
思考例题3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2 米，水面宽4米. 水若下在降水1面米上后有，一水宽面为宽2多米少，？高为1.6米
的船只，能否安全通过此拱桥？
A（2，-2） x2=-2y
水面宽 2 6
B（1，y） y=-0.5
y
o
l
2B A
x
4
作业：P123习题8.6 1、2、3
（2）x2 20y （4）x2 32y
§8.6抛物线的简单几何性质
例2:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛 物线的焦点处,已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛 物线的标准方程和焦点的位置.
y A
A（40，30）
· O F
x
B
P 45 4
y245x 2
F（45， 0） 8
课件制作：王志毅
§8.6抛物线的简单几何性质
对于抛物线 y2=2px(p>0), 我们来研究它的几何性质: 1.范围
抛物线y2=2px(p>0)上的每一点都位于y轴的右侧,即x≥0. 2.对称性
抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,即x轴是它的对称轴.
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 3.顶点
抛物线与其对称轴的交点叫做顶点.
x2 2y
§8.6抛物线的简单几何性质
练习
求适合下列条件的抛物线方程：
（1）顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点M（5，-4）;
（2）顶点在原点，焦点是F（0，5）;
先定型，再定量 （3）顶点在原点，准线是 x=4;
（4）焦点是F（0，-8），准线是 y=8.
（1）y2
16 5
x
（3）y2 16x
因为点M在-2 抛物线上，所以 (2 2)2 2p•2
-3
即: p=2. -4 因此所求抛物线的方程为 y2=4x.
-5
将方程变形为 y 2 x，.
思考x 题0：抛1 物2 线3y2=42px…中 的py对图0 形2有2影.8 响3.5 吗4？…
.A 抛物线的通径
o.
.
F
x
B
对称轴方程 y= 0
(0, 0)
y=0
(0 , 0)
x= 0
(0,0)
x=0
§8.6抛物线的简单几何性质
例1:已知抛物线关于 坐x 标轴轴 对称y，2=它4的x 顶点在坐标原点，并且
经过解点：M因(为2抛,4321物2 线2 关) ，于求x轴它对的称标，准它y方yy222的=程==2顶x，12x点并x在用原描点点，法画出图形. 并且过-2M（ 2,2 2 2 ）4，所以6 可设8 它的10 标准方程为y2=2px(p>0)
抛物线y2=2px(p>0)的顶点是坐标原点（0，0）. 4.离心率
抛物线上的点到焦点的距离与其到准线的距离的比叫做离心率.
抛物线y2=2px(p>0)的离心率为 1.
§8.6抛物线的简单几何性质
图形 y
oF x
y F ox
y F ox y o Fx
范围 x≥0 x≤0 y≥0
y≤0
顶点坐标 (0, 0)
【高中数学课件】抛物线的几 何性质1 ppt课件
复习
图形
标准方程
焦点坐标
准线方程
y
oF
x
y2=2px(p>0)
（ P ，0 ） 2
xP 2
y F ox
y
y2= -2px(p>0) （ P ，0）
2
x P 2
F
x2=2py(p>0)
ox
（ 0 ，P ） 2
yP 2
y 天Fo马行空官x方博客x：2=htt-p2://pt.qyq.(cpom>/t0m)xk_do（ cin ；0Q， Q:1318P2241） 189；QQ群：y1755696P232
§8.6抛物线的简单几何性质
思考例题3:图中是抛物线形拱桥，当水面在 l 时，拱顶离水面2 米，水面宽4米. 水若下在降水1面米上后有，一水宽面为宽2多米少，？高为1.6米
的船只，能否安全通过此拱桥？
A（2，-2） x2=-2y
水面宽 2 6
B（1，y） y=-0.5
y
o
l
2B A
x
4
作业：P123习题8.6 1、2、3
（2）x2 20y （4）x2 32y
§8.6抛物线的简单几何性质
例2:探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分,光源位于抛 物线的焦点处,已知灯口圆的直径为60cm,灯深40cm,求抛 物线的标准方程和焦点的位置.
y A
A（40，30）
· O F
x
B
P 45 4
y245x 2
F（45， 0） 8
课件制作：王志毅
§8.6抛物线的简单几何性质
对于抛物线 y2=2px(p>0), 我们来研究它的几何性质: 1.范围
抛物线y2=2px(p>0)上的每一点都位于y轴的右侧,即x≥0. 2.对称性
抛物线y2=2px(p>0)关于x轴对称,即x轴是它的对称轴.
抛物线的对称轴叫做抛物线的轴 3.顶点
抛物线与其对称轴的交点叫做顶点.
x2 2y
§8.6抛物线的简单几何性质
练习
求适合下列条件的抛物线方程：
（1）顶点在原点，关于x 轴对称，并且经过点M（5，-4）;
（2）顶点在原点，焦点是F（0，5）;
先定型，再定量 （3）顶点在原点，准线是 x=4;
（4）焦点是F（0，-8），准线是 y=8.
（1）y2
16 5
x
（3）y2 16x