解析法在几何中的应用
平面汇交力系的简化
图2-5
平面汇交力系的简化
设合力在两个坐标轴上的投影分别为Rx、Ry，根据合 力投影定理，它们与各分力在两个坐标轴上的投影满足下 面的等式
(2-3) 由合力的投影可以求出合力的大小和方向
（2-4） （2-5） 式中，α是合力R与坐标轴x所夹的锐角，∑Fix，∑Fiy分 别是原力系中各力在x轴和y轴上投影的代数和。
平面汇交力系的简化
1.2 解析法
根据上面的分析可知，几何法尽管避免了计算 的麻烦，但准确性较差，而且对分力较多或空间力 系来讲，其难度较大。因此，在解决实际问题时， 通常采用解析法。
解析法就是利用合力投影定理，由分力的投影 求出合力的投影，再求合力的大小和方向的方法。
平面汇交力系的简化
如图2-5所示，设一平 面汇交力系由F1、F2、…、F n组成，在力系的作用平面 内建立平面直角坐标系xOy， 依次求出各力在两坐标轴上 的投影：F1x、F2x、…、Fnx 与F1y、F2y、…、Fny。
图2-4
平面汇交力系的简化
由图2-4（b）可知，为求力系的合力R，中间求了R1、 R2、…，不难看出，如果不求R1、R2、…，直接将力系中 的各力首尾相连成一个多边形，也可以求出力系的合力， 该多边形的封闭边就是要求的力系的合力，如图2-4（c） 所示。这种求合力的方法叫力的多边形法则，画出的多边 形叫力的多边形。值得注意的是，利用这种方法求合力时， 对各分力的先后次序没有要求，只不过分力的次序不同时， 得到的力的多边形形状不同，但只要方法正确，求出的合 力的大小和方向是一样的。
工程力学
平面汇交力系的简化
力系的简化也叫力系的合成，是在 等效作用的前提下，用最简单的结果来 代替原力系的作用。若力系中各力作用 线汇交于同一点，且各力作用线在同一 平面内，则称为平面汇交力系。研究平 面汇交力系的基础是力的三角形法则。
二元一次函数求最小值
二元一次函数求最小值摘要：一、引言二、二元一次函数的定义和性质三、求解二元一次函数最小值的方法1.解析法2.几何法四、案例分析1.解析法应用2.几何法应用五、总结正文：一、引言二元一次函数在数学中有着广泛的应用，求解其最小值是数学优化问题的重要内容。
本文将介绍二元一次函数的定义和性质，以及求解其最小值的方法。
二、二元一次函数的定义和性质二元一次函数是指形如f(x, y)=ax+by+c 的函数，其中a、b、c 为常数，且a 和b 不同时为0。
它的图像是两条直线的组合，其性质取决于a 和b 的符号。
当a 和b 同号时，函数图像开口向上或向下，当a 和b 异号时，函数图像开口向上或向下。
三、求解二元一次函数最小值的方法1.解析法解析法是通过求导数来找到函数的最小值。
对于二元一次函数，我们可以分别对x 和y 求偏导数，令其等于0，解得临界点，然后通过判断函数在这些临界点的函数值，找到最小值。
2.几何法几何法是通过观察函数图像，找到最小值所在的点。
对于二元一次函数，我们可以通过判断函数图像与坐标轴的交点，找到最小值所在的区域，然后通过判断函数在这个区域内的极值点，找到最小值。
四、案例分析1.解析法应用假设我们有一个二元一次函数f(x, y)=2x-3y-1，我们可以对其分别对x 和y 求偏导数，得到f/x=2，f/y=-3。
令f/x=0，f/y=0，解得临界点为(1.5, 2)。
通过判断函数在这一点的函数值，我们可以得到最小值为-3。
2.几何法应用同样假设我们有一个二元一次函数f(x, y)=2x-3y-1，我们可以通过观察函数图像与坐标轴的交点，得到函数图像在第一象限的交点为(1, -1)。
通过判断函数在这个区域内的极值点，我们可以得到最小值为-3。
五、总结通过解析法和几何法，我们都可以求解二元一次函数的最小值。
解析法需要求导数，而几何法需要观察函数图像，二者都可以得到相同的结果。
立体几何线到线的距离公式
立体几何线到线的距离公式
立体几何中，线到线的距离可以通过以下公式计算：
1. 解析法：首先求出一个法向量，该向量垂直于两条直线的方向向量。
然后取两条直线上各一个点连接成线段AB，将向量AB投影至法向量上，即为线到线的距离。
2. 几何法：线到线的距离就是其公垂线的长度。
在特殊情况下，可以直接找出一条公垂线或是构造一个公垂线。
更复杂的情况下，可以运用特殊的四面体公式。
连接两条异面直线的四个点构成四面体ABCD，求出体积V，再求出AB，CD的长度与其夹角θ，有1/6ABCDsinθ=V，通过此公式可以间接的解出θ。
希望这些信息能帮助你解决问题。
如果需要更多信息，建议查阅数学教材或咨询数学专业人士。
解析法在平面解析几何中的应用
解析法在平面解析几何中的应用解析几何的产生十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。
比如，德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上；意大利科学家伽利略发现投掷物体试验着抛物线运动的。
这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出现。
解析几何的基本内容在解析几何中，首先是建立坐标系。
如上图，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。
利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。
除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标系、空间直角坐标系等等。
在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。
坐标系将几何对象和数、几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。
用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。
这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。
解析几何的创立，引入了一系列新的数学概念，特别是将变量引入数学，使数学进入了一个新的发展时期，这就是变量数学的时期。
解析几何在数学发展中起了推动作用。
恩格斯对此曾经作过评价“数学中的转折点是笛卡尔的变数，有了变书，运动进入了数学；有了变数，辩证法进入了数学；有了变数，微分和积分也就立刻成为必要的了，……”解析几何的应用解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。
在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线（圆、椭圆、抛物线、双曲线）的有关性质。
在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。
椭圆、双曲线、抛物线的有些性质，在生产或生活中被广泛应用。
比如电影放映机的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上；探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。
高等几何中的解析法
高等几何中的解析法在数学中，解析法是一种研究问题和解决问题的方法，它是以模型和符号来表达几何形状和结构的数学技术。
解析法在高等几何中具有重要的意义，它包括一系列的方法、策略和技巧，帮助我们解决复杂的数学难题。
解析法在高等几何中的应用有很多，它可以帮助理解和描述几何形状，比如圆、椭圆、抛物线等。
它还可以用来解决位置问题，如如何绘制一个向量和定义平面坐标系。
解析法也可以用来确定几何形状的位置和特性，比如圆曲线、线段和点，以及几何形状间的关系，例如线段和点间的交点和相交线段。
此外，解析法还可以用来解决几何的空间问题，如轮廓的三维表示，三维空间内的点和线段的定位，以及从三维空间到二维平面的转换。
解析法在解决几何问题上显得非常有用，因为它开发出了更多工具来描述几何形状。
解析法在高等几何中的使用非常多，它可以帮助研究者解决几何问题，也可以帮助设计师更好地控制图形结构。
让我们来看一下解析法在高等几何中的一些实际应用：1.解析法来描述几何形状是最常用的方法，例如用轴对称的方程描述圆形，用平移和旋转的变换描述椭圆。
解析法也可以用来描述图形的属性，如圆的半径，点的坐标，线段的斜率等。
2.析法可以帮助我们解决和预测几何形状的位置，比如计算两点间的距离，求解矩阵的行列式，以及求解平行线和平行四边形等。
3.析法在几何形状变换中也很重要，比如用它计算几何形状的中心，或者对图形进行旋转、缩放和变换等。
4.析法在几何图形分析中也非常有用，比如衡量直线斜率、求解线段的交点和构建平面图形等。
解析法在高等几何中的运用十分普遍，它的应用范围从描述几何形状到几何图形分析，再到变换，都有它的存在。
它的运用不仅可以帮助数学研究者解决问题，也可以帮助设计师更好地控制图形结构。
因此，解析法在高等几何中具有非常重要的意义。
静力学分析中的几何法或解析法
静力学分析中的几何法或解析法作者：王晓鹍{摘要}：静力学研究的内容主要是研究作用于物体上力系的平衡。
通过静力学公理具体研究以下三个问题①物体的受力分析②力系的等效替换③力系的平衡条件。
根据几何法的三步骤：确定受力体，画出脱离体和已知受力，解除约束体，画出受力方向的步骤。
从而根据几何作图解决问题。
至于解析法可以根据平衡力系中，合力必为零以及力多边形自行闭合的特点分析问题。
{关键词}静力学二力平衡公理质点{英文摘要}{ the }: Statics study is the main content of research on object on the equilibrium of force system. The axioms of statics study the following three problems of objects in the stress analysis in power system equivalent substitution of the force equilibrium condition. According to the geometric method in three steps: determining force body, draw out of body and the known force, lift the restriction, draw the step stress direction.According to the geometry problem solving. As for the analytical method based on balanced force, force will be zero and the force polygon self closing characteristic analysis.{ the }Statics two force balance axiom particle静力学是力学的一个分支，它主要研究物体在力的作用下处于平衡的规律，以及如何建立各种力系的平衡条件。
解析法测距
解析法测距一、引言测距是在生活和工程实践中常常需要解决的问题之一。
无论是测量两点之间的距离，还是确定目标物体与观测点之间的距离，准确的测距都是至关重要的。
在解析法测距中，我们通过分析不同数据和信息的关系，利用数学和物理的原理来计算距离。
本文将对解析法测距的原理、应用以及相关技术进行全面的探讨。
二、解析法测距的原理解析法测距是一种基于解析几何和三角学原理的测距方法。
其核心思想是通过分析目标物体与观测点之间的几何关系，计算出它们之间的距离。
具体而言，解析法测距可以分为以下几个步骤：2.1 确定观测点和目标物体首先需要确定观测点和目标物体的位置。
观测点是测距的测量点，通常是一个已知位置的点，可以是人的眼睛、测距仪器的接收点等。
目标物体是待测距的物体，可以是建筑物、地标、目标车辆等。
2.2 获取观测数据通过测量、观测或其他手段获取目标物体与观测点之间的数据。
这些数据可以是角度、长度、高度等，具体取决于实际测距的需求和条件。
2.3 建立几何模型根据观测数据建立几何模型，在模型中将观测点、目标物体和其他相关要素表示为几何形状，比如点、直线、平面等。
这个几何模型是解析法测距的基础。
2.4 利用解析几何和三角学计算距离利用解析几何和三角学的原理，通过分析几何模型中的数据和信息关系，计算出目标物体与观测点之间的距离。
具体的计算方法可以根据不同的几何模型和数据类型灵活选择，比如利用角度和长度的关系计算三角形的边长，或者利用平移和旋转变换计算两点之间的距离等。
2.5 校正和修正在测距过程中可能存在误差，需要进行校正和修正。
校正是指通过实验或其他手段对测距结果进行检验，找出并修正测量中的误差。
修正是指通过对数据和模型进行调整，提高测距的准确性和精度。
三、解析法测距的应用解析法测距在各个领域都有广泛的应用，特别是在工程测量、地理测绘和导航定位等领域更是不可或缺的工具。
以下是一些解析法测距的常见应用：3.1 地图绘制和测量在地理测绘和地图绘制中，解析法测距是获取地理空间距离信息的重要方法。
刀具工作角度的计算方法——解析法
在计算刀具工作角度时，可以采用解析法。
解析法基于切削刃的几何形状和位置，通过数学表达式来计算工作角度。
这种方法适用于复杂的刀具形状和几何参数。
以下是一个简单的例子来说明解析法的基本步骤：
定义变量和已知量：例如，已知前角（γ0）、后角（α0）、刃倾角（λs）和切削速度（v）等。
根据切削刃的几何形状和位置，确定切削刃上各点的坐标。
根据已知的工作角度和切削刃上各点的坐标，建立数学模型，计算工作角度。
通过求解数学模型，得到刀具工作角度的结果。
需要注意的是，解析法的精度取决于所采用的数学模型和切削刃几何形状的复杂性。
对于复杂的刀具形状和几何参数，需要采用更精确的数学模型和计算方法。
解析法和几何法在力的合成与分解问题中的应用
【知识和方法简介】在力的合成和分解问题中，有两大类方法，解析法和几何法，其中解析法主要是指正交分解法，几何法是指画出矢量三角形后，结合三角形的几何性质解决问题的方法。
这其中涉及到的几何知识可能有相似三角形，正弦定理等。
在力的合成和分解的问题中，良好地体现了向量和解三角形这两个数学板块的结合。
向量和解三角形在数学中犹如一对亲兄弟，是经常结合在一起考查的。
平面向量和平面几何相结合，而空间向量和立体几何相结合，考查的方法生动有趣。
本讲的学习目标在于解决力的合成与分解的方法，并且初步了解向量和几何的有机几何，为后续的运动的合成与分解的学习做好铺垫，认知数学知识在物理中的应用。
【例题1】（解析法）三段不可伸长的细绳OA、OB、OC能承受的最大拉力相同，它们共同悬挂一重物，如图所示，其中OB是水平的，A端、B端固定．若逐渐增加C端所挂物体的质量，则最先断的绳( )．A．必定是OA B．必定是OBC．必定是OC D．可能是OB，也可能是OC【例题2】（几何法）如图所示，用两根等长的绝缘细线各悬挂质量分别为m A和m B的两小球，悬点为O．两小球带有同种电荷，电荷量分别为q A和q B，当小球由于静电作用张开一角度时，A、B球悬线与竖直方向间夹角分别为α、β．（α＜β）；两小球突然失去各自所带电荷后开始摆动，最大速度分别为v A和v B，最大动能分别为E KA 和E KB ．则A ．m A 一定大于m BB ．q A 一定大于q BC ．A 一定大于BD ．E KA 不—定小于E KB【课堂练习】（单选题）1．（2020·江苏海安高级中学高二月考）如图，柔软轻绳ON 的一端O 固定，其中间某点M 拴一重物，用手拉住绳的另一端N ．初始时，OM 竖直且MN 被拉直，OM 与MN 之间的夹角为α（2πα>）．现将重物向右上方缓慢拉起，并保持夹角α不变．在OM由竖直被拉到水平的过程中()A．MN上的张力逐渐增大B．MN上的张力先增大后减小C．OM上的张力逐渐增大D．OM上的张力先增大后减小（单选题）2．（2020·湖南省雅礼中学高一期中）如图，一粗糙斜面固定在地面上，斜面顶端装有一光滑定滑轮．一细绳跨过滑轮，其一端悬挂物块N．另一端与斜面上的物块M相连，系统处于静止状态．现用水平向左的拉力缓慢拉动N，直至悬挂N的细绳与竖直方向成45°．已知M始终保持静止，则在此过程中（）A ．水平拉力的大小可能保持不变B ．M 所受细绳的拉力大小一定一直增加C ．M 所受斜面的摩擦力大小一定一直增加D ．M 所受斜面的摩擦力大小可能先减小后增加（单选题）3．（2020·湖南省湖南师大附中高一月考）两个可视为质点的小球a 和b ，用质量可忽略的刚性细杆相连，放置在一个光滑的半球面内，如图所示．已知小球a 和b 的质量之比为a b m m ＝312倍。
03.汇交力系--几何法与解析法
FR
F4
F3
F1
F1
F3
F2
F4
FR
F2
结论：
汇交力系一般可简化为一合力，合力的作用线 通过力系的汇交点，合力矢等于力系各力的矢量和， 即：
n
FR F1 F2 Fn Fi
（2-1）
i 1
合力FR对刚体的作用与原力系对刚体的作用等 效。
2. 汇交力系平衡的几何条件
汇交力系平衡的必要与充分条件是：该力系的 合力等于零。
的表示，FC 、 FC ）
F
FC
（3）内约束反力不画；
（4）固定铰链约束反力 画法；
FAx FAy
左半拱
右半拱 FC
FB
F FAx
FAy
FB
整体
方法二：按三力平衡汇交定理确定A点的反力
FC FB
右半拱
F
FC
FA
左半拱
F
FB FA
整体
例6：
作图示系统的受力图。
（1）整体； （2）杆AB； （3）杆CD与物块。
0, Fs
FTsFisnSin1s5i4n51 5
G
FT
sin
sin
45
45
0
sin 15 546.4kN
（2）节点B （受力：空间汇交力系。）
Fxi 0, F1 cos sin 45 F2 cos sin 45 0
Fyi 0, FS sin 60 F1 cos cos 45 F2 cos cos 45 0
F Fx Fy Fz
当坐标轴相互正交时，各分力 z Fz
与相应投影的关系为
Fx Xi, Fy Yj, Fz Zk
Z
F
用解析法证和圆有关的几何题举例
}A C ! }B D }
.
r s
一
y
一 r Si n U
, in s 一
r s
i
n
s
。
,
。
=
这 两个 定 理 的 解析 法 证 明有一 定 普 遍 意
义
。
为 了 用 解 析 法 证 明 和 简化 运 算
,
,
首 先必
。
为求 E 点 的 纵坐标 即 求 A B 在 y 轴 上 的 截 距
,
须根据 题 设条 件 有 选 择 地 建 立 坐 标系
一中
’
在例
。
令二 =
,
O
,
则
r
轴通 过 切 沉 点 ( 即 轴与 切 线 平行 ) 建 立 的直 角 坐 标 系 这
,
我 们 选 择了 圆 心 为 原 点
,
y
=
( s i n 几e o s o : 一 s i n s : e o s o : ) 鱼 旦 旦丝 应 卫 i塑` 9坦叁士丝旦 旦
~
空
—
r e o s Ui +
其 肤 浅 的 探讨
,
以供 参 考
:
。
切 割 线定 理
,
圆 的弦 延 长相交 于
各弦 被 这 点外 分 成 的 两 线 段 长
并 且 等 于 这点 到 圆 的 切 线长 的
,
平方
。
证明
:
以 圆心 O 为 原 点
,
。
切点 A 与 O 的
。
连 线为 y
轴 建立 如 图
:
所 示 的 直角坐 标 系
二 r Z
c o s 口l +
解析法求解平面汇交力系
解析法求解平面汇交力系1. 引言1.1 导言在工程结构设计中，平面汇交力系是一种常见的受力形式。
当结构系统受到多个力的作用时，这些力可能会在同一平面内交汇，形成所谓的平面汇交力系。
解析法是解决平面汇交力系的一种重要方法，通过将受力结构拆分成若干简单的部件，逐一求解每个部件的受力情况，最终得出整个结构的受力状态。
解析法求解平面汇交力系的过程相对繁琐，但却具有广泛的适用性和准确性。
通过该方法，工程师可以有效地分析和设计各种结构系统，确保其在受到外部力作用时能够正常工作并具有足够的安全性。
本文将通过介绍解析法的基本原理、平面汇交力系的概念、解析法求解平面汇交力系的步骤、以及通过案例分析和优缺点分析，总结出解析法在解决平面汇交力系问题中的优势和局限性。
结合工程实践，展望解析法在未来的发展方向和应用前景。
2. 正文2.1 解析法的基本原理解析法是工程力学中常用的一种方法，用于求解复杂的力系。
它基于平面静力学的基本原理，通过分解力的大小和方向，将复杂的力系简化为若干个简单的力系，从而方便进行计算和分析。
在解析法中，首先需要将给定的力系统进行分解，将力的大小和方向拆分为水平方向和垂直方向的分力。
然后利用平衡条件，即力矩平衡和力的平衡，来求解各个未知力的大小和方向。
通过逐步分解和平衡计算，可以得到整个力系的解析解。
解析法在解决平面汇交力系时尤为重要，因为平面汇交力系涉及多个力的作用，且力的方向和大小不确定。
通过解析法，可以清晰地分析每个力的作用，进而求解系统的平衡条件，从而得到准确的结果。
2.2 平面汇交力系的概念平面汇交力系是指多个力在同一个平面内作用于一个物体上的力系统。
在平面汇交力系中，可以通过解析法来求解各个力的大小、方向和作用点位置，以便准确分析物体的平衡状况和受力情况。
1. 力的合成：在平面汇交力系中，多个力可能同时作用在物体上，这些力的合成可以通过向量的方法来求解，即将各个力按照其大小和方向绘制成向量，在平面上进行几何构图可得到力的合成结果。
浅析解析法在立体几何中的妙用
浅析解析法在立体几何中的妙用立体几何中的三视图可以有两种画法，即轴测图和解析图，这二者之间是相互关联的，只能是其中一个，而不可能有两个。
那么，解析几何为什么不能用轴测图呢？因为轴测图是一个封闭图形，它无法看到立体图形的每一个面，即不能全面反映立体图形的形状特征。
解析几何是在平面几何的基础上发展起来的一门学科，它主要研究平面图形经过旋转、平移、对称变换到平面后的性质。
通过将三视图与投影图相结合，找出各点的位置及线段的长度，这样就可以解决问题了。
如果采用轴测图，必须根据视图画出物体的实际大小再由物体的大小推算出物体的具体位置。
这样虽然我们在立体几何问题中计算简便了，但是我们忽略了一些比较重要的东西，比如三视图不同于轴测图，轴测图的任何一个视图都不能完整的表达出立体图形的特征，这是为什么呢？此外，在解决立体几何问题时，采用轴测图的视图进行分析，那么势必会使线段的数量增加很多，当分析问题的某些条件不符合要求时，其不足之处就更明显了。
比如当一条线段是直线时，用轴测图的视图，线段将变得弯曲，在画线段时必须加粗，而用解析图时，这条线段就不必再用加粗的方式表示了。
有些简单问题也可以直接用解析法分析，但是难度较大的就需要先用轴测图的视图进行分析，然后再利用解析法分析，这样才能最终得出正确答案。
所以，三视图相对于轴测图，是比较符合客观事实的。
4、三视图要正确。
解析三视图的画法，对于平面图形和空间图形来说，都是一致的。
只不过在画法上有些差别，轴测图和解析图是一般来讲不要求标准画法，所以轴测图的各个视图的长度、角度、大小等并没有统一的标准。
平面图形的三视图一般来讲都是正确的。
但解析图的各个视图与轴测图的各个视图要按照正规方法画，尽管轴测图和解析图都有一定的局限性，但是轴测图和解析图的缺陷不是普遍性的。
5、还应注意的是三视图也是相对的，是一个比较大的概念。
因为它不仅仅涉及空间几何，也牵扯到数学、物理等领域。
因此，学习解析几何的关键是抓住其内涵和本质，深刻认识到“解析几何”四个字的内涵，这样才能真正地认识和掌握它。
几何法证明不等式(精选多篇)
几何法证明不等式(精选多篇)几何法证明不等式用解析法证明不等式：^2(a,b∈r，且a≠b)设一个正方形的边为c,有4个直角三角形拼成这个正方形,设三角形的一条直角边为a,另一条直角边为b,(b>a)a=b,刚好构成,若a不等于b时,侧中间会出现一个小正方形,所以小正方形的面积为(b-a)^2,经化简有(b+a)^2=4ab,所以有((a+b)/2)^2=ab,又因为(a^2+b^2)/2>=ab,所以有((a+b)/2)^2可以在直角三角形内解决该问题=^2-(a^2+b^2)/2=/4=-(a-b)^2/4能不能用几何方法证明不等式，举例一下。
比如证明sinx不大于x(x范围是0到兀/2，闭区间)做出一个单位圆，以o为顶点，x轴为角的一条边任取第一象限一个角x，它所对应的弧长就是1*x=x那个角另一条边与圆有一个交点交点到x轴的距离就是sinx因为点到直线，垂线段长度最小，所以sinx小于等于x，当且尽当x=0时，取等已经有的方法：第一数学归纳法2种;反向归纳法(特殊到一般从2^k 过渡到n);重复递归利用结论法;凸函数性质法;能给出其他方法的就给分(a1+a2+...+an)/n≥(a1a2...an)^(1/n)一个是算术，一个是几何。
人类认认识算术才有几何，人类吃饱了就去研究细微的东西，所以明显有后者小于前者的结论，这么简单都不懂，叼佬就是叼佬^_^搞笑归搞笑，我觉得可以这样做，题目结论相当于证(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)≥0我们记f(a1,a2,……,an)=(a1+a2+...+an)/n-(a1a2...an)^(1/n)这时n 看做固定的。
我们讨论f的极值，它是一个n元函数，它是没有最大值的(这个显然)我们考虑各元偏导都等于0，得到方程组，然后解出a1=a2=……=an再代入f中得0，从而f≥0，里面的具体步骤私下聊，写太麻烦了。
初三平面几何的解析法
初三平面几何的解析法几何学是数学的一个重要分支，主要研究空间和图形的性质以及它们之间的关系。
解析几何是几何学的一种方法，它通过代数方法研究几何问题，使得复杂的几何推理转化为简单的代数计算。
在初三阶段学习平面几何时，解析法可以为我们提供一种更加直观、清晰的思考方式。
本文将介绍初三平面几何的解析法及其应用。
1. 点的坐标表示在解析几何中，我们使用坐标系来表示点的位置。
常见的是二维坐标系，也就是笛卡尔坐标系，其中有一个水平的x轴和一个垂直的y 轴，它们的交点称为原点，通常表示为O。
我们可以用一个有序数对(x, y)来表示一个点的坐标，其中x代表水平方向上的位置，y代表垂直方向上的位置。
例如，点A的坐标为(2, 3)，表示A在x轴上距离原点2个单位，y轴上距离原点3个单位。
2. 直线的方程表示在解析几何中，我们可以用方程表示直线。
常见的直线方程有斜截式和一般式两种形式。
2.1 斜截式方程斜截式方程的一般形式为y = kx + b，其中k是直线的斜率，b是直线与y轴的截距。
我们可以通过两个已知点的坐标来确定直线的斜率，并利用其中一个点的坐标代入方程，求解出直线与y轴的截距b。
2.2 一般式方程一般式方程的一般形式为Ax + By + C = 0，其中A、B、C是常数，且A和B不同时为0。
我们可以通过两个已知点的坐标，利用直线的斜率公式和垂直平分线的性质，得到直线方程的一般式表示。
3. 直线与直线之间的关系3.1 平行当两条直线的斜率相等时，它们是平行的。
我们可以通过斜截式方程或一般式方程计算出直线的斜率，并进行比较。
3.2 垂直当两条直线的斜率的乘积为-1时，它们是垂直的。
我们可以通过斜截式方程或一般式方程计算出直线的斜率，并进行比较。
4. 直线与圆的关系4.1 判断点是否在圆上一个点在圆上，当且仅当点到圆心的距离等于圆的半径。
我们可以计算点到圆心的距离，与圆的半径进行比较。
4.2 直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系主要有相离、相切和相交三种情况。
第56讲 解析法证几何题
第56讲 解析法证 几何题解析法是利用代数方法解决几何问题的一种常用方法．其一般的顺序是：建立坐标系，设出各点坐标及各线的方程，然后根据求解或求证要求进行代数推算．它的优点是具有一般性与程序性，几何所有的平面几何问题都可以用解析法获解，但对于有些题目演算太繁．此外，如果建立坐标系或设点坐标时处理不当，也可能增加计算量．建系设点坐标的一般原则是使各点坐标出现尽量多的0，但也不可死搬教条，对于一些“地位平等”的点、线，建系设点坐标时，要保持其原有的“对称性”．A 类例题例1．如图，以直角三角形ABC 的斜边AB 及直角边BC 为边向三角形两侧作正方形ABDE 、CBFG ．求证：DC ⊥F A ．分析 只要证k CD ·k AF ＝－1，故只要求点D 的坐标．证明 以C 为原点，CB 为x 轴正方向建立直角坐标系．设A (0，a)，B(b，0)，D(x，y)．则直线AB的方程为ax＋by－ab＝0．故直线BD的方程为bx－ay－(b·b－a·0)＝0，即bx－ay－b2＝0．ED方程设为ax＋by＋C＝0．由AB、ED距离等于|AB|，得|C＋ab|a2＋b2＝a2＋b2，解得C＝±(a2＋b2)－ab．如图，应舍去负号．所以直线ED方程为ax＋by＋a2＋b2－ab＝0．解得x＝b－a，y＝－b．(只要作DH⊥x轴，由△DBH≌△BAC就可得到这个结果)．即D(b－a，－b)．因为k AF＝b－ab，k CD＝－bb－a，而k AF·k CD＝－1．所以DC⊥F A．例2．自ΔABC的顶点A引BC的垂线，垂足为D，在AD上任取一点H，直线BH交AC于E，CH交AB于F．试证：AD平分ED与DF所成的角．证明建立直角坐标系，设A(0，a)，B(b，0)，C(c，0)，H(0，h)，于是BH：xb＋yh＝1AC：xc＋ya＝1过BH、AC的交点E的直线系为：λ(xb＋yh－1)＋μ(xc＋ya－1)＝0．以(0，0)代入，得λ＋μ＝0．分别取λ＝1，μ＝－1，有x(1b－1c)＋y(1h－1a)＝0．所以，上述直线过原点，这是直线DE．同理，直线DF为x(1c－1b)＋y(1h－1a)＝0．显然直线DE与直线DF的斜率互为相反数，故AD平分ED与DF所成的角．说明写出直线系方程要求其中满足某性质的直线，就利用此性质确定待定系数，这实际上并不失为一种通法．例3．证明：任意四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和再加上对角线中点连线的平方的4倍．证明在直角坐标系中，设四边形四个顶点的坐标为A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)，A4(x4，y4)．由中点公式知对角中点的坐标为B(x1＋x32，y1＋y32)，C(x2＋x42，y2＋y42)．则4(x1＋x32－x2＋x42)2＋(x1－x3)2＋(x2－x4)2x＝(x1＋x3－x2－x4)2＋(x1－x3)2＋(x2－x4)2＝2(x21＋x22＋x23＋x24－x1x2－x2x3－x3x4－x4x1) ＝(x1－x2)2＋(x2－x3)2＋(x3－x4)2＋(x4－x1)2，同理有4(y1＋y32－y2＋y42)2＋(y1－y3)2＋(y2－y4)2＝(y1－y2)2＋(y2－y3)2＋(y3－y4)2＋(y4－y1)2，两式相加得：|A1A2|2＋|A2A3|2＋|A3A4|2＋|A4A1|2＝4|BC|2＋|A1A3|2＋|A2A4|2．说明本题纯几何证法并不容易，而采用解析法，只需要简单的计算便达到目的．另外本例中巧妙地抓住了各点的“对称性”，设了最为一般的形式，简化了计算．情景再现1．如图，⊙O的弦CD平行于直径AB，过C、D的圆的切线交于点P，直线AC、BC分别交直线OP于Q、R．求证：|PQ|＝|PR|．2．自圆M外一点E作圆的切线，切点为F，又作一条割线EAB，交圆M于A、B，连结EF的中点O与B，交圆M于D，ED交圆M于C．x求证：AC ∥EF ．3．CH 是ΔABC 中边AB 上的高，H 为垂足，点K 、P 分别是H 关于边AC 和BC 的对称点．证明：线段KP 与AC ，BC (或它们的延长线)的交点是ΔABC 高线的垂足．B 类例题例4．P 、Q 在ΔABC 的AB 边上，R 在AC 边上，并且P ，Q ，R 将ΔABC 的周长分为三等分．求证：S ΔPQR S ΔABC ＞29．证明 如图，以A 为原点，直线AB 为x 轴，建立直角坐标系． 设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b ，Q (q ，0)，P (p ，0)． 则q －p ＝13(a ＋b ＋c )，AR ＝PQ －AP ＝q －2p ， 从而y R y C ＝ARAC ＝q －2p b．由于2S ΔPQR ＝y R (q －p )，2S ΔABC ＝x B y C ， 所以S ΔPQRS ΔABC ＝y R (q －p )y C x B ＝(q －p )(q －2p )bC ．注意到p ＝q －13(a ＋b ＋c )＜c －13(a ＋b ＋c )， 所以q －2p ＞23(a ＋b ＋c )－c ＞23(a ＋b ＋c )－12(a ＋b ＋c )＝16(a ＋b ＋c )，S ΔPQR S ΔABC ＞29·(a ＋b ＋c )24bc ＞29·(b ＋c )24bc ＞29．说明 本题中29是不可改进的，取b ＝c ，Q 与B 重合，则当a 趋向于0时，p 趋向于13q ，面积比趋向于29． 例5．设H 是锐角三角形ABC 的垂心，由A 向以BC 为直径的圆作切线AP 、AQ ，切点分别为P 、Q ．证明：P 、H 、Q 三点共线．(1996年中国数学奥林匹克) 证明 如图以BC 为x 轴BC 中点O 为原点建立直角坐标系． 设B (－1，0)，C (1，0)，A (x 0，y 0)， 则PQ 方程为x 0x ＋y 0y ＝1．点H 的坐标为H (x 0，y )，满足yx 0＋1·y 0x 0－1＝－1， 即 y ＝1－x 20y 0，显然H 满足PQ 方程，即H 在PQ 上． 从而P 、H 、Q 三点共线．例6．设A 、B 、C 、D 是一条直线上依次排列的四个不同的点，分别以AC 、BD 为直径的两圆相交于X 和Y ，直线XY 交BC于xyZ ．若P 为直线XY 上异于Z 的一点，直线CP 与以AC 为直径的圆相交于C 和M ，直线BP 与以BD 为直径的圆相交于B 和N ．试证：AM 、DN 、XY 三线共点．分析 只要证明AM 与XY 的交点也是DN 与XY 的交点即可，为此只要建立坐标系，计算AM 与XY 的交点坐标．证明 如图，以XY 为弦的任意圆O ，只需证明当P 确定时，S 也确定．以Z 为原点，XY 为y 轴建立平面直角坐标系，设X (0，m )，P (0，y 0)，∠PCA ＝α，其中m 、y 0为定值．于是有x C ＝y 0cotα． 但是－x A ·x C ＝y X2，则x A ＝－m 2y 0tanα．因此，直线AM 的方程为：y ＝cotα(x ＋m 2y 0tanα)．令x ＝0，得y S ＝m 2y 0，即点S 的坐标为(0，m 2y 0)．同理，可得DN 与XY 的交点坐标为(0，m 2y 0)．所以AM 、DN 、XY 三线共点．x情景再现4．在RtΔABC中，AD是斜边上的高，M，N分别是ΔABD与ΔACD的内心，连接MN并延长分别交AB、AC于K、L两点．求证：SΔABC≥2SΔAKL．5．已知△ABC中，∠A＝α，且1|AB|＋1|AC|＝m．求证：BC边过定点．6．设△ABC的重心为G，AG、BG、CG的延长线交△ABC的外接圆于P、Q、R．求证：AGGP＋BGGQ＋CGGR＝3．C类例题例7．以ΔABC的边BC为直径作半圆，与AB、AC分别交于D 和E．过D、E作BC的垂线，垂足分别为F、G．线段DG、EF交于点M．求证：AM⊥BC．(1996年国家队选拔题)分析建立以BC为x轴的坐标系，则只要证明点A、M的横坐标相等即可．证明以BC所在的直线为x轴，半圆圆心O为原点建立直角坐标系．设圆的半径为1，则B(－1，0)，C(1，0)．令∠EBC＝α，∠DCB＝β，则直线BD的方程为y＝cotβ·(x＋1)．同样，直线CE的方程为y＝－cotα·(x－1)，联立这两个方程，解得A点的横坐标x A＝cotα－cotβcotα＋cotβ＝sin(α－β)sin(α＋β)．因为∠EOC＝2∠EBC＝2α，∠DOB＝2β，故E(cos2α，sin2α)，D(－cos2β，sin2β)，G(cos2α，0)，F(－cos2β，0)．于是直线DG的方程为y＝sin2β－(cos2α＋cos2β)·(x－cos2α)，直线EF的方程为y＝sin2α－(cos2α＋cos2β)·(x＋cos2β)．联立这两个方程，解得M点的横坐标x M＝sin2α·cos2β－cos2α·sin2βsin2α＋sin2β＝sin2(α－β)sin(α＋β)cos(α－β)＝sin(α－β)sin(α＋β)＝x A．故AM⊥BC．例8．如图，一条直线l与圆心为O的圆不相交，E是l上一点，OE⊥l，M是l上任意异于E的点，从M作圆O的两条切线分别切圆于A和B，C是MA上的点，使得EC⊥MA，D是MB上的点，使得ED ⊥MB ，直线CD 交OE 于F ．求证：点F 的位置不依赖于M 的位置(1994年IMO 预选题) 分析 若以l 为x 轴，OE 为y 轴建立坐标系，则只要证明F 点的纵坐标与点M 的坐标无关即可．证明 建立如图所示的平面直角坐标系，设圆O 的半径为r ，OE ＝a ，∠OME ＝α，∠OMA ＝θ，显然有sinθsinα＝ra． y C ＝MC ·sin(α－θ)＝ME ·sin(α－θ)cos(α－θ) ＝a cotα·sin(α－θ)cos(α－θ)，x C ＝－y C ·tan(α－θ)＝－a cotαsin 2(α－θ)． 同理，y D ＝a cotα·sin(α＋θ)cos(α＋θ)，x D ＝－a cotαsin 2(α＋θ)．所以，k CD ＝sin2(α＋θ)－sin2(α－θ)2[sin 2(α－θ)－sin 2(α＋θ)]＝－cot2α．则直线CD 的方程为y －a cotα·sin(α＋θ)cos(α＋θ)＝－cot2α[x ＋a cotαsin 2(α＋θ)]． 令x ＝0，得y F ＝a cotα·sin(α＋θ)[cos(α＋θ)－cot2αsin(α＋θ)] ＝a cotα·sin (α＋θ)sin(α－θ)sin2αxl＝a ·－cos2α＋cos2θ4sin 2θ＝a 2(1－sin 2θsin 2α) ＝a 2－r 22a．由于a 2－r 22a是定值，这就表明F 的位置不依赖于点M 的位置．情景再现7．在筝形ABCD 中，AB ＝AD ，BC ＝CD ，经AC 、BD 交点O 作二直线分别交AD 、BC 、AB 、CD 于点E 、F 、G 、H ，GF 、EH 分别交BD 于点I 、J ．求证：IO ＝OJ ．（1990年冬令营选拔赛题）8．水平直线m 通过圆O 的中心，直线l ⊥m ，l 与m 相交于M ，点M 在圆心的右侧，直线l 上不同的三点A 、B 、C 在圆外，且位于直线m 上方，A 点离M 点最远，C 点离M 点最近，AP 、BQ 、,CR 为圆O 的三条切线，P 、Q,、R 为切点．试证：(1)l 与圆O 相切时，AB ⨯CR ＋BC ⨯AP ＝AC ⨯BQ ；(2)l 与圆O 相交时，AB ⨯CR ＋BC ⨯AP ＜AC ⨯BQ ； (3)l 与圆O 相离时，AB ⨯CR ＋BC ⨯AP ＞AC ⨯BQ ．(1993年全国高中数学联合竞赛)习题561．已知AM 是 ABC 的一条中线，任一条直线交AB 于P ，交AC 于Q ，交AM 于N ．求证：AB AP ，AM AN ，ACAQ成等差数列．2．在四边形ABCD 中，AB 与CD 的垂直平分线相交于P ，BC 和AD 的垂直平分线相交于Q ，M 、N 分别为对角线AC 、BD 中点．求证：PQ ⊥MN ．3．证明，如一个凸八边形的各个角都相等，而所有各邻边边长之比都是有理数，则这个八边形的每组对边一定相等．(1973年奥地利数学竞赛题)4．设△ABC 是锐角三角形，在△ABC 外分别作等腰直角三角形BCD 、ABE 、CAF ，在此三个三角形中，∠BDC 、∠BAE 、∠CF A 是直角．又在四边形BCFE 外作等腰直角三角形EFG ，∠EFG 是直角．求证：⑴GA ＝2AD ；⑵∠GAD ＝135°；(上海市1994年高中数学竞赛) 5．如图△ABC 和△ADE 是两个不全等的等腰直角三角形，现固定△ABC ，而将△ADE 绕A 点在平面上旋转．试证：不论△ADE 旋转到什么位置，线段EC 上必存在点M ，使△BMD 为等腰直角三角形．(1987年全国高中数学联赛)D ECBA6．设A1A2A3A4为⊙O的内接四边形，H1、H2、H3、H4依次为ΔA2A3A4、ΔA3A4A1、ΔA4A1A2、ΔA1A2A3的垂心．求证：H1、H2、H3、H4四点在同一个圆上，并定出该圆的圆心位置．(1992年全国高中数学联赛)7．证明：ΔABC的重心G，外心O，垂心H三点共线，且OG：GH＝1：2．8．已知MN是圆O的一条弦，R是MN的中点，过R作两弦AB 和CD，过A、B、C、D四点的二次曲线交MN于P、Q．求证：R是PQ的中点．本节“情景再现”解答：1．以圆心O为原点，BA为y轴建立坐标系，设点C的坐标为(x0，y0)，且⊙O的半径等于1．可得R点横坐标x R＝x01－y0，Q点横坐标x Q＝x01＋y0，P点横坐标x P＝1x0．所以x R＋x q＝x01－y0＋x01＋y0＝x01－y20＝2x0＝2x P．即点P为QR的中点，所以|PQ|＝|PR|．2．以O 为原点，EF 为x 轴，建立直角坐标系．设E (－x 0，0)，F (x 0，0)．圆M 的半径设为r ，则圆M 的方程为x 2＋y 2－2xx 0－2yr ＋x 02＝0 (1)．过E 的两直线AB 、CD 的方程可设为h 1y ＝x ＋x 0，h 2y ＝x ＋x 0，合为(x －h 1y ＋x 0)(x －h 2y ＋x 0)＝0 (2)．直线BD 、AC 的方程又可设为y ＝kx ，ax ＋by ＋c ＝0．合为(y －kx )(ax ＋by ＋c )＝0 (3)．(1)与(2)所成的曲线系过交点A 、B 、C 、D ，又曲线(3)过点A 、B 、C 、D ，故为该曲线系中的一条．比较(1)与(2)所成的曲线系与(3)中常数项即可知(3)能由(1)、(2)相减得到，此时项中无x 2项．所以(3)中a ＝0，即AC ∥EF ．3．建立如图所示的平面直角坐标系，设A 、B 、C 三点的坐标依次为A (a ，0)，B (b ，0)，C (0，c )．则P 点和K 点的坐标分别为：P (2bc 2b 2＋c 2，2b 2c b 2＋c 2)，K (2ac 2a 2＋c 2，2a 2ca 2＋c 2)．于是KP 所在的直线方程是c (a ＋b )x ＋(ab －c 2)y－2abc ＝0 ①，另一方面，BC 所在直线的方程是cx ＋by －bc ＝0 ②，BC 边上的高所在的直线方程是bx －cy －ab ＝0 ③，由于②×a ＋③×c ＝①，于是KP 经过BC 边上高线的垂足，同理，KP 与经过AC 边上高线的垂足．4．分别以AC 、AB 所在直线为x 轴和y 轴建立直角坐标系，并设|AC |＝a ，|AB |＝b ，|OD |＝xc ，则c ＝aba 2＋b2．设ΔACD 、ΔABD 的内切圆半径分别为r 1，r 2，则N ，M 的坐标分别为N (c －r 1，r 1)，M (r 2，c －r 2)．于是直线MN 的斜率为k MN ＝c －r 2－r 1r 2－c ＋r 1＝－1．这说明ΔAKL 为等腰直角三角形，直线MN 的方程为y －r 1＝－(x －c ＋r 1)，其横、纵截距均为c ，所以2S ΔAKL＝c 2＝a 2b 2a 2＋b 2≤a 2b 22ab＝ab2＝S ΔABC ．5．以A 为原点，AB 为x 轴正方向建立直角坐标系．设|AB |＝p ，|AC |＝q ．则1p ＋1q ＝m ，q ＝pmp －1，点B (p ，0)，C (q cos α，q sin α)．直线BC 的方程为yq sin α＝x －p q cos α－p．整理得p (my －sin α)＋[x sin α－(1＋cos α)y ]＝0，即无论p 为何值时，直线BC 经过两条定直线my －sin ＝0与x sin α－(1＋cos α)y ＝0的交点．(两条直线斜率不等，故必有交点)，即直线BC 过定点．6．以外接⊙O 的圆心O 为原点，平行于BC 的直线为x 轴建立坐标系．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则C (－x G (x 13，y 1＋2y 23)．设外接圆半径为r ．则＝x 22＋y 22＝r 2．由相交弦定理，知AG GP ＝|AG |2r 2－|OG |2，同理BG GQ ＝|BG |2r 2－|OG |2，CG GR ＝|CG |r 2－|OG |2；|AG |2＋|BG |2＋|CG |2＝(x 1－x 13)2＋(x 2－x 13)2＋(x 2＋x 13)2＋(y 1－y 1＋2y 23)2＋2(y 2－y 1＋2y 23)2＝23[x 12＋(y 1－y 2)2]＋2x 22＝43(r 2＋x 22－y 1y 2)，r 2－|OG |2＝r 2－[x 209＋(y 1＋2y 2)29]＝49(2r 2－y 22－y 1y 2)．注意到x 22＋y 22＝r 2，就得AG GP ＋BG GQ ＋CGGR＝|AG |2＋|BG |2＋|CG |2r 2－|OG |2＝3．7．如图，以O 为原点，OD 为x 轴正方向建立直角坐标系，设A (0，a )，D (d ，0)，C (0，c )，则B (－d ，0)．直线AB 方程为：x －d＋ya －1＝0；设GH 方程：ky －x ＝0． (因为求I 点坐标时要取y ＝0，故把系数k 置 于y 前)．于是GF 方程为x －d ＋ya －1＋λ(ky－x )＝0 ①，BC 方程为x －d ＋yc －1＝0，设EF 方程为hy －x ＝0．于是GF 方程又可表 示为x －d＋yc －1＋μ(hy －x )＝0 ②． ①与②是同一个方程，比较系数得λ＝μ，1a ＋λk ＝1c＋μh ．则λ＝1h －k (1a －1c )．在①中，令y ＝0得I 点的横坐标x I ＝d1＋d λ；同理，点J 的横坐标为x J ＝－d 1－d λ'，其中λ'＝1k －h (1a－1c )，于是x I＝－x j ．即IO ＝OJ ．从而得证．8．证略．本节“习题56”解答：1．以BC所在直线为x轴，高AD所在直线为y轴建立直角坐标系．设A(0，a)，B(m－b，0)，C(m＋b，0)，直线PQ方程：y＝kx＋q．设ABAP＝λ，则AP+PBAP＝λ，BPP A＝λ－1．所以P点坐标为x＝m－bλ，y＝(λ－1)aλ，故(λ－1)a＝k(m－b)＋qλ，则λ＝k(m－b)+aa－q ，即ABAP＝k(m－b)+aa－q，同理，AMAN＝km+aa－q，ACAQ＝k(m+b)+a a－q ．则ABAP＋ACAQ＝2AMAN．这说明ABAP，AMAN，ACAQ成等差数列．2．提示：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，利用式子的对称性即可证得结论．3．此八边形的每个内角都等于135︒．不妨设每边的长都是有理数．依次设其八边长为有理数a，b，c，d，e，f，g，h．把这个八边形放入坐标系中，使长为a的边的一个顶点为原点，这边在x轴上，于是a＋b cos45︒＋d cos135︒－e＋f cos225︒＋h cos315︒＝0，整理得a＋e＋22(b－d－f＋h)＝0；b cos45︒＋c＋d cos(－45︒)＋f cos135︒－g＋h cos225︒＝0，整理得c＋g＋E22(b＋d－f－h)＝0．所以a＝e，b－d－f＋h＝0；c＝g，b＋d－f－h＝0．则b－f＝0，g－h＝0．从而凸八边形的每组对边相等．4．以A为原点建立直角坐标系，设B、C对应的复数为z B，z C．则点E对应复数z E＝－iz B，点D对应复数z D＝12(1＋i)(z B－z C)＋z C＝12[(1＋i)z B＋(1－i)z C]，点F对应复数z F＝12(1＋i)z C．向量→FE＝z E－z F＝－iz B－12(1＋i)z C．z G＝z F－i→FE＝12(1＋i)z C－i[－iz B－12(1＋i)z C]＝－z B＋12(1＋i)2z C＝－z B＋iz C．则z G＝(－1＋i)z D＝2(cos135︒＋i sin135︒)z D．则GA＝2AD；∠GAD＝135°．5．以A为原点，AC为x轴正方向建立复平面．设C表示复数c，点E表示复数e(c、e∈R)．则点B表示复数b＝12c＋12ci，点D表示复数d＝12e－12ei．把△ADE绕点A旋转角θ得到△AD'E'，则点E'表示复数e'＝e(cosθ＋i sinθ)．点D'表示复数d'＝d(cosθ＋i sinθ)表示E'C中点M的复数m＝12(c＋e')．则表示向量→MB的复数：z1＝b－12(c＋e')＝12c＋12ci－12c－12e(cosθ＋i sinθ)＝－12e cosθ＋12(c－e sinθ)i．表示向量→MD '的复数：z 2＝d '－m ＝(12e －12ei )(cos θ＋i sin θ)－12c －12e (cos θ＋i sin θ)＝12(e sin θ－c )－12ie cos θ．显然：z 2＝z 1i ．于是|MB |＝|MD '|，且∠BMD '＝90°．即△BMD '为等腰直角三角形．故证．6．以O 为坐标原点，⊙O 的半径为长度单位建立直角坐标系，设OA 1、OA 2、OA 3、OA 4与OX 正方向所成的角分别为α、β、γ、δ，则点A 1、A 2、A 3、A 4的坐标依次是(cos α，sin α)、(cos β，sin β)、(cos γ，sin γ)、(cos δ，sin δ)．显然，⊿A 2A 3A 4、⊿A 3A 4A 1、⊿A 4A 1A 2、⊿A 1A 2A 3的外心都是点O ，而它们的重心依次是(13(cos β＋cos γ＋cos δ)，13(sin β＋sin γ＋sin δ))、(13(cos γ＋cos δ＋cos α)，13(sin α＋sin δ＋sin γ))、(13(cos δ＋cos α＋cos β)，13(sin δ＋sin α＋sin β))、(13(cos α＋cos β＋cos γ)，13(sin α＋sin β＋sin γ))．从而，⊿A 2A 3A 4、⊿A 3A 4A 1、⊿A 4A 1A 2、⊿A 1A 2A 3的垂心依次是H 1(cos β＋cos γ＋cos δ，sin β＋sin γ＋sin δ)、H 2(cos γ＋cos δ＋cos α，sin α＋sin δ＋sin γ)、H 3(cos δ＋cos α＋cos β，sin δ＋sin α＋sin β)、H 4(cos α＋cos β＋cos γ，sin α＋sin β＋sin γ)．而H 1、H 2、H 3、H 4点与点O 1(cos α＋cos β＋cos γ＋cos δ，sin α＋sin β＋sin γ＋sin δ)的距离都等于1，即H 1、H 2、H 3、H 4四点在以O 1为圆心，1为半径的圆上．证毕．7．以ΔABC 的外心O 为坐标原点，不妨设ΔABC 的外接圆半径为1，设A (cosα，sinα)，B (cosβ，sinβ)，C (cosγ，sinγ)，则重心G 的坐标为G (cosα＋cosβ＋cosγ3，sinα＋sinβ＋sinγ3)．设H '(cosα＋cosβ＋cosγ，sinα＋sinβ＋sinγ)．则k AH '＝sinβ＋sinγcosβ＋cosγ＝tan β－γ2，k BC ＝sinβ－sinγcosβ－cosγ＝－cot β－γ2．则可得k AH '·k BC ＝－1，则AH '⊥BC ．同理，BH '⊥CA ，CH '⊥AB ．因此，H '(cosα＋cosβ＋cosγ，sinα＋sinβ＋sinγ)为ΔABC 的垂心H ．观察O 、G 、H 的坐标可知，G 、O 、H 三点共线，且OG ：GH ＝1：2．8．以R 为原点，MN 为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．设圆心O 的坐标为(0，a )，圆半径为r ，则圆的方程为x 2＋(y －a )2＝r 2 ①，设AB 、CD 的方程分别为y ＝k 1x 和y ＝k 2x ．将它们合成为(y －k 1x )(y－k 2x )＝0 ②，于是过①与②的四个交点A 、B 、C 、D 的曲线系方程为(y －k 1x )(y －k 2x )＋λ[x 2＋(y －a )2－r 2]＝0 ③，令③中y ＝0，得(λ＋k 1k 2)x 2＋λ(a 2－r 2)＝0 ④．④的两个根是二次曲线与MN 交点P 、Q 的横坐标，因为x P ＋x Q ＝0，即R 是PQ 的中点．从而得证．说明：本例实质上是平面几何中蝴蝶定理得推广．平面几何中许多x命题都可以通过解析法获证．第21 页共21 页。
用解析法解一道几何光学题
析式成立 ：
Ｓ ： ＝ ｘ２ Ａ ＇ ｙ ２ 一
． ． 一
Ｑ
Ｎ
Ｓ 一 Ｑ：
Ｓ ｙ＝－ Ｆ． ｘ
（） ２
（ ３）
／
＿ ・
Ｒ
，
．
＇
・
，
．
，
Ｑ ： （ ｒ 尸 ＋ ＝ ）
（） ４
ｆ ，
由（） （ ） Ｊ 、２ 得 ＝ — 了 ＿
／
，
（） ２ 由图可 知 △
用解析法解一道几何光学题
许 旭 阳 环 县 一 中 ，甘 肃
原题 ： 有一竖直放置 的平面镜 ， 在平面镜前 ４ ｃ ５ｍ
环县
７ ５０ ４ ７０
． ・ ． ＝
５ ＡＦ Ｌ ＤＧ， ￣ＡＦＳ Ｂ
处有＿与平面镜平行放置的平板 ，在 口 靠镜一侧有一 ６ 点光源 ，现要在离平面镜 ５ｍ处的 ＇ ｃ Ｐ Ｑ虚线上 的某一处
点是 喜 欢动 手 不 喜 欢动 脑 。 果采 用 项 目切入 法 就 能 够 把 如 学生 的 “ 与 “ ” 系 在 一起 ， 学 生 从 一开 始 就 有 了明 学” 用 联 使
会 了运用新知识 ， 可谓一箭双雕。 找准切入点最大 的好处是 ， 能够使课堂教学进展顺利，
学生 完 全 是 在积 极 主 动 状 态 下学 习 ， 既发 挥 了教师 引导 的
Ｌ
（） ２ 根据作 出的光路图算 出挡板的最小宽度为多少厘
米？
（） ３将挡板平行于平面镜 向上平移的过程中， 在距离平 面镜 １ ｃ ０ｍ的范围内，哪一位置可使挡板 的宽度最小 ？作 图并计算 出挡板的最小宽度。 解： 本题第一、 问可按一般方法去做 ， 二 但第三 问采用 几何方法求解难度较大， 这里介绍一种解析法 。
3-5用解析法做机构的运动分析
对时间求导得速度方程：
l2 sinθ2 ω2 － l3 sinθ3 ω3 ＝ω1 l1 sinθ1 l2 cosθ2 ω2 － l3 cosθ3 ω3 ＝－ω1 l1 cosθ1
写成矩阵形式：
- l2 sinθ2 l3 sinθ3 l2 cosθ2 - l3 cosθ3
ω2 ω3
＝ω1
l1 sinθ1 -l1 cosθ1
α2 α3 ＝-
(8)
- l2 ω2 cosθ2 - l 2 ω2 sinθ2
l3 ω3 cosθ3 l3 ω3 sinθ3
ω2 ω3
+ω1
l1 ω1 sinθ1 l1 ω1 cosθ1
求解式（8）可得α2 ，α3。
速度方程的一般表达式： [A]{ω} =ω1{B}
其中[A]－－机构从动件的位置参数矩阵；
θ3 Dx
改写成直角坐标的形式：
l2 cosθ2 － l3 cosθ3 ＝ l4 －l1 cosθ1 l2 sinθ2 － l3 sinθ3 ＝－ l1 sinθ1
解此方程即 可得θ2、θ3
2.速度分析 将上述位置方程：
l2 cosθ2 － l3 cosθ3 ＝ l4 －l1 cosθ1 l2 sinθ2 － l3 sinθ3 ＝－ l1 sinθ1
联立上两式可求得两个未知角速度ω2、 ω3 。
ω3 = ω1 l1 sin (θ1 －θ2 ) /[ l3 sin (θ3 －θ2 ) ] ω2 = - ω1 l1 sin (θ1 －θ3 ) /[ l2sin (θ2－θ3 ) ]
（三）、加速度分析
速度方程:
l11ei1 l22ei2 l33ei3 (5)
α3 =ω12 l1 cos (θ1 - θ2 ) + ω22 l2 -ω32 l3 cos (θ3 - θ2 ) /[ l3 sin (θ3 －θ2 ) ]
方向余弦方向导数
方向余弦方向导数一、引言方向余弦方向导数是微分几何中的一个重要概念，它用于描述函数在某个方向上的变化率。
该概念在物理学、工程学以及计算机科学等领域都有广泛的应用。
本文将详细介绍方向余弦方向导数的定义、性质以及计算方法，以及它在实际问题中的应用。
二、方向余弦的定义方向余弦是一个向量与坐标轴之间的夹角的余弦值。
在三维空间中，一个向量可以表示为三个分量的有序组合，即：v⃗=(v1,v2,v3)其中，v1,v2,v3分别表示向量v⃗在x,y,z方向上的分量。
方向余弦的定义如下：cos(θ)=v i |v⃗|其中，θ表示该向量与某个坐标轴的夹角，|v⃗|表示向量v⃗的模。
三、方向导数的定义方向导数是函数在某个方向上的变化率。
对于函数f(x,y)，它在某个方向上的方向导数的定义如下：D u⃗⃗f(x,y)=limℎ→0f(x+ℎu1,y+ℎu2)−f(x,y)ℎ其中，u⃗⃗=(u1,u2)表示方向向量，ℎ表示步长。
四、方向余弦方向导数的定义方向余弦方向导数结合了方向余弦和方向导数的概念，它表示函数在某个方向上的变化率相对于该方向的分量的比例。
对于函数f(x,y)，它在某个方向上的方向余弦方向导数的定义如下：Dθf(x,y)=cos(θ)∂f(x,y)∂x+sin(θ)∂f(x,y)∂y其中，θ表示该方向与x 轴正向的夹角，∂f (x,y )∂x ,∂f (x,y )∂y 分别表示函数f (x,y )对x,y 的偏导数。
五、方向余弦方向导数的性质1. 方向余弦方向导数与方向无关：方向余弦方向导数与方向向量无关，只与方向角度有关。
即对于同一个方向上的不同方向向量，它们的方向余弦方向导数相等。
2. 方向余弦方向导数的范围：方向余弦的取值范围为[−1,1]，因此方向余弦方向导数也位于[−1,1]之间。
3. 方向余弦方向导数的最大值和最小值：在某些特殊情况下，方向余弦方向导数可以达到最大值或最小值。
当函数在某个方向上的变化率最大或最小时，它的方向余弦方向导数可能达到最大值或最小值。
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解析法在几何中的应用
【摘要】解析法彻底改变了数学的研究方法，它把几何的问题变换成一个相应的代数问题，再把代数问题归结到去解一个方程式，从而使解决问题的方法变得更为简单。
本文将从平面几何、立体几何、平面解析几何和空间解析几何四大方面举例说明解析法在几何中的应用。
【关键词】解析法；几何；轨迹；对称
笛卡尔为了把算术、代数、几何统一起来，他设想把数学问题化为一个代数问题，再把任何代数问题归结到去解一个方程式，于是笛卡尔从天文和地理的经纬度出发，指出平面上的点和实数对(x,y)的对应关系，x和y的不同数值可以确定平面上不同的点，即平面上的点和实数对(x,y)建立了一一对应关系，这就是解析几何的基本思想，也是代数和几何的第一次完美结合。
一、解析法的概念
平面解析几何的基本思想有两个点：
第一，在平面建立坐标系，取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。
利用坐标系可以把平面内的点和一实数对(x,y)建立起一。