2.3 线性移位寄存器的多项式表示

东
定义2-3 仅能被非0常数或自身的常数倍除 尽，但不能被其他多项式除尽的多 项式称为即约多项式或不可约多项式。
北
石
油
大
定理2-3 若序列 ai 的特征多项式 p( x)定义在 GF(2)上， p是 p( x)的周期，则 ai 的周期 r ，满足 r p
学
定理 2-4 设 p( x) 是n次不可约多项式，周期为 m，序列 ai G ( p( x)) ，则 a 的周期为m.
东
北
石
油
大
学
东 北 石 油
非常感谢！
大
学
学
东
北
• 其中 为欧拉数，已经证明，对于任意的 正整数n，至少存在一个n次本元多项式。
石
油
n
(2n 1)
大
• ai 为m序列的关键在于 p( x) 为本元多项式， n次本元多项式的个数为
学
小结
序列的周期整除特征多项式的周期 若特征多项式是不可约的，则序列的周 期等于特征多项式的周期 序列有最大周期 特征多项式是不可约 的 序列有最大周期 特征多项式是本原 多项式
石
油
ai GF (2)(i 1, 2, , n)
对任何 k 1 成立。这种递推可用一个 一元高阶多项式
大
学
i
设n级线性移位寄存器的输出序列 a 满足递推关系
定义2-1 给定序列 a ，幂级数
i
称为该序列的生成函数。
i 1
北 东
( x) (cn i x
i 1 n
石
A( x)
n i i j 1
定理2-1 设 p( x) 1 c1 x cn1 x n1 cn x n 是GF(2)上的多项 G ( p ( x)) 中的任意序列 a 的生成函数 A( x) 满足 式， 其中
j 1 a x j )
油
i
( x)
p( x)
i
出序列可由 ak ak 1 ak 2 ak 3 ak 4 k 4 和初始状态求出，设初始状态为0001，则输出序
列为000110001100011…，周期为5，不是m序列。
东
北
4 3 2 f ( x ) x x x x 1为GF(2)上的不可 例 2-4 约多项式。以 f ( x) 为特征多项式的LFSR的输
石
油
定理2-5 n级LFSR产生的序列有最大周期 2n 1 的必要条件是器特征多项式为不可约的。
大
学
东
北
定理 2-6 设 ai G ( p( x)), a 为m序列的充要 条件是 p( x) 为本原多项式。
石
油
大
i
定义2-4 若n次不可约多项式 p( x) 的阶为 2n 1 则称 p( x) 是n次本原多项式。
东
北
石
油
第二章 流密码
大
学
2.3 线性移位寄存器的一元多项式表示
an k c1an k 1 c2 an k 2 cn ak
表示，称这个多项式为LFSR的特征多项式或特征多 项式。 记 2n 1 个非零序列的全体为 G ( p( x))
东
北
p ( x) 1 c1 x cn 1 x n 1 cn x n
大
学
A x ai x i 1

东
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定义2-2 设 的最小 p 称为 p( x)的周期或阶。
北
p ( x) 是 GF (2)上的多项式，使 p( x) | ( x p 1)
石
油
定理说明可用n级LFSR产生的序列，也可 用级数更多的LFSR来产生。
大
学
定理2-2 p( x) | q( x) 的充要条件是 G ( p( x)) G(q( x))