第四章质点系的平衡B详解

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BUAA
§4-4 虚位移与虚功
一、虚位移
rA A r A
900
O
•虚位移（virtual displacement)：在给定瞬时
质点(系)为 约束容许 的 任何 微小位移。r
rB
B
rB
rA
O
ArA
rB B rB
虚 1、不同瞬时或位置，虚位移不同
位 移
2、必须满足约束条件
[rA ]AB [rB ]AB
W Fxx Fyy Fzz
例：若OA杆的虚位移为 ， rA A
OA＝R ，求力F 的虚功。 W F rB
O
900
rB B F
F rA FR
rB rA
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§4-5 理想约束
• 理想约束(ideal constraint)： 质点系中所有约束力
在任何虚位移上所作虚功之和为零的约束。
n
Fi ri 0
i 1
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§4-6 虚位移原理
rA
A
rC1
M
m1 g
O
rC2
m2 g
[rA ] AB [rB ] AB
rB
BF
m3 g
rA rB rA rB L
W 0 Fr M 0 B
FL M ( FL M ) 0 0
LF M 0 M LF
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§4-6 虚位移原理
A
900
平衡方程的求解方法
C2
C1 m1 g
M
m2 g
O
BF
研究OA杆
MO 0
FAxL M 0 (1)
FAy A
C1 m1 g
FAx A M
m3 g FAx
FAy
C2
m2 g
FNB BF
研究AB 杆和滑块B
Fx 0
FAx F 0 (2) (2) (L) (1)
运动光滑曲面约束
变长度单摆
N
dr
u
P r
N δr
N δr 0
x
y Tl(tA) drr
l(t)=l0-vt
T δr 0
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虚功为零，实功不一定为零！
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§4-5 理想约束
r1
FNB
B
r2 A FS'A
FSB
FN' A
例题：若斜块A和滑块B之间 （1）：有摩擦； （2）：无摩擦。
r2
(FNB FSB ) r1 FSB r1 0
n
（2）：无摩擦 是理想约束
FNi ri 0
i1
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§4-6 虚位移原理
一、虚位移原理(virtual work principle)
n
Fi ri 0
i1
虚位移原理：具有双侧、理想约束的静止的质点系， 在给
y
x
O 虚位移
虚位移是约束被“冻结”后此瞬时约束允许的无
限小位移，与时间t的变化无关 (t 0)。
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§4-4 虚位移与虚功
二、虚功 • 虚功（virtual work)：W F r
作用于质点(系)上的力在虚位移上所作的功。
F Fxi Fy j Fzk
r xi yj zk
BUAA
习题：4-1、4-4、4-5
虚位移原理
由 伯 努 利（Bornoulli，1717)提出的 由 拉格朗日（Lagrange，1764)完善的
虚位移原理是静力学的普遍原理，它 给出了质点系平衡的充分和必要条件。 • 什么是虚位移 • 什么是虚功 • 什么是虚位移原理的适用条件
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ri Fi
i
FNi
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§4-6 虚位移原理
Hale Waihona Puke Baidu
例：已知 OA=L，求 系统在图示位置平衡 时，力偶矩M与力F 的关系（不计摩擦）
A
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C2
C1 m1 g
M
m2 g
O
BF
m3 g 基本步骤：
1. 确定系统是否满足原理的应用条件 2. 分析主动力作用点的虚位移 3. 求主动力的虚功之和
O FOy
FOx
m3 g
FL M 0
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§4-6 虚位移原理
例：结构及其受力如图所示，求A端的约束力偶。
aa
a
C
D
F1 M
A
B
n
Fi ri 0
i1
F2
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§4-6 虚位移原理
例：结构及其受力如图所示，求A端的约束力偶。
aa
a
解：固定端A变成固定铰链
真实位移
dr
u
虚位移
δr
δr
δr
u
虚位移应满足给定瞬时的约束条件，即将约束面在该时刻 ‘凝固’
虚位移位于给定瞬时约束曲面的切面上 非定常约束情况下，实位移不是虚位移中的一种
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实例分析
约束方程 f z ut 0
实位移
可能位移
z
t dt
r rdr M
u
r M r t
虚位移 —定常约束情况下的可能位移，非定 常情况下假想约束“冻结”时的可能位移， 用r表示。
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定常约束
真实位移 dr
§4-4 虚位移与虚功
虚位移
δr
δr
δr
虚位移有无穷多个 定常约束情况下，实位移是虚位移中的一种
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非定常约束
§4-4 虚位移与虚功
定位置保持平衡的充要条件是：该质点系所有主动力在系
统的任何虚位移上所作的虚功之和等于零。
n
证明必要性： 平衡
Fi ri 0
i 1
n
Fi FNi 0 (i 1,,n)
(Fi FNi ) ri 0
n
n
i 1
n
Fi ri FNi ri 0
Fi ri 0
i1
i1
i1
|| 0
讨论： 哪些约束是理想约束?
1、光滑固定面和可动铰链支座 FA'
2、光滑固定铰链和轴承
Foy
3、连接物体的光滑铰链
O
n
FNi ri 0
i1
ArA
FA
B rB
4、二力杆和不可伸长的柔索
Fox
FN
5、刚体在固定面上纯滚动(不计滚阻力偶)
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§4-5 理想约束
以下约束是否为理想约束？
则该系统是否是理想约束
FN1 地面光滑 （1）：有摩擦 是非理想约束
n
FNi ri 0 ?
i1
(FNB FSB ) (r1 r2 ) (FN' A FS'A ) r2 FN1 r2
(FNB FSB ) r1 (FNB FSB ) r2
(
F
' NA
F
' SA
)
r2
FN1
特 3、是无限小的，不是有限位移
点 4、虚位移不只有一个或一组 {rA , rB } {rA ,rB}
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§4-4 虚位移与虚功
真实位移 —实际发生的位移，用dr表示，它 同时满足动力学方程、初始条件和约束条件。
可能位移 — 约束允许的位移，用Δr表示，它只 需满足约束条件。