空间解析几何课程简介

空间解析几何课程简介

本课程是大学数学系的主要基础课程之一。主要讲述解析几何的基本内容和基本方法包括：向量代数，空间直线和平面，常见曲面，坐标变换，二次曲线方程的化简等。通过学习这门课程，学生可以掌握用代数的方法研究空间几何的一些问题，而坐标法、向量法正是贯穿全书的基本方法。

2、选课建议

数学专业的同学必选该课程。该课程要求同学拥有良好的中学数学基础，建议在一年级选学。

3、教学大纲

一、课程内容

第一章矢量与坐标

1.1矢量的概念

1.2矢量的加法

1.3数量乘矢量

1.4矢量的线性关系与矢量的分解

1.5标架与坐标

1.6矢量在轴上的射影

1.7两矢量的数性积

1.8两矢量的失性积

1.9三矢量的混合积

*1.10三矢量的双重矢性积

[说明]：本章系统地介绍了矢量代数的基础知识，它实质上是一个使空间几何结构代数化的过程。为了更好地叙述矢量的向量积与混合积，我们需要补充行列式的一些基本知识。

第二章轨迹与方程

2.1平面曲线的方程

2.2曲面的方程

2.3母线平行于坐标轴的柱面方程

2.4空间曲线的方程

[说明]：本章先介绍品面曲线平面曲线的方程，后快速过渡到曲面与空间曲线方程的研究，这样不仅使学生对平面轨迹的问题作了复习与提高，而且使得一些看来较为复杂的空间轨迹问题也就迎刃而解了。

第三章平面与空间直线

3.1平面的方程

3.2平面与点的位置关系

3.3两平面的相关位置

3.4空间直线的方程

3.5直线与平面的相关位置

3.6空间两直线的相关位置

3.7空间直线与点的相关位置

3.8平面束

[说明]：本章用代数的方法定量地研究了空间最简单而又最基本的图形，即平面与空间直线，建立了它们的各种形式的方程，导出了它们之间位置关系的解析表达式，以及距离、交角等计算公式。

第四章柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面

4.1柱面

4.2锥面

4.3旋转曲面

4.4椭球面

4.5双曲面

4.6抛物面

4.7单叶双曲面与双曲抛物面的直母线

[说明]：本章抓住几何特征很明显的柱面、锥面、旋转曲面去建立它的方程，又对于比较简单的二次方程，用“截痕法”去研究图形的性质。

第五章二次曲线的一般理论

5.1二次曲线与直线的相关位置

5.2二次曲线的渐近方向、中心、渐近线

5.3二次曲线的切线

5.4二次曲线的直径

5.5二次曲线的主直径与主方向

5.6二次曲线方程的化简与分类

5.7应用不变量化简二次曲线的方程

[说明]：本章从研究直线与一般二次曲线的相交问题入手，展开了一般二次曲线的几何理论的研究，如讨论了一般二次曲线的渐近方向、中心、渐近线、切线、直径等，也讨论了一般二次曲线方程的不同的化简与分类。

二、课程说明

（一）课程的地位和任务

本课程是大学数学系的主要基础课程之一，学好这门课为后续课程以及进一步学习数学和专业知识奠定必要的数

学知识、方法和思维基础。

（二）课程的基本要求

1、掌握向量代数的基本知识，包括向量的线性运算与向量的内积、外积、混合积的计算，以及在几何上的应用。

2. 掌握空间的平面与直线的各种形式的方程，以及点、线、面三者之间的各种度量关系。

2、掌握空间特殊二次曲面（如柱面、锥面、旋转曲面）的方程。

3、掌握二次曲线方程的几何特征与二次曲线方程的不同化简方法与分类。

（三）课程内容的重点、深广度

本课程的基本思想是用代数的方法研究几何。重点要求在前两章的基础掌握下，利用向量、坐标两大工具，去讨论空间平面与直线，去建立特殊二次曲面的方程，去掌握二次曲线的一般理论。本课程论证严谨，叙述深入浅出，条理清楚，具有较好的广度与深度。

（四）与其它课程的联系与分工

先修课：平面解析几何

（五）对学生能力培养的要求和方法

学生除了参加闭卷考试外，关键是掌握一种解析分析方法，另外，培养学生对空间图形的直观想象能力。

一般大学公共基础课只有高数和线性代数，略微涉及到一点空间解析，主体部分在数理系中教学。