2.2瞬时速度矢量及瞬时加速度矢量
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第二章 质点运动学
§2.2 瞬时速度矢量 与瞬时加速度矢量
一、 平均速度与瞬时速度 二、 平均加速度与瞬时加速度
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第二章 质点运动学
一、 平均速度与瞬时速度
为了描述质点运动的快慢程度引入速度的概念.
1. 平均速度与平均速率: 大致描述运动质点在某段时间内
运动的平均快慢程度。 质点的平均速度： v
（2）t =0到t =1s质点的平均速度。
解： (1 ) v d r 1 j5 1tk 0 (m/s)
d t
大小 vv 125 (1t) 0 2
方向
22 510t02
z
v(t)
v(0)
y
O
cosvx 00
vv
cos vy 15
vv
cos vz 10t
vv
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第二章 质点运动学
axiayjazk
a |a |ax 2a2 yaz 2
cosa
ax a
cos a
ay a
cos
a
az a
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第二章 质点运动学 [例题2]某质点的运动学方程为
r 1 i 0 1 t j 5 5 t2 k (单位m,s)
求质点的加速度矢量.
解：
a
dv
dt
d2r
10k
第二章 质点运动学
二、 平均加速度与瞬时加速度
为了描述速度变化的快慢程度，引入加速度这个物理量。
vB
B
v
rB
vA
vA
O
rA
A
vB
L
在t 时间内, 速度的增量为
v v B v A
可用平行四边形法则或三角形法则求得。
v是速度大小的变化和方向的变化共同引起的。
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第二章 质点运动学
移的极限方向。
B
如图当t 趋于零时, 点B趋于 点A, 位移的方向趋于曲线在点A 的切线方向。
所以，当质点沿任意曲线运动 O
时，质点在曲线某点的速度方向,
r1
C
r2
D
v
r3
A
L
就是曲线在该点的切线方向。
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第二章 质点运动学
瞬时速率：平均速率在t→0时的极限值。
v lim Δs ds
r t
平均速度是矢量，等于单位时间内
所发生的位移，大小决定于位移的模
与时间间隔的比值；方向与位移矢量
P
Q
r(t)
r
r(tt)
方向相同。
__ v
r
O
t
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第二章 质点运动学
平均速率：是标量,等于单位时间内所通过的路程。
平均速率 v s t
平均速率和平均速度的区别： （1）标量与矢量；
dt2
a =10 m/s2 方向沿 z 轴。质点作匀加速直线运动。
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第二章 质点运动学
作业： P55 2.1.1，2.1.2，2.1.3，
2.2.2，2.2.5，2.2.6。
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t0 Δt
dt
因为t→0时路程的极限等于质点位移矢量的模的极限。
vdsdrv dt dt
瞬时速率等于瞬时速度的模,等于瞬时速度的大小, 总是正值。
速度和速率的单位为 ms1 (米/秒)。
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第二章 质点运动学
瞬时速度在直角坐标系中的分解式 v v x i v y j v z k d d x ti d d y t j d d z tk
1. 平均加速度的定义：大致描述运动质点在某段时间
内的平均速度变化的快慢程度。即单位时间内速度的
增量。
平均加速率
a
v
t
2. 瞬时加速度的定义：平均加速度在t→0时的极限值。 瞬时加速度 a lt i0 m v td d v td d2 tr 2
加速度等于速度对时间的微商, 或等于位置矢量对 时间的二阶微商。
（2）数值上不一定相等，如曲线运动时sr。例如：沿
闭合曲线运行一周, 则质点的平均速度等于零, 而相应的平均速 率却不等于零。
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第二章 质点运动学
2. 瞬时速度和瞬时速率
时间间隔越短，运动的变化就越不明显，平均速度就
越接近于真实速度。
瞬时速度:如果t→0，平均速度的极限就表示质点某一时
v |v |vx 2v2 yvz 2
cosv
vx v
cos v
vy v
cos
v
vz v
瞬时速率(简称速率)
vlimsds s是路程 t0t dt
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第二章 质点运动学
[例题1]r （ p 281 )某i 质0 1 点t j 的 5 运5 t动2 k 学方程为(SI制)
求:（1）t = 0,1s时质点的速度矢量;
加速度的单位：ms2 (米/秒2)
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第二章 质点运动学
瞬时加速度简称加速度
定义 a lt i0 m v t d dv t ddt(ddrt)dd2 t2 r a 是,矢 一 a 与 量 般 v 方向 . 不同
直角坐标中
a dvxidvyjdvzk
dt dt dt
d d2tx2 id d2t2yjd dt2z2k
t ห้องสมุดไป่ตู้0时, v15m/sco 0 s ,co 1 s ,co 0 s
t =1s时, v5 13m/s
c o 0 s,co s3 0 .8,3 co 2s2 0 .555
13
13
(2)v r1r0(1i01 j55k )(1i0 )
t1 t0
10
1j55k(m/s)
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刻的真实速度，此极限即质点运动的瞬时速度。
Δr dr
vlim
t0 Δt dt
瞬时速度等于质点的位置矢量对时间的一阶微商。
瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态.
通常所说的物体运动速度, 就是指它的瞬时速度。
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第二章 质点运动学
速度的方向：速度的方向就是当t 趋于零时, 质点位
§2.2 瞬时速度矢量 与瞬时加速度矢量
一、 平均速度与瞬时速度 二、 平均加速度与瞬时加速度
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第二章 质点运动学
一、 平均速度与瞬时速度
为了描述质点运动的快慢程度引入速度的概念.
1. 平均速度与平均速率: 大致描述运动质点在某段时间内
运动的平均快慢程度。 质点的平均速度： v
（2）t =0到t =1s质点的平均速度。
解： (1 ) v d r 1 j5 1tk 0 (m/s)
d t
大小 vv 125 (1t) 0 2
方向
22 510t02
z
v(t)
v(0)
y
O
cosvx 00
vv
cos vy 15
vv
cos vz 10t
vv
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第二章 质点运动学
axiayjazk
a |a |ax 2a2 yaz 2
cosa
ax a
cos a
ay a
cos
a
az a
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第二章 质点运动学 [例题2]某质点的运动学方程为
r 1 i 0 1 t j 5 5 t2 k (单位m,s)
求质点的加速度矢量.
解：
a
dv
dt
d2r
10k
第二章 质点运动学
二、 平均加速度与瞬时加速度
为了描述速度变化的快慢程度，引入加速度这个物理量。
vB
B
v
rB
vA
vA
O
rA
A
vB
L
在t 时间内, 速度的增量为
v v B v A
可用平行四边形法则或三角形法则求得。
v是速度大小的变化和方向的变化共同引起的。
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第二章 质点运动学
移的极限方向。
B
如图当t 趋于零时, 点B趋于 点A, 位移的方向趋于曲线在点A 的切线方向。
所以，当质点沿任意曲线运动 O
时，质点在曲线某点的速度方向,
r1
C
r2
D
v
r3
A
L
就是曲线在该点的切线方向。
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第二章 质点运动学
瞬时速率：平均速率在t→0时的极限值。
v lim Δs ds
r t
平均速度是矢量，等于单位时间内
所发生的位移，大小决定于位移的模
与时间间隔的比值；方向与位移矢量
P
Q
r(t)
r
r(tt)
方向相同。
__ v
r
O
t
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第二章 质点运动学
平均速率：是标量,等于单位时间内所通过的路程。
平均速率 v s t
平均速率和平均速度的区别： （1）标量与矢量；
dt2
a =10 m/s2 方向沿 z 轴。质点作匀加速直线运动。
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第二章 质点运动学
作业： P55 2.1.1，2.1.2，2.1.3，
2.2.2，2.2.5，2.2.6。
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t0 Δt
dt
因为t→0时路程的极限等于质点位移矢量的模的极限。
vdsdrv dt dt
瞬时速率等于瞬时速度的模,等于瞬时速度的大小, 总是正值。
速度和速率的单位为 ms1 (米/秒)。
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第二章 质点运动学
瞬时速度在直角坐标系中的分解式 v v x i v y j v z k d d x ti d d y t j d d z tk
1. 平均加速度的定义：大致描述运动质点在某段时间
内的平均速度变化的快慢程度。即单位时间内速度的
增量。
平均加速率
a
v
t
2. 瞬时加速度的定义：平均加速度在t→0时的极限值。 瞬时加速度 a lt i0 m v td d v td d2 tr 2
加速度等于速度对时间的微商, 或等于位置矢量对 时间的二阶微商。
（2）数值上不一定相等，如曲线运动时sr。例如：沿
闭合曲线运行一周, 则质点的平均速度等于零, 而相应的平均速 率却不等于零。
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第二章 质点运动学
2. 瞬时速度和瞬时速率
时间间隔越短，运动的变化就越不明显，平均速度就
越接近于真实速度。
瞬时速度:如果t→0，平均速度的极限就表示质点某一时
v |v |vx 2v2 yvz 2
cosv
vx v
cos v
vy v
cos
v
vz v
瞬时速率(简称速率)
vlimsds s是路程 t0t dt
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第二章 质点运动学
[例题1]r （ p 281 )某i 质0 1 点t j 的 5 运5 t动2 k 学方程为(SI制)
求:（1）t = 0,1s时质点的速度矢量;
加速度的单位：ms2 (米/秒2)
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第二章 质点运动学
瞬时加速度简称加速度
定义 a lt i0 m v t d dv t ddt(ddrt)dd2 t2 r a 是,矢 一 a 与 量 般 v 方向 . 不同
直角坐标中
a dvxidvyjdvzk
dt dt dt
d d2tx2 id d2t2yjd dt2z2k
t ห้องสมุดไป่ตู้0时, v15m/sco 0 s ,co 1 s ,co 0 s
t =1s时, v5 13m/s
c o 0 s,co s3 0 .8,3 co 2s2 0 .555
13
13
(2)v r1r0(1i01 j55k )(1i0 )
t1 t0
10
1j55k(m/s)
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刻的真实速度，此极限即质点运动的瞬时速度。
Δr dr
vlim
t0 Δt dt
瞬时速度等于质点的位置矢量对时间的一阶微商。
瞬时速度反映质点在某时或某位置的运动状态.
通常所说的物体运动速度, 就是指它的瞬时速度。
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第二章 质点运动学
速度的方向：速度的方向就是当t 趋于零时, 质点位