2020年初中数学竞赛讲义：三角形的五心

2020年初中数学竞赛讲义：三角形

的五心

一、重心 (1)

二、垂心 (2)

三、内心 (4)

四、外心 (7)

五、旁心 (9)

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一、 重心

1. （2007年全国初中数学联赛1试）设K 是ABC △内任意一点，KAB △、

KBC △、KCA △的重心分别为D 、E 、F ，则:DEF ABC S S △△的值为（ ）

A ．19

B ．

29

C ．

49

D ．

23

【难度】 ★★

【解析】

A ， 分别延长KD 、KE 、KF ，与ABC △的三边A

B 、B

C 、CA 交于点M 、N 、P ，由于

D 、

E 、

F 分别为KAB △、KBC △、KCA △的重心，易知M 、N 、P 分别为AB 、BC 、CA 的中点，所以1

4

MNP ABC S S =△△．

易证DEF △∽MNP △，且相似比为2:3， 所以22()3DEF MNP S S =△△4194ABC S =⋅△1

9

ABC S =△．

所以:DEF S △1

9

ABC S =

△．故选A ．

2. （1998年全国初中数学联赛2试）已知P 为平行四边形ABCD 内一点，O 为AC

与BD 的交点，M ，N 分别为PB ，PC 的中点，Q 为AN 与DM 的交点，求证： ⑴P ，Q ，O 三点在一条直线上； ⑵2PQ OQ =．

【难度】 ★★★ 【解析】 证明：如图，连接PO ，设PO 与AN DM ，分别交于点Q '，Q ''．

在PAC △中，∵AO OC PN NC ==，， ∴Q '为重心，2PQ OQ ''''=．

这样Q Q '''=，并且Q Q '''，

就是AN DM ，的交点Q ． 故P Q O ，，在一条直线上，且2PQ OQ =．

3. （1992年全国初中数学联赛1试）若一等腰三角形的底边上的高等于18cm ，腰

上的中线等15cm ，则这个等腰三角形的面积等于__________．

N M Q P

O

D

C

B

A

Q''Q'N

M

Q

P

O D

C

B

A