小波分析方法

收稿日期:　2001206219;　修回日期:　2001208209
　作者简介:　朱学锋(19692),男,河北抚宁人,学士学位,工程师,从事信号分析及数据处理的研究;
肖旭东(19732),男,吉林公主岭人,学士学位,助理工程师,从事光学检测及图像处理的研究。

2002年3月第29卷第3期
强度与环境
STRUCTURE &ENVIR ON MENT ENGINEERING Sep.2002V ol.29,N o.3应用小波分析方法处理非平稳信号的研究
朱学锋 肖旭东
(辽宁葫芦岛92941部队96分队,辽宁,125001) (辽宁葫芦岛92941部队98分队,辽宁,125001)
摘要:　本文综述了小波分析这一前沿领域的发展现状,介绍了小波变换及其Mallat 快速小波算法,对比分
析了小波变换与短时傅里叶变换之间的差异,指出这种基于多分辨方法的小波变换特别适合于非平稳信
号的分析与处理,并且应用该方法对实测信号进行了有效的时频分析。

关键词:　小波分析;　非平稳信号;　短时傅里叶变换
中图分类号:O241.86　文献标识码:A 文章编号:100623919(2002)0320053205
An Application of W avelet Analysis to N onstationary Signals
ZH U Xue 2feng XI AO Xu 2dong
(92941T roops ,Huludao ,liaoning ,liaoning ,125001)
Abstract :　In this paper ,we first summarize the development of the wavelet theory.We introduce the wavelet trans form
and Mallat fast alg orithm ,and briefly com pare the wavelet trans form with the m ore classical sthort 2time F ourier trans form
approach to signal analysis.This paper shows that the wavelet trans form on the multires olution approach is particularly
suitable for the analysis of nonstationary signals.
K ey w ords :　Wavelet analysis ;N onstationary signals ;Short 2time F ourier trans form
1　引言
多分辨分析思想是Mallat 于1989年提出的概念,在泛函分析的框架下,统一了各种具体小波的构造方法,给出了构造正交小波基的一般方法和与FFT 相对应的快速小波算法,并将它应用于图像分解和稳定重建,成为小波理论与应用上的一个突破性进展。

小波理论的迅速发展,得到众多领域科技工作者的高度重视,人们普遍认为:它是调和分析,是现代傅里叶分析的重大突破。

小波理论在信号处理与图像分析、地震信号处理、计算机视觉与编码、语音合成与分析、信号的奇异性检测与谱估计等方面都取得了成功的应用。

美国应用数学会已将它列为90年代应用数学的八个前沿课题之一;美国国防部关键技术计划认为:小波分析将对未来国防关键技术中的
信号/图像处理等产生重要影响;英国皇家数学会也将小波列为90年代重点发展的十大方向之一;法国、德国等也纷纷投入力量进行这一领域的研究。

我国对小波的研究还处在起步阶段,目前已有国内多家重点大学展开了有关项目的研究工作,取得了显著的成绩。

小波分析不仅可用于突变信号和非平稳信号的分析处理,而且为传统的短时傅里叶变换提供了新方法。

本文对两种方法加以对比分析,并应用小波分析方法对实测振动信号进行分析研究,指出其在非平稳信号分析中的优越性。

2　变换的定义
信号s (t )的连续小波变换定义为
W (a ,b )=1
a ∫ Ψt -
b a s (t )d t (1)
其中,Ψ表示小波基,a 、b 分别表示时间的伸缩和平移, Ψ表示复数共轭。

它对应于s (t )∈L 2(R )在小波基Ψ(t )上的分解,必须满足可容许性条件:
∫
|^Ψ(ω)||ω|d ω<∞或∫Ψ(t )d t =0(2)
其中,Ψ(ω)是Ψ(t )傅里叶变换。

实际的信号处理中,短时傅里叶变换的定义为
F (ω,b )=∫h (t -b )e j ωt s (t )d t (3)
上式可以解释为:以时间b 为中心的窗乘以信号s (t ),然后在进行傅里叶变换。

用数学术语可以解释为信号s (t )在函数族h (t -b )e j ωt 上展开,这个函数族由单一函数h (t )在时域平移b 而在频域平移ω产生的;对照的说,小波变换是信号s (t )在函数族Ψ((t -b )/a )上展开,该函数族是由小波基Ψ(t )在时域平移b 且伸缩a 产生的。

因此,连续小波变换就好像是一组短时傅里叶变换,在不同的频率上加不同的窗。

它们之间的差别是:(3)式中的基函数在所有的变换点上都具有相同的时间和频率分辨率(h (t )
和h (ω));而在(1)式中,基函数的时间分辨率Ψ(t/a )随着a 的减少而减少,而频率分辨率^Ψ(a
ω)随着a 的增加而增加。

小波变换的这个特性较好地解决了时间和频率分辨率的矛盾,它巧妙地利用了非均匀分布的分辨率,即在低频段用高的频率分辨率和低的时间分辨率;而在高频段则采用低的频率分辨率和高的时间分辨率。

换句话说,与加窗傅里叶变换不同,小波分析的窗宽(基宽度)是可变的,它在高频时使用短窗口,而在低频时使用宽窗口,这充分体现了常相对带宽频率分析和自适应分辨分析的思想。

小波变换可以通过对其伸缩标度因子a 和平移标度因子b 的采样而离散化。

如果对a 和b 依如下规律采样:
a =a m 0(a 0>1),
b =nb 0a m 0(b 0∈R )　(m ,n )∈Z
2则离散小波变换定义为
W (2i ,2i n )Δ=1
2i ∫ Ψt 2i -n s (t )d t (4)
特别的,当a 0=2,b 0=1时,上式变为离散二元正交小波变换。

3　多分辨率变换与正交小波表示的实现
4
5 强度与环境 2002年
设H 和G 为两个离散滤波器,φ是尺度函数,Ψ是小波基,对任何n ∈Z ,其脉冲响应分别为
h (n )=〈φ2-1(u ),φ(u -n )〉(5)
g (n )=〈Ψ2-1(u ),φ(u -n )〉(6)
设 H 和 G 分别为H 和G 的镜像滤波器,其脉冲响应分别为 h (n )=h (-n )与 g (n )=g (-n ),则有分解
〈f (u ),φ2j (u -2-j
n )〉=∑+∞
k =-∞ h (2n -k )〈f (u ),φ2j+1(u -2-j -1k )〉(7)
〈f (u ),Ψ2j (u -2-j
n )〉=∑+∞
k =-∞ g (2n -k )〈f (u ),φ2j+1(u -2-j -1k )〉(8)
等式(7)表明:f (x )在分辨率2j 下的离散逼近A d 2j f ,可以通过A d 2j+1f 与 H 的卷积计算并保留每两个输出样
本中的一个而得到。

同样,等式(8)表明:细节信号D 2j f 可由A d 2j+1f 与 G 的卷积并对输出样本二取一而得
到。

依次将A d 2j+1f 分解为A d 2j f 和D 2j f (-J ≤j ≤-1),就可计算出离散信号的正交小波表示。

这个过程称
为塔型(Mallat )算法,算法的方块图见图1。

图1　Mallat 算法方框图
滤波器H 与G 的脉冲相应之间具有如下关系:
g (n )=(-1)1-n h (1-n )(9)
或者在频域表示为
G (ω)=e -i ωH (ω+π)(10)
其中,H (ω+π)表示H (ω+π)的复共轭。

可见,H 与G 构成了一对正交镜像滤波器,H 是一个低通滤波器,而G 是一个高通滤波器。

实际上,测量设备只能提供有限个样本:A d 1f =(αn )1≤n ≤N ,则离散逼近信号A d 2j f (j <0)和细节信号
D 2j f 均有2j N 个样本。

因此,小波表示(A d 2-J f ,(D 2j f )-J ≤j ≤-1)具有与原始逼近信号A d 1
f 相同的样本数。

4　非平稳信号的小波分析
下面应用小波分析方法分析非平稳随机信号,分别计算三阶小波表示并计算逼近信号与细节信号的频谱。

通过图解可以很明显地看出,多分辩分析方法进行数据分析的优越性,即在低频段用低的时间分辨率和高的频率分辨率,而在高频段采用高的时间分辨率和低的频率分辨率,从而反映出该段信号大部分5
5第29卷第1期 朱学锋等应用小波分析方法处理非平衡信号的研究
的频率特性。

在图2中只能看到有一个低频信号和500赫兹左右有一个较强的信号。

通过对原始信号的三阶小波分析,如图3(a)、(b)、(c),可以清晰地看到在1650、820及540左右有较强的信号成份,而这些信号成份利用普通的方法是难以识别出来的;另外,从时域观察亦可见明显的低频信号。

图2
　原始信号及频谱
图3(a)
　一阶小波分析
图3(b)　二阶小波分析
65 强度与环境 2002年
图3(c )　三阶小波分析
5　结束语
从上面的论述可以看出,小波分析方法是现代傅里叶分析的重大突破,它即能保持傅里叶分析的优点,又能弥补傅里叶分析的不足,而且为传统的短时傅里叶变换提供了新方法。

从分辨率的角度看,它巧妙地利用了非均匀分布的分辨率,充分体现了自适应分辨分析的思想,特别适合于非平稳信号的分析与处理。

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(上接第42页)
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5第29卷第1期 朱学锋等应用小波分析方法处理非平衡信号的研究 。