MUSIC方法求解信号谱空间

MUSIC 方法求解信号谱空间

一.原理：

1.阵列信号处理问题

阵列：多个天线的组合（每个天线称为一个阵元），这里讨论的阵元等间距的直线排列，这种阵列简称等距线阵。

令空间信号()n s i 与阵元的距离足够远，，以至于其电波到达各阵元的波前为平面波，这样的信号称为远场信号。远场信号()n s i 到达各阵元的方向角相同，用i θ表示，称为波达方向（角），定义为信号

()n s i 到达阵元的直射线与阵列法线方向之间的夹角。

以阵元1作为基准点，令信号()n s i 电波传播延迟在第2个阵元引起的相位差为i ω，

i

i d

θλ

π

ωsin 2=

d 是两个相邻阵元之间的距离，λ为信号波长。应满足2λ≥d ，否则相位差i ω有可能大于π，而产生所谓的方向模糊。

假设阵列由m 个阵元组成，有p 个信号位于远场，接收信号为

)

()()()()()()(1

n e n s w A n e n s a n x p

i i i

+=+=

∑=ω

其中

()]

,,,1[)1(i

m j i

j a e

e

T

i ωωω-= 为响应向量；

T

m n x n x n x )]

(,),([)(1 =为1⨯m 维观测数据向量；

T

m n e n e n e )](),([)(1 =为1⨯m 维观测噪声向量；

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡==---------wp

m j w m j w m j jwp

jw jw p e e

e

e

e

e

a a w A )1(2

)1(1)1(2

1

11

11)](,),([)(

ωω 和T

p n s n s n s )](),([)(1 =分别为p m ⨯维方向矩阵和1⨯p 维信号向量。

阵列信号处理的问题是利用接收信号的观测值，求出某个期望信号的波达方向。 2．MUSIC 方法 做以下假设：

假设1：对于不同的i ω值，向量a(i ω)相互线性独立；

假设2：加性噪声向量e(n)的每个元素都是零均值的复白噪声，它们不相关，并且具有相同的方差2σ；

假设3：矩阵P=E{()n s ()n s H }非奇异，即rank(P)=p 。 由x(n)的表达式得：

I APA

I w A n s n s E w A n x n x E R H

H H H def

xx 2

2)()}()({)()}()({σσ+=+==（*）

xx R 是对称矩阵。令其特征值分解为

H

xx U

U R ∑=

式中

)

,,(2

2

1m

diag σ

σ =∑

由于A 满列秩，故p P rank APA rank H

==)()(，这里假定m p <。于

是，我们有

)0,,0,,,(2

21 p H H

diag U APA U

αα=

式中2

2

1,,p αα 是无加性噪声时的观测信号)(n Ax 的自相关矩阵

H

APA

的特征值。

用H U 左乘和U 右乘（*）式得：

U U U APA U

U R U

H

H H

xx H

2σ+=

I diag p 2

2

2

1)0,,0,,,(σαα+=

这表明，自相关矩阵xx R 的特征值为

⎩

⎨⎧+==,,2

222

σσασλi i

i m p i p i ,,1,,1 +== 即是说，当存在加性观测白噪声时，观测数据向量)(n x 的自相关矩阵的特征值有两部分组成，前p 个特征值等于2

i

α与加性白噪声方差2σ之

和，称为信号特征值；后面m-p 个特征值全部等于加性白噪声的方差，称为噪声特征值。

特征矩阵U 的列向量分为信号特征向量和噪声特征向量：

U=][G S

]

,,[],,[],,[],,[1111m p p m p p u u g g G u u s s S +-====

由于U 是酉矩阵，故

][I

GG

SS G S G S UU

H

H

H H

H

=+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡=

即有

H

H

SS

I GG

-=

因为 G I O G S G G

S G S G R H

H

xx 2

][][σ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑=⎥⎥⎦

⎤⎢⎢⎣⎡∑= 且 G G APA

G R H

xx 2

σ+=

故 G APA H

=O 进而有 G APA G H H =O 故有

G

A H

=O

H

a

(w)G=T

, p ωωω,,1 =

故可定义一种类似于功率谱的函数：

)

()(1

)(w a GG

w a w P H

H

=

上式取峰值的p 个ω值p ωω,,1 给出p 个信号的波达方向p θθ,,1 ，视为噪声子空间方法。 上式也可写为)

())((1

)(ωωωa SS

I a p H

H

-=

，为信号子空间方法。

执行MUSIC 算法是选择噪声子空间还是信号子空间方式，决定于G 和S 中哪一个具有更小的维数。除了计算量有所不同外，这两种方式并没有本质区别。

改进的MUSIC 算法的谱P(w)由下式计算：

)

()()

()(w a GG w a w a U a w P H

H H

=

式中