苏教版数学高二学案选修2-1练习第三章《空间向量的应用》习题课

习题课 空间向量的应用

一、基础过关 1．

如图所示，平面ABEF ⊥平面ABCD ，四边形ABEF 与ABCD 都是直角梯形，∠BAD ＝∠FAB ＝90°，BC 綊12AD ，BE 綊1

2FA ，G 、H 分别为FA 、FD 的中点．

(1)证明：四边形BCHG 是平行四边形； (2)C 、D 、F 、E 四点是否共面？为什么？ (3)设AB ＝BE ，证明：平面ADE ⊥平面CDE . 2．

如图所示，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是一直角梯形，∠BAD ＝90°，AD ∥BC ，AB ＝BC ＝a ，AD ＝2a ，且PA ⊥底面ABCD ，PD 与底面成30°角． (1)若AE ⊥PD ，E 为垂足，求证：BE ⊥PD ； (2)求异面直线AE 与CD 所成角的余弦值． 3．

如图所示，在四棱锥O —ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的菱形，∠ABC ＝π

4，OA ⊥

底面ABCD ，OA ＝2，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点． (1)证明：直线MN ∥平面OCD ； (2)求异面直线AB 与MD 所成角的大小． 二、能力提升 4．如图所示，

在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD ＝2，AC＝1.

(1)证明：PC⊥AD；

(2)求二面角A－PC－D的正弦值；

(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．

5．

等边△ABC中，D，E分别是AC，AB的中点，沿DE将△ADE折起，使平面ADE⊥平面BCDE(如图所示)．

(1)求证：平面ABC⊥平面ABE；

(2)求直线AC与平面ABE所成角的正弦值．

三、探究与拓展

6．

如图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD；

(2)若SD⊥平面PAC，求二面角P—AC—D的大小；

(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC.若存在，求SE∶EC

的值；若不存在，试说明理由．

答案

1． (1)证明 由题设知，FA 、AB 、AD 两两互相垂直．

以A 为坐标原点，射线AB 为x 轴正方向，以射线AD 为y 轴正方向，以射线AF 为z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设AB ＝a ，BC ＝b ，BE ＝c ，

则由题设得A (0,0,0)，B (a,0,0)，C (a ，b,0)，D (0,2b,0)，E (a,0，c )，G (0,0，c )，H (0，b ，c )．

所以GH →＝(0，b,0)，BC →＝(0，b,0)，于是GH →＝BC →

.又点G 不在直线BC 上， 所以四边形BCHG 是平行四边形． (2)解 C 、D 、F 、E 四点共面．理由如下： 由题设知，F (0,0,2c )，

所以EF →＝(－a,0，c )，CH →＝(－a,0，c )，EF →＝CH →

.又C ∉EF ，H ∈FD ， 故C 、D 、F 、E 四点共面． (3)证明 由AB ＝BE ，得c ＝a ， 所以CH →＝(－a,0，a )，AE →

＝(a,0，a )． 又AD →＝(0,2b,0)，因此CH →·AE →＝0， CH →·AD →＝0，即CH ⊥AE ，CH ⊥AD . 又AD ∩AE ＝A ，所以CH ⊥平面ADE . 由CH ⊂平面CDE ， 得平面ADE ⊥平面CDE . 2． (1)证明 ∵PA ⊥底面ABCD ，

∴PA ⊥AB .又∵AB ⊥AD ，

∴AB ⊥平面PAD .∴AB ⊥PD . 又∵AE ⊥PD ，∴PD ⊥平面ABE . 故BE ⊥PD . (2)

解 如图所示，以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，则点C 、D 的坐标分别为(a ，a,0)、(0,2a,0)．

∵PA ⊥底面ABCD ，∠PDA 是PD 与底面ABCD 所成的角，∴∠PDA ＝30°. 于是，在Rt △AED 中，由AD ＝2a ， 得AE ＝a .

过E 作EF ⊥AD ，垂足为F ，

在Rt △AFE 中，由AE ＝a ，∠EAF ＝60°， 得AF ＝12a ，EF ＝32a .

∴E ⎝⎛⎭⎫0，12

a ，3

2a .

于是AE →＝⎝⎛⎭⎫0，12a ，32a ，CD →

＝(－a ，a,0)．

设异面直线AE 与CD 所成角为θ， 则cos θ＝|AE →·CD →||AE →||CD →

|＝12a 2

a ·2a ＝2

4.

∴AE 与CD 所成角的余弦值为24

. 3． (1)证明

作AP ⊥CD 于点P ，连结OP .

如图，分别以AB 、AP 、AO 所在直线为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系． A (0,0,0)，B (1,0,0)，P ⎝

⎛⎭

⎫0，

22，0， D ⎝

⎛⎭⎫－

22，22，0，O (0,0,2)，M (0,0,1)，N ⎝⎛⎭

⎫1－24，24，0.

MN →

＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1，

OP →

＝⎝⎛⎭⎫0，22，－2，

OD →

＝⎝⎛⎭

⎫－22，22，－2.

设平面OCD 的法向量为n ＝(x ，y ，z )， 则n ·OP →＝0，n ·OD →＝0.

即⎩⎨

⎧

22y －2z ＝0，－22x ＋22y －2z ＝0.

取z ＝2，解得n ＝(0,4，2)．

∵MN →·n ＝⎝⎛⎭⎫1－24，24，－1·(0,4，2)＝0，

又MN ⊄平面OCD ，∴MN ∥平面OCD . (2)解 设AB 与MD 所成角为θ. ∵AB →

＝(1,0,0)，

MD →

＝⎝⎛⎭⎫－22，22，－1，

∴cos θ＝|AB →·MD →||AB →|·|MD →|＝12

，∴θ＝π

3.

∴AB 与MD 所成角的大小为π

3.

4． (1)证明