函数、导数“任意、存在”型问题归纳

函数导数任意性和存在性问题探究

导学语

函数导数问题是高考试题中占比重最大的题型，前期所学利用导数解决函数图像切线、函数单调性、函数极值最值等问题的方法，仅可称之为解决这类问题的“战术”，若要更有效地彻底解决此类问题还必须研究“战略”，因为此类问题是函数导数结合全称命题和特称命题形成的综合性题目.常用战略思想如下：

题型分类解析

一．单一函数单一“任意”型

战略思想一：“∀x A ∈，()()a f x >≥恒成立”等价于“当x A ∈时，max ()()a f x >≥”；

“∀x A ∈，()()a f x <≤恒成立”

等价于“当x A ∈时，min ()()a f x <≤”. 例1 ：已知二次函数2

()f x ax x =+，若∀[0,1]x ∈时，恒有|()|1f x ≤，求实数a 的取值范围. 解：

|()|1f x ≤，∴211ax x -≤+≤；即211x ax x --≤≤-；

当0x =时，不等式显然成立，∴a ∈R.

当01x <≤时，由2

11x ax x --≤≤-得：221111a x x x x --≤≤-， 而min 211

(

)0x x

-=，∴0a ≤. 又∵max 211

()2x x

--=-，∴2,20a a ≥-∴-≤≤，

综上得a 的范围是[2,0]a ∈-. 二．单一函数单一“存在”型

战略思想二：“∃x A ∈，使得()()a f x >≥成立”等价于“当x A ∈时，min ()()a f x >≥”；

“∃x A ∈，使得()()a f x <≤成立”等价于“当x A ∈时，max ()()a f x <≤”.

例2. 已知函数2

()ln f x a x x =+(a R ∈)，若存在[1,]x e ∈，使得()(2)f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围.

解析：()(2)f x a x ≤+⇒x x x x a 2)ln (2-≥-.

∵[1,]x e ∈，∴x x ≤≤1ln 且等号不能同时取，所以x x -x x ，

因而x x x

x a ln 22--≥

，

[1,]x e ∈， 令x x x

x x g ln 2)(2--=],1[e x ∈，又2

)

ln ()ln 22)(1()(x x x x x x g --+-='， 当],1[e x ∈时，1ln ,01≤≥-x x ，0ln 22>-+x x ，

从而0)(≥'x g （仅当x=1时取等号），所以)(x g 在],1[e 上为增函数， 故)(x g 的最小值为1)1(-=g ，所以a 的取值范围是),1[+∞-． 三．单一函数双“任意”型

a

f (x )下限

f (x )上限

f (x )f (x )

战略思想三：∀x R ∈，都有

"

f ()f x 的最小值和最大值，1|x - 例3. 已知函数()

2sin()25

x f x ππ

=+，

若对∀x R ∈，都有12"()()()"f x f x f x ≤≤成立，则12||x x -的最小值为____.

解 ∵对任意x ∈R ，不等式12()()()f x f x f x ≤≤恒成立， ∴12(),()f x f x 分别是()f x 的最小值和最大值.

对于函数sin y x =，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期. 又函数()2sin()2

5

x f x ππ

=+的周期为4，∴12||x x -的最小值为2.

战略思想四： ,,21A x x ∈∀1212()()

"(

)"22

x x f x f x f ++>成立 ⇔()f x 在A 上是上凸函数⇔0)(''≤x f

例4. 在2

22,log 2,,cos y x y x y x y x ====这四个函数中，当1201x x <<<时，使

1212()()

"(

)"22

x x f x f x f ++>恒成立的函数的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件1212()()

"()"22

x x f x f x f ++>的函数，应是凸函数的性质，画草图即知2log 2y x =符合题意；

战略思想五： ,,21A x x ∈∀1212

()()

"

0"f x f x x x ->-成立⇔()f x 在A 上是增函数

例5 已知函数()f x 定义域为[1,1]-，(1)1f =，若,[1,1]m n ∈-，0m n +≠时，都有

()()

"

0"f m f n m n

->-，若2()21f x t at ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立，求实数t 取值范围.

解：任取1211x x -≤<≤，则12121212

()()

()()()f x f x f x f x x x x x --=

--，

由已知

1212

()()

0f x f x x x ->-，又120x x -<，∴12()()0f x f x -<，

即()f x 在[1,1]-上为增函数.

∵(1)1f =，∴[1,1]x ∈-，恒有()1f x ≤；

∴要使2

()21f x t at ≤-+对所有[1,1]x ∈-，[1,1]a ∈-恒成立， 即要2211t at -+≥恒成立，故2

20t at -≥恒成立， 令2()2g a at t =-+，只须(1)0g -≥且(1)0g ≥， 解得2t ≤-或0t =或2t ≥.

战略思想六： ,,21A x x ∈∀t x f x f ≤-|)()(|21（t 为常数）成立⇔t=min max )()(x f x f - 例6. 已知函数4

3

()2f x x x =-+，则对任意121

,[,2]2

t t ∈-（12t t <）都有≤-|)()(|21t f t f 恒成立，当且仅当1t =____，2t =____时取等号.

解：因为12max min |()()||[()][()]|f x f x f x f x -≤-恒成立， 由4

3

1()2,[,2]2f x x x x =-+∈-，

易求得max

327[()]()216f x f ==

，min 15

[()]()216

f x f =-=-， ∴12|()()|2f x f x -≤.

战略思想七：,,21A x x ∈∀|||)()(|2121x x t x f x f -≤-

⇔t x x x f x f <--|)

()(|

2

121⇔)0(t |)('|>≤t x f

例7. 已知函数()y f x =满足：(1)定义域为[1,1]-；(2)方程()0f x =至少有两个实根1-和1； (3)过()f x 图像上任意两点的直线的斜率绝对值不大于1.

(1)证明:|(0)|1f ≤； (2)证明：对任意12,[1,1]x x ∈-，都有12|()()|1f x f x -≤. 证明 (1)略；

(2)由条件(2)知(1)(1)0f f -==，

不妨设1211x x -≤≤≤，由(3)知121221|()()|||f x f x x x x x -≤-=-，

又∵121212|()()||()||()||()(1)||()(1)|f x f x f x f x f x f f x f -≤+=--+-

122112112()2|()()|x x x x f x f x ≤++-=--≤--；∴12|()()|1f x f x -≤

例8. 已知函数3

()f x x ax b =++，对于12123

,(0,

)()3

x x x x ∈≠时总有1212|()()|||f x f x x x -<-成